1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 71 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是 ( )2 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，概率密度为其中 A 为常数，则 = ( )3 设 X1，X 2，X 8 是来自总体 N(2，1)的简单随机样本，则统计量服从 ( )（A） 2(2)（B） 2(3)（C） t(2)（D）t(3)4 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布，XN(，4 2)，Y N( ，5 2)，记p1=PX4，p 2=PY+
2、5，则 ( )（A）对任意实数 ，都有 p1=p2（B）对任意实数 ，都有 p1p 2（C）只对 的个别值，才有 p1=p2（D）对任意实数 ，都有 p1p 25 设 a 为区间 (0，1)上一个定点，随机变量 X 服从(0，1)上的均匀分布以 Y 表示点 X 到 a 的距离，当 X 与 Y 不相关时，a= ( )（A）01（B） 03（C） 05（D）076 一袋中有 6 个正品 4 个次品，按下列方式抽样：每次取 1 个，取后放回，共取n(n10)次，其品个数记为 X；若一次性取 n(n10)个，其中次品个数记为 y则下列正确的是 ( )（A）EX EY（B） EXEY（C） EX=EY（
3、D）若 n 不同，则 EX，EY 大小不同二、填空题7 设 A，B 是任意两个事件，则=_8 已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，即k=0，1，2，则随机变量 Z=3X2 的数学期望EZ=_9 设总体 XP(A)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，它的均值和方差分别为 和 S2，则和 E(S2)分别为_ 10 设随机事件 A，B，C 满足C=AB，P(ABC)=_11 设二维随机变量的分布律为 则随机变量 Z=Y.minX，Y 的分布律为 _12 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量 Z=XY 的方差为_13 假设一设备在任何长为 t 的时间段内
4、发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布(0) ，设两次故障之间时间间隔为 T，则 ET=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 P(A)0，P(B)0证明：A，B 互不相容与 A，B 相互独立不能同时成立15 设随机变量 X 的分布函数为F(x)=A+Barctanx，x+，求：(1)系数 A 与 B；(2)P1X1 ；(3)X 的概率密度16 假设有四张同样的卡片，其中三张上分别只印有 a1，a 2，a 3，而另一张上同时印有 a1，a 2，a 3现在随意抽取一张卡片，令 Ak=卡片上印有 ak证明：事件A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立16 某保险
5、公司接受了 10 000 辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为 12元若车丢失，则赔偿车主 1 000 元假设车的丢失率为 0006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：17 亏损的概率 ；18 一年获利润不少于 40 000 元的概率 ；19 一年获利润不少于 60 000 元的概率 20 设随机变量 X 的概率密度为 求 X 的分布函数21 设(X，Y)的联合概率密度为求：(1)Z=X +Y 的概率密度fZ(z)；(2)EZ22 已知 Xt(n) ，求证：X 2F(1，n)23 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 50 千克，标准差为 5 千克，若
6、用最大载重为 5 吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保证不超载的概率大于 0977(2)=0977)24 利用列维一林德伯格定理，证明：棣莫弗一拉普拉斯定理24 在独立的伯努利试验中，若 p 为一次试验中成功的概率以 X 记为第 r 次成功出现时的试验次数，则 X 是随机变量，取值为 r，r+1，称为负二项分布记为 M(r，p) 其概率分布为： PX=k=C k1 r1 (1p) kr ，k=r，r+1 ，25 记 Y1 表示首次成功的试验次数，Y 2 表示第 1 次成功后到第 2 次成功为止共进行的试验次数，证明 X=Y1+Y2Nb(2，p)；26 设试验成功的概率
7、为 独立重复试验直到成功两次为止，求试验次数的数学期望、方差27 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为其中 0，试求 的最大似然估计27 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X 2n(n2)是 X 的简单随机样本，且及统计量28 统计量 Y 是否为 2 的无偏估计；29 当 =0 时，试求考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 71 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 A=两件产品中有一件是不合格品)，A 1=两件产品都是不合格品，A2=两件产品中一件是不合格品，另一件是合格品，
8、则 A=A1A2，A 1A2= ，所求概率即为 P(A1A)因故应选 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由 01Ax(1x)dx= =1，得 A=6所以【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 且它们相互独立，所以所以由 T 与 X 相互独立得，因此本题选C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 用 (x)代表标准正态分布 N(0，1)的分布函数，有由于 (1)=1 (1)，所以 p1=p2【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由题设条件知 XU(0，1)，Y=X a， 又因为EY=01xa
9、dx= 0a(ax)dx+ a1(xa)dx=a 3a+ ，E(XY)= 0ax(ax)dx+a1x(xa)dx= 所以由 Cov(X，Y)=0 可得方程 4a36a 2+1=0，此方程等价于 (2a1)(2a 22a1)=0，从中解得在(0，1)内的实根为 a=05，即 a=05 时，X 与 Y 不相关【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 由题意 Y 服从参数为 n，10，4 的超几何分布，故 因此 EX=EY【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 4【试题解析】 EZ=3EX 2=4
10、【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 ，E(S 2)=DX=【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 由 可得 P(A)=P(B)又由可得 A，B 相互独立，所以 P(AB)=P(A)P(B)=P(A)2=P(B)2【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 Z 全部可能的取值为 0，1，2，3，且所以 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 DZ=DX+DY 2Cov(X，Y) =DX+Dy2E(XY)+2EXEY， 其中D=(x，y)0x1，0yx ，如图 36 阴影部分所示关于 X 的
11、边缘概率密度为关于 Y 的边缘概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由于丁是非负随机变量，故当 t0 时 F(t)=PTt=0；当 t0 时，由于事件 Tt 与 N(t)=0 等价所以当 t0 时， F(t)=PTt=1PT t=1PN(t)=0=1e t 于是 T 服从参数为 的指数分布，即【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 一方面，若 A，B 互不相容，则 AB= ，于是 P(AB)=0P(A)P(B)0，所以 A，B 不相互独立；另一方面，若 A，B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(
12、B)0，于是 AB ，即 A，B 不是互不相容的【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 (1)由分布函数的性质得(3)X 的概率密度为 f(x)=F(x)= x+【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由于对任意的 k，j(k，j=1，2，3 且 kj)，有 P(A kAj)= =P(Ak)P(Aj)，可见事件 A1，A 2，A 3 两两独立但是，由于 P(A1A2A3)= =P(A1)P(A2)P(A3)，可见事件 A1，A 2，A 3 不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设 X 为需要赔偿的车主人数，则需要赔偿的金额
13、为 Y=01X(万元)；保费总收入 C=12 万元显而易见，随机变量 X 服从参数为(n ，p)的二项分布，其中 n=10 000，p=0 006 ；EX=np=60 ，DX=np(1p)=5964由棣莫弗一拉普拉斯定理知，随机变量 X 近似服从正态分布 N(60，5964)，随机变量 Y 近似服从正态分布 N(6，05964) 保险公司亏损的概率【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 保险公司一年获利润不少于 4 万元的概率 =P12Y4=PY8)= (259)=09952【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 保险公司一年获利润不少于 6 万元的概率 =P12Y6=PY
14、6)= (0)=05【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 f(x)的图形如图 38 所示，则 X 的分布函数为 F(x)= xf(u)du【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 (1) F Z(z)=PZz=Px+Yz，当 z0 时，F Z(z)=0； 当z2 时， FZ(z)=1； 当 0z1 时， F Z(z)=PZz=PX +Yz =PX+Yz，X0+PX+Yz ，X0 =PX+Yz，X0+PX+Yz，X0，利用二维均匀分布几何意义，积分区域如图 313 所示1z2 时，同有(如图 314)(2)用公式有 EZ= +zfZ(z)dz=01z.zdz+12z(2z)d
15、z=1 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 Xt(n) ，则 X 可表示为 其中 ZN(0，1)，Y 2(n)且 Z，Y 相互独立，又 Z2 2(1)，于是【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设 Xi 是“ 装运的第 i 箱的重量”，n 表示装运箱数，则 EXi=50，DX i=52=25，且装运的总重量 Y=X1+X2+Xn，因X n独立同分布，故 EY=50n，DY=25n 由列维一林德伯格中心极限定理知 Y 近似服从N(50n， 25n)于是即 n9801，即最多可以装 98 箱【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设随机变量 X1，X 2，X n
16、 相互独立，均服从以 p 为参数的01 分布，则有 EX i=p，DX i=pq(i=1，2，n)， 于是 Sn=X1+X2+Xn，ES n=np，DS n=npq， 其中 q=1p 随机变量 X1，X 2，X n满足列维一林德伯格定理的条件：X 1，X 2，X n 独立同分布且数学期望和方差存在，当 n 充分大时近似地有 S nN(np，npq)， 得证【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 Y 1 表示首次成功的试验次数，则 Y1 服从参数为 P 的几何分布，取值 1，2，Y 2 表示第 1 次成功后到第 2 次成功为止共进行的试验次数，则 Y2也服
17、从参数为 P 的几何分布，取值为 1，2，即 Y1，Y 2 独立同分布于 PY 1=k=(1p) k1 .p， k=1，2，则 X=Y1+Y2 为第 2 次成功出现时的试验次数取值为2，3，=(k1)p 2(1p) k2 =Ck1 1p2(1p) k2 ，因此 X=Y1+Y2Nb(2，p)【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 令 的几何分布且相互独立，重复试验直到成功两次为止的试验次数 X=Y1+Y2【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 由题意得似然函数为为 的最大似然估计量【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 由 X1，X 2n(n2)是 X 的简单随机样本，则X1+Xn+1，X 2+Xn+2，X n+X2n 也独立因为 Xi+Xn+i(i=1，2，n)为N(2，2 2)的简单随机样本，则样本均值为由于 E(S2)=22，所以 即 EY=2(n1) 2，故 Y 不是 2 的无偏估计【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 当 =0 时， Xi+Xn+iN(0，2 2)，i=1，2，n，则【知识模块】 概率论与数理统计
