1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 70 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X1，X n 为相互独立的随机变量，S nX 1X n，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X1，X n（A）有相同的数学期望；（B）有相同的方差；（C）服从同一指数分布；（D）服从同一离散型分布2 设总体 XN(， 2)，从中抽得简单样本 X1，X 2，X n记则Y1_，Y 2_(写出分布，若有参数请注出)且（A）Y 1、Y 2 均与 独立（B） Y1、Y 2 均与 不独立（C） Y1 与 独立，而 Y2 未必（D）Y
2、 2 与 独立，而 Y2 未必二、填空题3 设总体 XN(， 2)，从 X 中抽得容量为 16 的简单样本，S 2 为样本方差，则D(S2)_4 设 XF(n，n)，且 P(XA)03，则 P(X )_(其中 A 为一常数)5 设 X1，X n 来自总体 N(， 2)的简单样本，其中 、 2 均未知 记则假设 H0： 0 的 t 检验使用的统计量 t_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设 X1，X 2，X n，是同分布的随机变量，且 EX10，DX 11不失一般性地设 X1 为连续型随机变量证明：对任意的常数 0，有 7 两家影院竞争 1000 名观众，每位观众随机地选择影
3、院且互不影响试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过 1?(2328)09900)8 (1)设系统由 100 个相互独立的部件组成运行期间每个部件损坏的概率为01至少有 85 个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常 T 作的概率()0 9522 (2)如果上述系统由 n 个部件组成，至少有 80的部件完好时系统才能正常工作问 n 至少多大才能使系统正常工作的概率不小于 095?(1645)0959 对随机变量 X，已知 EekX存在(k0 常数)，证明：PX .E(ekX)(其中0)10 当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证
4、正面出现的频率在 04 至06 之间的概率不小于 097 试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解11 利用中心极限定理证明：12 设总体 X 具有概率密度：f() 从此总体中抽得简单样本X1，X 2，X 3，X 4，求 T Xi 的密度13 记总体 XN(， 2)， X1，X n 为取自 X 的简单样本 d X i，求 E(d)D(d)14 设总体 XN(72，100)，为使样本均值大于 70 的概率不小于 095，样本容量n 至少应取多大?(1645)09515 从一正态总体中抽取容量为 10 的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4 以上的概率为 002，求总体的标准差(2 33)
5、099)16 设总体 XN(， 2)，从 X 中抽得样本 X1， ，X n，X n-1，记试求 的分布17 设 k 个总体 N(， 2)(i1，k) 相互独立，从第 i 个总体中抽得简单样本：Xi1，X i2， ，记 ，(i1，k)又记 n ，试求T 的分布18 从总体 XN(0， 2)中抽得简单样本 X1，X n+m，求 Y 19 设总体 XB(m，p)，其中 m 已知，p 未知从 X 中抽得简单样本X1，X n，试求 p 的矩估计和最大似然估计20 设总体的密度为： 从 X 中抽得简单样本 X1，X n试求未知参数 的矩估计和最大似然估计21 设总体 X 在区间(p ，p)上服从均匀分布，
6、从 X 中抽得简单样本X1，X n，求 和 (均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性22 设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，其中 0 为未知参数，而X1，X n 为从 X 中抽得的简单样本，试求 的矩估计和最大似然估计，并问它们是否是 的无偏估计?23 设 YlnXN(， 2)，而 X1，X n 为取自总体的 X 的简单样本，试求 EX的最大似然估计24 从均值为 ，方差为 20 的总体中分别抽取容量为 n1 和 n2 的两个独立样本，样本均值分别记为 和 试证：对任意满足 ab1 的常数 a、b，T都是 的无偏估计并确定 a、b，使 D(T)达到最小25 总体 XN(2， 2)，从
7、 X 中抽得简单样本 X1，X n 试推导 2 的置信度为1 的置信区间若样本值为：18，21，20，19，22，18求出 2的置信度为 095 的置信区间( 0975 2(6)14449， 0025 2(6)1237下侧分位数)26 为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响独立地，选了 13 个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表：设小区的农作物产量均服从正态分布且方差相等，求施肥与未施肥平均产量之差的置信度为 095的置信区间(t 0975 (11)2 201，下侧分位数) 27 随机地取某种炮弹 9 发做试验，得炮口速度的样本标准差 S11设炮口速度服从正态分布，求这
8、种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为 095 的置信区间28 一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为 R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记 X 为所抽的白球数这样做了 n 次以后，我们获得一组样本：X 1，X 2，X n，基于此，求 R 的最大似然估汁29 用过去的铸造方法，零件强度的标准差是 16 kgmm 2为了降低成本，改变了铸造方法测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52设零件强度服从正态分布取显著性水平0 05，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化?( 0975 2(8)175， 0 0252(8)2180，下侧分
9、位数)30 一批矿砂的 4 个样品中镍含量测定为()：325，326324325设测定值总体服从正态分布。问在 001 下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值为 326(t 0975 (3)5 8409，下侧分位数) 考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 70 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 列维一林德贝格中心极限定理要求诸 Xi 独立同分布，因此选项A、B 不能选(无法保证同分布)，而选项 D 却保证不了 EXi 及 DXi 存在，甚至排除不了 Xi 为常数(即退化分布 )的情形，而中心极限定理却要求 Xi 非常数且
10、EXi 与DXi 存在，故不选 D，只有 C 符合要求，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由 XiN(， 2)， N(0，1)，且 X1，X n 相互独立， 故 2(n)，故 Y1 2(n) 而由 2(n1)，故Y2 2(n1)，且 Y2 与 独立， 而 Y1 未必，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题3 【正确答案】 4【试题解析】 2(15)，D( )21530，即 D(S2)30，故 D(S2)5【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 07【试题解析】 由 03P(XA)，AF 03 (n，n) ， F 07 (n，n)，故 P(
11、X)0 7【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 由已知可知：E(X i2)DX i(EX i)21，i1，n设(X1， ，X n)的概率密度为 f(1， 2， n)，则【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 设甲影院(乙影院完全同理)应设 N 个座位才符合要求，而这 1000名观众中有 X 名选择甲影院，则 XB(1000， )，由题意有：P(XN)099而由中心极限定理知： 故得2328，N53【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 (1)设有 X 个部件完好，则 XB
12、(100，09)， EX90，DX9， P系统正常工作PX8509522 (2)设有 Y 个部件完好，则 YB(n，09)， EX09n，DX009n， PX08n由题意，P(X08n)095，( )095， 故 1645，得 n2435，即 n25【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 不失一般性，设 X 为连续型随机变量，概率密度为 f()，则EekX ek.f()d， 而 PX f()d 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 设抛掷 n 次硬币，正面出现 X 次，则 XB(n05)现要求P(04 06)09 即 P(04nX06n)0 9 (1) 用切比雪夫不等式：P
13、(04nX06n)P(X05n01n)1 ， 令1 09，得 n250；(2)用中心极限定理： P(04nX06n)(02 )(02 )2(0 2 )1 令 2(02 )109，得 (02 )095， 02 1645， n6765 即 n68【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 引随机变量 Xk(1)(参数为 1 的泊松分布)，k1，2，且Xk相互独立，由泊松分布的再生性知令 n，由中心极限定理即知：【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 T 的分布函数为 FT(t)P(Tt)P( Xit)P(X 1t，X 4t)P(X 1t)4 故 fT(t)F(t)【知识模块】 概率
14、论与数理统计13 【正确答案】 N(0，1) ，得DX i(1 )2于是【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 由题意知：查表得1645，n67 65，即 n68【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 设总体 XN(，) ，则 ，由题意得： 002P4 查表得 233， 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 又 2(n1)，且 Sn2 与Xn+1 相互独立，故【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由 i2 2(ni1)，i1，2，k且 12， k2 相互独立， i2 2( (ni1) 即 T 2(nk)【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】
15、 N(0，1)，i1，nm ，且诸 Xi 相互独立，故：又 Xi2 与 X2 相互独立，故即 YF(n，m)【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 矩估计：EXmp， ，故 ；最大似然估计：似然函数为：令 解得 p ， 故 p 的最大似然估计为 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 矩估计： 最大似然估计：似然函数为 L f(i)即当1， n0 时，lnL 2nlnln( 1 n) 令 0，解得 故 的最大似然估计为：【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 EX，EX 2DX(EX) 2 2， 得，解得矩估计为而 n时，即 和 分别是 和 的一致估计【知识模块】
16、 概率论与数理统计22 【正确答案】 EX ，得 为 的矩估计 而即 为 的无偏估计又，似然函数当 0 时，随着 的增加 L 在减小，欲使 L 达最大，须 i， 即 的最大似然估计为 ，而 的分布函数为 的概率密度为：可见 不是 的无偏估计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 EXEe y 令YilnX i，i1，2，nY 1，Y n 相当于取自总体 Y 中的样本 似然函数故 和 2 的最大似然估计分别为 故EX 的最大似然估计为这里 expae a【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 E(T) (ab) ，T 为 的无偏估计而令(DT)a 0，解得 a ，而 可见 D
17、(T)在 a处取得唯一极值且为极小值， 故 时，D(T)最小【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 2 (Xi2) 2 2(n)， 1 故 2 的置信区间为： 对 1 095，n6，可算得 (i2) 2014， 故 2 的置信区间为0009689，01132【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设施肥与不施肥的农作物产量分别为总体 X 与 Y，XN( 1， 2)，YN( 2， 2)，由题可知 n6， 33， S 2 32，m7，30， S y2 4，1095， 故 1 2 的置信下限为置信上限为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 设炮口速度为总体 X，XN(
18、 ， 2)，而 n9，005 的置信下限为 的置信上限为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 由题意，总体 X 的分布律为：PXk ，k0，1，2，似然函数为令 0，解得 R，故 R 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设零件强度为总体 X，则 XN(， 2)，检验 H0， 216 2 拒绝域为 2 并 2 (n1)， 这里0216 2，n9，算得 53， 2 390625 ， 故 (n1)2180 217535 (n1) ，故接受 H0【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 设这批矿砂的镍含量为总体 X，则 XN(， 2)检验H0： 0这儿 0326，n4，拒绝域为： 可算得 325，S 001 ， 故 0001， 002920， 可见，故接受 H0【知识模块】 概率论与数理统计
