1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 74 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A，B 满足 AB= ，则下列结论中一定正确的是 ( )（A） 互不相容（B） 相容（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)=P(A)2 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，则 ( )（A）(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量（B） Z=X+Y 是服从均匀分布的随机变量（C） Z=X Y 是服从均匀分布的随机变量（D）Z=X 2 是服从均匀分布的随机变量3 设总体 XN(a， 2)， YN(b ， 2)，且相互独立分别从 X
2、 和 Y 中各抽取容量为 9 和 10 的简单随机样本，记它们的方差为 SX2 和 SY2，并记 S122= (SX2+SY2)和 SXY2= (8SX2+10SY2)，则这四个统计量 SX2，S Y2，S 122，S XY2 中，方差最小者是 ( )（A）S X2（B） SY2（C） S122（D）S XY24 已知二维随机变量(X，y)的概率分布为若随机事件X=0)与X+Y=1)相互独立，令 U=maxX，Y)，V=minX，Y，则 PU+V=1=( )（A）01（B） 03（C） 05（D）075 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， Xn 是取自总体的简单随机样本，
3、样本均值为 ，样本方差为 S2，则服从) 2(n)的随机变量为 ( )6 设 XP()，其中 0 是未知参数，x 1，x 2， ，x n 是总体 X 的一组样本值，则PX=0的最大似然估计值为 ( )二、填空题7 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X2 在(0，4)内的概率密度 fY(y)=_8 已知随机变量 XN(3，1)，YN(2 ，1)，且 X，Y 相互独立，设随机变量Z=X2Y+7 ，则 Z_9 已知每次试验“ 成功” 的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功 ”不止一次的概率为 _10 设(X，Y)的概率密度为 则 Cov(X，
4、Y)=_11 设总体 XN(a，2)，yN(b，2)，且独立，由分别来自总体 X 和 Y 的容量分别为 m 和 n 的简单随机样本得样本方差 SX2 和 SY2，则统计量 T= (m1)S X2+(n=1)SY2服从的分布是_ 12 设总体 XN(，8)， 为未知参数，X 1，X 2，X 32 是取自总体 X 的一个简单随机样本，如果以区间 作为 的置信区间则置信水平为_(精确到 3 位小数，参考数值：(2)=0977，(3)0999，(4)1)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，今从甲袋中任取 2球放入乙
5、袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率13 已知随机变量 X1 与 X2 的概率分布，而且 PX1X2=0=114 求 X1 与 X2 的联合分布；15 问 X1 与 X2 是否独立? 为什么 ?16 设(X，Y)的概率密度为 问 X，Y 是否独立?17 若 DX=0004，利用切比雪夫不等式估计概率 PXEX02) 18 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X 3 是来自 X 的样本，试证：估计量都是 的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效19 在电视剧乡村爱情中，谢广坤家中生了一对龙凤胎，专业上叫异性双胞胎假设男孩的出生率为 51，同性双胞胎是异性双胞胎的 3 倍，已知一双胞胎第一个
6、是男孩，试求第二个也是男孩的概率20 设随机变量 X 与 Y 相互独立，概率密度分别为求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度 fZ(z)21 设随机变量服从几何分布，其分布律为 PX=k=(1p)k1 ，0p1，k=1，2， 求 EX 与 DX22 设 X，Y，Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是 1，求XY 和 YZ 的相关系数23 设 X1，X 2，X n 是来自对数级数分布的一个样本，求 p 的矩估计23 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，且 X 的概率密度为24 求未知参数 的矩估计和最大似然估计；25 验证所求得的矩估计是否为 的无偏估计26
7、 设总体 XN( 1， 2)， YN( 2， 2)从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为m，n 的样本 X1，X 2，X N 和 Y1，Y 2，Y n记样本均值分别为是 2 的无偏估计求：(1)C；(2)Z 的方差 DZ27 对于任意两个事件 A1，A 2，考虑随机变量试证：随机变量 X1 和 X2 独立的充分必要条件是事件 A1 和 A2 相互独立28 设二维随机变量(U，V)的概率密度为又设 X 与 Y 都是离散型随机变量，其中 X 只取1，0，1 三个值，y 只取1，1 两个值，且EX=02，EY=04又 P(X=1，Y=1)=PX=1 ， Y=1)=PX=0 ，Y=1求：(1)(X ，
8、Y) 的概率分布； (2)Cov(X，Y)28 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，而 XB(1，p)，0p1记29 试求 的概率分布；30 证明考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 74 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 用文氏图，如果 A，B 满足 相容，所以 A 错误如果 A，B 满足 所以 B 错误由于AB= =P(AB)=0，而 P(A)P(B)不一定为 0，所以 C 错误但是，P(AB)=P(A)P(AB)=P(A)，故选择(D)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解
9、析】 当 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布时，(X，Y) 的概率密度为 所以(X，Y) 是服从均匀分布的二维随机变量因此本题选 A【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 所以方差最小者为 SXY2，因此本题选 D【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 由 得U+V=X+Y，所以 PU+V=1=PX+Y=1=01+0 4=05【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由于总体 XN(， 2)，所以 独立，由 2 分布的可加性，我们仅需确定服从 2(1)的随机变量因为选 D【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确
10、答案】 D【试题解析】 设 XP()，则 x=0，1，2，从而PX=0=e 先求 的最大似然估计值的一般形式对于样本值 x1，x 2，x n，似然函数为 两边取对数得由于函数 u=e 具有单值反函数 =lnu，由最大似然估计的不变性知 PX=0=e 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 依题意有：故当 Y=X2 在(0，4)内时，【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 N(0，5)【试题解析】 Z 服从正态分布，且 X，Y 相互独立，则 EZ=E(X2Y+7)=EX2EY+7= 34+7= DZ=D(X2Y+7)=DX+2 2DY=1
11、+4=5【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 这是独立重复试验概型，记 A=成功，则 P(A)=p，X=n 次试验中A 发生的次数)，则 XB(n，p)，“在没有全部失败的条件下，成功不止一次”的概率为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 0【试题解析】 因 D=(x，y)0yx1)由 y= x，y=x，x=1 三条线围成，关于 x 轴对称，所以 故 Cov(X，Y)=E(XY)EXEY=0【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 2(m+n 2)【试题解析】 因为由题设条件知，T 1 和 T2 分别服从自由度为 m1 和 n1 的) 2 分布且相互
12、独立，所以 T 服从自由度为(m 1)+(n1)=m+n2 的 2 分布【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 0.954【试题解析】 如果以区间作为 的置信区间，则置信水平=2(2)1=209771=0954，因此所求置信水平为 0954【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 设 A=从乙袋中取出的是白球 ，B i=从甲袋中取出的两球恰有 i个白球 ，i=0，1，2由全概率公式知 P(A)=P(B 0)P(AB 0)+P(B1)P(AB 1)+P(B2)P(AB 2)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理
13、统计14 【正确答案】 X 1 与 X2 的联合分布有如下形式其中 p12=p32=0 是由于 PX1X2=0=1，所以 PX1X20=0再根据边缘分布与联合分布的关系可写出联合分布如下【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由联合分布可以看出 PX1=1， X2=0= ，而 PX1=1PX2=0= 所以 X1 与 X2 不独立【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由题设得 X 的边缘概率密度为同理，Y 的边缘概率密度为 因为 f(x，y)=f X(x).fY(y)，所以X，Y 独立【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由切比雪夫不等式得【知识模块】 概率论与
14、数理统计18 【正确答案】 因【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 记 Ai=第 i 个婴儿是男孩)， =第 i 个婴儿是女孩)，i=1，2 事件 A1A2， 构成一个完备事件组，记 p1=P(A1A2)，则p3=p4，p 1+p2=3(p3+p4)又 P(A 1)=p1+p3=051，于是有【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 记 U=2X，则由随机变量函数的概率密度计算公式得于是 Z=2X+Y=U+Y(其中 U 与 Y 相互独立)的概率密度 fZ(z)= +fU(u)fY(zu)du由于即 fU(u)fY(zu)仅在Dz=(u，z)0u，zu0)(如图 39 的阴影
15、部分)上取值 在 uOz 平面的其他部分取值均为 0，所以： 当 z0 时， +fU(u)fY(zu)du= +0du=0； 当 0z2 时， +fU(u)fY(zu)du= 00du+0z e(zu) du+z+0du = (1e 2 )；当 z2 时， +fU(u)fY(zu)du= 00du+02 e(zu) du+2+0du = (e21)ez 由此得到【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 其中 q=1p【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 Cov(XY，YZ)=Cov(X，Y) Cov(X，Z)Cov(Y，Y)+Cov(Y，Z)=DY=1， D(XY)=D(Y
16、 Z)=2 所以 XY 与 YZ 的相关系数为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 因为 p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩则 p 的矩估计【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 先求矩估计再求最大似然估计解得 的最大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 对矩估计有是 的无偏估计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 (1)(2)【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 易见，随机变量 X1 和 X2 都服从 01 分布，且 PXi=1=P(Ai)，PXi=0= PX0=1，X 2=1=P(A0A2
17、)必要性设随机变量 X1 和 X2 独立，则 P(A1A2)=PX1=1，X 2=1=PX1=1PX2=1=P(A1)P(A2)，从而事件 A1 和 A1 相互独立充分性设事件 A1 和 A1 相互独立，则 也都独立，故 PX1=0，X 2=0= =PX1=0PX2=0，PX1=0，X 2=1= =PX1=0PX2=1，PX 1=1，X 2=0= =PX1=1PX2=0，PX 1=1，X 2=1=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=PX1=1PX2=1，从而随机变量 X1 和 X2 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 (1)由题意于是 PX=1，Y=1=PX=1，Y=1=PX=0，Y=1=025 设(X，Y)的概率分布为因此(X，Y) 的概率分布为 (2)因 Cov(X，Y)=E(XY)EXEY，其中 E(XY)=(1)1025+1( 1)025+1102=0 3，又 EX=02，EY=04，所以 Cov(X，Y)=0 30 204=038【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 其中因为 Xi 取值 0 或 1，故 Xi2=Xi，所以【知识模块】 概率论与数理统计
