1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 63 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A1，A 2 和 B 是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1A2)|B)=P(A1|B)+P(A2|B)，则（A）P(A 1A2)=P(A1)+P(A2)（B） P(A1A2)=P(A1|B)+P(A2|B)（C） P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)（D）P(A 1A2)| )=P(A1| )+P(A2| )2 在全概率公式 P(B)= P(Ai)P(B|Ai)中，除了要求条件 B 是任意随机事件及 P(Ai)0(i=1，2，n)之外，我们可以将其他条件
2、改为（A）A 1，A n 两两独立，但不相互独立（B） A1，A n 相互独立（C） A1，A n 两两互不相容（D）A 1，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即 B3 设离散型随机变量 X 的概率分布为 PX=i=cpi，i=1，2，其中 c0 是常数，则（A）（B）（C） p=c+1（D）0p1 的任意实数4 设随机变量 X 的密度函数为 fX(x)，Y=2X+3 ，则 Y 的密度函数为5 设随机变量 X1 与 X2 相互独立，其分布函数分别为则 X1+X2 的分布函数 F(x)=6 对于任意二随机变量 X 和 Y，与命题“X 和 lY 不相关”不等价的是（A）EXY=EXEY（B）
3、 Cov(X，Y)=0（C） DXY=DXDY（D）D(X+Y)=DX+DY7 设随机变量 X 的方差存在，并且满足不等式 P|XEX|329，则一定有（A）DX=2（B） P|XEX|379（C） DX2（D）P|XEX|379二、填空题8 设事件 A 发生的概率是事件 B 发生概率的 3 倍， A 与 B 都不发生的概率是 A与 B 同时发生概率的 2 倍，若 P(B)=29，则 P(AB)=_ 9 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 若 k 满足概率等式 P(Xk=23，则 k 的取值范围是_10 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 PX=k=bk 2，PY= k=bk 2 (
4、k=1，2，3) ，则 a=_，b=_ ，Z=X+Y 的分布律为_11 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 05，EX=EY=0，EX 2=BY2=2，则 E(X+Y)2=_12 设随机变量序列 X1；X 2，X n，相互独立，EXi=i，DX i=2，i=1，2，则当 n 时，1n (Xi i)依概率收敛于_13 设总体 X 与 Y 独立且都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X m 与Y1，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的简单随机样本，统计量 T=服从 t(n)分布，则 mn=_ 14 设总体 X 服从(a，b)上的均匀分布， X1，X 2， ，X n 是取自 X 的商单随机
5、样本，则未知参数 a，b 的矩估计量为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 假设随机事件 A 与 B 相互独立，P(A)=P( )=a1，P(AB)=79，求 a 的值16 将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮箱，求没有信的邮箱数 X 的概率函数17 设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，令 Y=|X|，求 Y 的概率密度18 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0y1，yxy+1内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断 X，Y 的独立性18 设随机变量 X 和 Y 的联合密度为19 试求 X 的概率密度 f(x)；20 试求事件“X 大于
6、Y”的概率 PXY；21 求条件概率 PY1|X0522 设 X1，X 2，X 12 是取自总体 X 的一个简单随机样本，EX=，DX=记Y1=X1+X8，Y 2=X5+X12，求 Y1 与 Y2 的相关系数23 设某种商品的合格率为 90，某单位要想给 100 名职工每人一件这种商品试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以 975的概率保证每人都可以得到一件合格品?23 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值和方差分别为 与S2，且 XB(1，p)，0p124 试求： 的概率分布；25 证明：B 2=26 设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为
7、 f(t)=其中 0 未知现从这批器件中任取 n 只在时刻 t=0 时投入独立寿命试验，试验进行到预定时间 T0 结束，此时有 k(0kn)只器件失效，试求 的最大似然估计考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 63 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由条件知，P(A 1A2|B)=0，但是这不能保证 P(A1A2)=0 和 P(A1A2| )=0，故(A) 和(D) 不成立由于 P(A1|B)+P(A2|B)=P(A1A2)|B)未必等于 P(A1A2)，因此(B) 一般也不成立由 P(B)0 及 P(A1A2)|B)=
8、P(A1|B)+P(A2|B)，可见选项(C)成立：【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 若 A1，A n 两两互不相容，则 A1B，A nB 亦两两互不相容，且因 B，故 P(B)=P( AiB)应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即 P(B)=P( P(Ai)P(B|Ai)应选(D) 【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 根据概率分布的性质，有 cpi0(i=1，2，)，且因此有 0p1，使无穷级数 pi 收敛，且pi=p(1p)，由 可得 p= ，故选(B)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 y=2x+3
9、 是 x 的单调可导函数，其反函数 x=h(y)=(3y)2，|h(y)|=|12|=12，根据随机变量函数的公式，应选(B)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 X1 为离散型随机变量，其分布律为F(x)=PX1+X2x=PX1=0PX1+X2x|X1=0+PX1=1PX1+X2x|X1=1=12PX 2x+ PX2x1=1 2F 2(x)+ F2(x1) 故选(D) 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 由于 Cov(X，Y)=EXYEXEY=0 是 “X 和 Y 不相关”的充分必要条件，可见(A) 与(B)等价由 D(X+Y)
10、=DX+DY 的充分必要条件是 Cov(X，Y)=0，可见(B)与 (D)等价于是， “X 和 Y 不相关”与(A)，(B) 和(D)等价故应选(C) 选项(C)不成立是明显的，为说明选项(C) 不成立，只需举一反例设 X 和 Y 同服从参数为 p(0p 1) 的 01 分布且相互独立，从而 X 与 Y 不相关易见DX=DY=p(1p)；乘积 XY 服从参数为 p2 的 01 分布： PXY=1=PX=1，Y=1=p2，PXY=0=1p 2 因此 DXY=p2(1p 2)p2(1p) 2=DXDY【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 因事件|XEX|3是事件|XEX|
11、3的对立事件，且题设P|XEX|329，因此一定有 P|XEX|379，即选项(D)正确进一步分析，满足不等式 P|XEX|329 的随机变量，其方差既可能不等于 2，亦可以等于 2，因此结论(A) 与 (C)都不能选比如：X 服从参数为 p 的 01 分布，DX=pq1，显然 DX2，但是 P|XEX|3=P =029因此(A)不成立若 X 服从参数 n=8， p=05 的二项分布，则有 EX=4，DX=2但是P|XEX|3=P|X 4|3=PX=0+PX=1+PX=7+PX=8=1825629因此(B)也不成立【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 59【试题解析】 P(
12、A)=3P(B)=6 9，P( )=1P(AB)=1 P(A)P(B)+P(AB)=2P(AB)，P(AB)=14P(B)=19，P(A B)=P(A)P(AB)=59【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 1，3【试题解析】 当 x0 时，PXx=0，PXx=1；当 0x1 时，PXx= 0f(x)dx+0x13dx=x313，PXx2 3；当 1x3 时，PX x=0113dx+ 1x0dx=1 3，PXx=23；当 3x6 时，PXx=0113+ 3xx9dx 当 x6 时，PX x=1， PXx=0因此满足 PXk=23 的 k 的取值范围是1，3【知识模块】 概率论与数理统计
13、10 【正确答案】 611；3649；【试题解析】 X，Y 的分布律分别为 Z=X+Y 的可能取值为210，1，2由于 PZ=PX+Y= 2=PX=1 ，Y=3=PX=1PY=3 类似地，PZ=1=PX+Y=1=PX=1，Y=2+PX=2，Y=3 PZ=0=PX+Y=0=PX=1，Y=1+PX=2，Y=2+PX=3，Y=3 PZ=1=PX=2PY=1+PX=3PY=2 PZ=2=PX=3PY=1 于是 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 6【试题解析】 DX=EX 2(EX) 2=2，DY=2，Cov(X ，Y)=XY =1，E(X+Y)=EX+EY=0，E(X+Y
14、) 2=D(X+Y)+E(X+Y)2=D(X+Y)=DX+2Cov(X，Y)+DY=2+2+2=6【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 0【试题解析】 由于 X1，X 2，相互独立，其期望、方差都存在，且对所有i=1，2，DY i=2l(l 2)，因此根据切比雪夫大数定律，当 n时1n (Xi i)依概率收敛于 0【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 14【试题解析】 依题意 XiN(0 ， 2)，Y iN(0， 2)且相互独立，所以U 与 V 相互独立，由 t 分布典型模式知【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计
15、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 从 P( )=a1，得 P(B)=2a，P(A)P(B)=(a1)(2a)应用广义加法公式 a 1+(2a) (a 1)(2a)=79 a=43 或 53【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 易见 X 是离散型随机变量，其可能取值为 1，2，3，则相应概率分别为 PX=1=C414 3=116【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 当 y0 时，PYy=0；当 y0 时，PYy=P|X|y=PyXy=(y)( y)于是 Y 的分布函数 FY(y)为 FY(y)当 y0 时，F Y(y)=(y)+(y)=
16、2(y) Y 的概率密度fY(y)为 fY(y)【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 依题意，由于 f(x，y)fX(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 易见，当 x (0，1)时 f(x)=0；对于 0x1，有 f(x)= +f(x，y)dy=6 702(x2+ )dy=6 7(2x2+x)【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 事件“X 大于 Y”的概率【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 条件概率 PY1|X05 其中 PX05=005 f(x)dx=67 005 (2x
17、2+x)dx=528；PX05，Y1=67 005 dx12(x2+ )dy=6 7005 (x2+ )dx=13112于是 PY1|X05【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 根据简单随机样本的性质，X 1， X2，X 12 相互独立且与总体X 同分布，于是有 EXi=，DX i=2，Cov(X i，X j)DY1=D(X1+X8)=DX1+DX8=82，DY 2=D(X5+X12)=DX5+DX12=82，Cov(Y 1，Y 2)=Cov(X1+X8，X 5+X12)=Cov(X5，X 5)+Cov(X6，X 6)+Cov(X7，X 7)+Cov(X8，X 8)=42，于是 Y
18、1 与 Y2 的相关系数为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设至少购买 n 件，n 件中合格品数为 X，易见 X 服从二项分布B(n，09) ，且 n100，根据拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从二项分布N(09n ，009n) 依题意 PX100=0975，【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由于 XB(1，p)，故 X 的概率分布为于是 Pn =k=Cnkpk(1p)nk ，k=0 ，1 ，2，n，即 P =kn=C nkpk(1p) nk ，k=0 ，1，2，n【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 其中，因为 Xi
19、取值 0 或 1，故 Xi2=Xi【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 考虑事件 A：“试验直至时间 T0 为止，有 k 只器件失效，而有nk 只未失效” 的概率记 T 的分布函数为 F(t)，即有 一只器件在 t=0 时投入试验，则在时间 T0 以前失效的概率为 PTT0=F(T0)=1 ；而在时间 T0 未失效的概率为 PTT 0=1F(T 0)= 由于各只器件的试验结果是相互独立的，因此事件 A 的概率为 L()=Cnk(1 )nk ，这就是所求的似然函数取对数得 lnL()=lnCnk+kln(1 )+(nk)(T 0)，于是 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计
