1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 73 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 0P(B)1，P(A 1)P(A2)0 且 P(A1A2B)=P(A 1B)+P(A 2B)，则下列等式成立的是 ( )（A）（B） P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)（C） P(A1 A2)=P(A1B)+P(A 2B)（D）P(B)=P(A 1)P(BA 1)+P(A2)P(BA 2)2 已知随机变量(X 1，X 2)的概率密度为 f1(x1，x 2)，设 Y1=2X1，Y 2= X2，则随机变量(Y 1， Y2)的概率密度 f2(y1，y 2)= (
2、 )3 设随机变量 XF(n，n)，记 p1=PX1，p 2=PX1，则 ( )（A）p 1p 2（B） p1p 2（C） p1=p2（D）p 1，p 2 大小无法比较4 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 12)，Y N(0 ， 22)，则概率PXY1( )（A）随 1 的增加而增加，随 2 的增加而减少（B）随 1 的增加而减少，随 2 的减少而减少（C）随 1 的增加而减少，随 2 的减少而增加（D）随 1 的增加而增加，随 2 的减少而减少5 设 X1，X 2，X n 是取自总体 N(， 2)的样本， 是样本均值，记则服从自由度为 n1 的 t 分布的随机变量是 ( )6
3、 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，其方差 20，记的值等于 ( )（A）（B）（C） 2.maxs，t （D） 2.mins，t二、填空题7 设随机变量 X 服从泊松分布，且 PX1=4PX=2，则 PX=3=_8 设随机变量 X 和 Y 均服从 且 D(X+Y)=1，则 X 与的相关系数=_9 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 XN(， 2)的样本，则统计量服从的分布是_ 10 将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为_11 一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为010，020，030，设备部件状态相互独立，以 X
4、表示同时需要调整的部件数，则 X 的方差为_12 设 X1，X 2 是来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，则查表得概率等于_13 设 Y 2(200)，则由中心极限定理得 PY200近似等于_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 袋中有 5 只白球 6 只黑球，从袋中一次取出 3 个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率15 设 ， 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 1 的分布律为i=1，2 ，3，又设 X=max，y=min，试写出二维随机变量(X，Y)的分布律及边缘分布律，并求 P=15 设随机变量 U 在2，2上服从均匀分布，记随机变量求：16 Co
5、v(X，Y)，并判定 X 与 Y 的独立性；17 DX(1+Y)18 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个样本， (X1，X 2，X n)是 的一个估计量，若 是 的相合(一致 )估计量19 设随机变量 X 的概率密度为 F(x)是 X 的分布函数，求随机变量 Y=F(X)的分布函数20 设试验成功的概率为 独立重复试验直到成功两次为止，试求试验次数的数学期望21 一商店经销某种商品，每周进货量 X 与顾客对该种商品的需求量 y 是相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润 1 000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时
6、每单位商品可得利润 500 元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值22 设总体 X 的概率密度为 试用样本X1，X 2，X n 求参数 的矩估计和最大似然估计23 设从均值为 ，方差为 20 的总体中分别抽取容量为 n1，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明：对于任何满足条件 a+b=1 的常数 a，b，是 的无偏估计量，并确定常数 a，b 的值，使得方差 DT 达到最小24 假设你是参加某卫视“相亲节目” 的男嘉宾，现有 n 位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为 a(米)假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为 ，且相互独
7、立，若 z 表示你和一位女嘉宾握手后到另一位举手的女嘉宾处所走的路程，求 EZ24 某商品一周的需求量 X 是随机变量，已知其概率密度为假设各周的需求量相互独立，以 Uk 表示 k 周的总需求量，试求：25 U2 和 U3 的概率密度 fk(x)(k=2，3)；26 接连三周中的周最大需求量的概率密度 f(3)(x)27 设二维正态随机变量(X，y)的概率密度为 f(x，y)，已知条件概率密度fX Y(xy)= 求：(1)常数 A 和B；(2)边缘概率密度 fX(x)和 fY(y)；(3)f(x，y)27 商店销售某种季节性商品，每售出一件获利 500 元，季度末未售出的商品每件亏损 100
8、元，以 X 表示该季节此种商品的需求量，若 X 服从正态分布 N(100，4)，问：28 进货量最少为多少时才能以超过 95的概率保证供应?29 进货量为多少时商店获利的期望值最大?(1 65)=095，(095)=083，其中 (x)为标准正态分布函数)考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 73 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 P(A1A2B)=P(A 1B)+P(A 2B)P(A 1A2B)=P(A 1B)+P(A2B) 可得 P(A1A2B)=0，即 P(A1A2B)=0，故 P(A1BA2B)=P(A1B)
9、+P(A2B)P(A 1A2B)=P(A1B)+P(A2B)， 故选 B【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1，X 2)的分布函数为 F1(x1，x 2)，(Y 1，Y 2)的分布函数为F1(y2，y 2)，则 F 2(y1，y 2)=PY1y1，Y 2y2=P2X1y1， X2y2)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由 XF(n，n)知 ，所以 p1=PX1=PY1=PX1=P2，因此本题选 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 由 XN(0， 12)，YN(0， 22)且独立知 XYN(0 ， 1
10、2+22)，从而 PXY1=P 1XY1)=由于 (x)是 x 的单调增加函数，因此当 1 增加时， 减少；当 2 减少时，增加因此本题选 C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由于故选 B【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 PX1=PX=0)+PX=1=e +e ， 由PX1=4PX=2)知 e +e =22e ，即 22 1=0，解得 2=1，故【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 1【试题解析】 由题设有 则 D(X+Y)=DX+Dy+2Cov(X，Y
11、)=于是有【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 t(2)【试题解析】 因为 XN(， 2)，所以 X3X 4N(0 ，2 2)，【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 这是独立重复试验概型，设 X=掷五次硬币，正面出现的次数)，Y=掷五次硬币，反面出现的次数，则 记 A=正面、反面都至少出现两次 ，则 P(A)=P2X5，2Y5=P2X5，25X5 =P2X5，0X3=PX=2X=3【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 046【试题解析】 X 的全部可能取值为 0，1，2，3，且 PX=0=(1010)(1020)(1030)=0504， PX=1
12、=(101 0)(1 020)0 30+(1010)(1030)020+ (1020)(1030)0 10=0 398， PX=2=(1010)020030+(1020)010030+(1 030)0 10020 =0092 PX=3=010020030=0006， 所以 EX=00504+10398+20092+30006=0 6， E(X 2)=020 504+120398+2 20092+3 20006=0 82 故 DX=E(X2)(EX)2=082 (06) 2=046【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 0.9【试题解析】 (X 1，X 2)服从二维正态分布，所以(X
13、1+X2，X 1X 2)也服从二维正态分布，并且由 X 1+X2N(0，2 2)，X 1X 2N(0，2 2)知 Cov(X 1+X2，X 1X 2)=DX1DX 2=0，即 X1+X2 与 X1X 2 相互独立此外，【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由 Y 2(200)知，Y 可表示为 Y=X12+X22+X2002，其中X1，X 2，X 200 相互独立且均服从 N(0，1)进而知 Xi2 2(1)，E(X i2)=1， D(Xi2)=2，i=1 ，2， ，200由中心极限定理知【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1
14、4 【正确答案】 设 A=是同一颜色 B= 全是白色 ，C=全是黑色，则A=BC，所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 X 的可能取值为 1，2，3，y 的可能取值为 1，2，3依题意有 PX=1，Y=1=Pmax ，=1，min，=1=P=1，=1= 以此类推可求出(X， Y)的分布律及边缘分布律如下【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 X，Y 的全部可能取值均为1，1，且 PX=1，Y=1=PU1，U1=PU1= ，PX= 1，Y=1=PU1，U 1=0，PX=1 ， Y=1=PU1，U1=P1U1= ，PX=1，Y=1=PU
15、1， U1=PU1= ，所以(X，Y)的分布律及边缘分布律为故 Cov(X，Y)=E(XY)EXEY= 所以 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 DX(1+Y)=D(X+XY)=DX+D(XY)+2Cov(X，XY) =DX+D(XY)+2E(X2Y)2EXE(XY) ， 又由于 XY 及 X2Y 的分布律分别为将代入得【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由切比雪夫不等式可知，对任意的 0 有即 是 的相合估计量【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 对 X 的概率密度积分得 X 的分布函数设 G(y)是 Y=F(X)的分布函数当 y0
16、时，G(y)=PYy=PF(X)y=0；当 y1 时，G(y)=PYy=PF(X)y=1；当 0y1 时，G(y)=PYy=PF(X)y= =PX(y+1)3=F(y+1)3=y，或 G(y)=PX(y+1)3=1(y+1)3f(x)dx= 于是 Y=F(X)的分布函数为即 Y=F(X)服从区间0 ，1上的均匀分布【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设 X 表示“所需试验次数” ，则 X 的可能取值为 2，3，于是【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设一周内所得利润为 T，则ET=Eg(X，Y)= + +g(x，y)f(x，y)dxdy，其中所以=101020dyy
17、20ydx+51020dy10y(x+y)dx 其中D1=(x，y) yx20 ，10y20，D 2=(x，y)10xy，10y20)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 先求矩估计： 1=EX=01(+1)x+1dx= 解得再求最大似然估计：似然函数为 L(x1，x 2，x n；)= (+1)xi=(+1) n(x1，x 2，x n)，取对数得 解得 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由题意得： 故T 是 的无偏估计量所以方差 DT 达到最小【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为 1，2，nX 为“ 已经
18、握手的女嘉宾的编号” ，Y 表示“ 将要去握手的女嘉宾的编号” ，则Z=ij a 于是【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 以 Xi(i=1，2，3)表示“第 i 周的需求量”，则 Xi 的概率密度均为而 U2=X1+X2，U 3=U2+X3三周中周最大需求量为 X(3)=maxX1，X 2，X 3当 x0 时，显然 f2(x)=f3(x)=0；当 x0 时，有 f2(x)= +f(t)f(xt)dt=e x 0xt(xt)dt= x3ex ；f 3(x)= +f2(t)f(xf)dt=于是两周和三周的总需求量 U2和 U3 的概率密度分别为【知识模块
19、】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设 F(x)是随机变量 X 的分布函数由题意知连续三周中的周最大需求量 X(3)的分布函数为 G(x)=F(x)3又因为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 (1)由性质 +fXY (xy)dx=1 可以定出常数 A，也可以更简单地把 看成形式 x+ (2)从而将 x，y 的函数分离(3)f(x，y)=f XY (xy).f Y(y)(1)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 设进货量为 k 件，依题意 k 应使即进货量最少为 104 件时才能以超过 95的概率保证供应【知识模块】 概率论与数理统计2
20、9 【正确答案】 设进货量为 n 件，则商品获利已知概率密度 f(x)，故 EY=Eg(X，n) = +g(x，n)f(x)dx = n(600x100n)f(x)dx+n+500nf(x)dx = n600xf(x)dx100n nf(x)dx n500nf(x)dx+ n500nf(x)dx+n+500nf(x)dx =600 nxf(x)dx600n nf(x)dx+500n +f(x)dx =600 nxf(x)dx600n nf(x)dx+500n 记 g(a)=600 axf(x)dx600a af(x)dx+500a 令 g(a)=600af(a)600 2 af(x)dx600af(a)+500=0，所以进货量为 102 件时商店获利的期望值最大【知识模块】 概率论与数理统计
