1、考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量是( )（A）P -1（B） PT（C） P（D）(P -1)T2 n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角矩阵相似的( )（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件3 则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不
2、合同且不相似4 设三阶矩阵 A 的特征值是 0，1，1，则下列命题中不正确的是 ( )（A）矩阵 AE 是不可逆矩阵（B）矩阵 AE 和对角矩阵相似（C）矩阵 A 属于 1 与1 的特征向量相互正交（D）方程组 A0 的基础解系由一个向量构成5 已知 A 是一个 3 阶实对称正定的矩阵，那么 A 的特征值可能是( )（A）3，i，1（B） 2，1，3（C） 2，i，4（D）1，3，46 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )（A）（B）（C）（D）7 设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(，y，z)A 1 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 A 的正特征值的个数为 ( )（A
3、）0（B） 1（C） 2（D）38 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则，A( 1 2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 10（B） 20（C） 10（D） 20二、填空题9 已知 12 是 A 的特征值，则 a_10 设 A 是 3 阶矩阵，如果矩阵 A 的每行元素的和都是 2，则矩阵 A 必定有特征向量_11 设 (1 ， 1，) T，(1，a，2) T，AE T，且 3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 3 的特征向量是_12 已知矩阵 A 和对角矩阵相似，则 a_13 已知矩阵 A 有两个线性无关的特征向量，则 a_14 已知
4、矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，那么 A 的三个特征值是_15 已知 A 有 3 个线性无关的特征向量，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 26 是 A 的二重特征值，若1 (1，1，0) T， 2(2 ，1，1) T， 3(1，2，3) T 都是 A 属于 6 的特征向量，求矩阵 A17 证明：已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量且线性无关，如 1 2 3 仍是 A 的特征向量，则 1 2 318 设 3 阶对称阵 A 的特征值为 16， 2 33，其中与特征值 16 对应的特征
5、向量为 P1(1，1，1) T，求 A19 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解， (1)证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)2； (2)求 a，b 的值及方程组的通解20 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1(1，2，1)T， 2(0，1，1) T 是线性方程组 A0 的两个解 (1)求 A 的特征值与特征向量；(2)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ21 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 11， 22， 32， 1(1，1，1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量，记 BA 54A 3E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵 (1)验证 1
6、 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量： (2)求矩阵 B22 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 (1)求 A 的所有特征值与特征向量； (2)求矩阵 A23 设 A 为正交阵，且A1，证明 1 是 A 的特征值24 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，3，求A *3A2E 25 已知 P 是矩阵 A 的一个特征向量 (1)求参数 a，b及特征向量 p 所对应的特征值； (2)问 A 能不能相似对角化 ?并说明理由考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【
7、试题解析】 设 B 是矩阵(P -1AP-1)属于 的特征向量，并考虑到 A 为实对称矩阵AT A，有 (P -1AP)T，即 PTA(P-1)T 把四个选项中的向量逐一代入上式替换 ，同时考虑到 A，可得选项 B 正确，即 左端P TA(P-1)T(PT)P TAP TP T右端 所以府诜 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 A【试题解析】 若 AA ，则有可逆矩阵 P 使 P-1AP，或APP令 P( 1， 2， n)，即 A( 1， 2， ， n)( 1， 2， n)(a 11， a22，a nn) 从而有 A ia ii，i 1，2，n 由P 可逆，即有 i0，且
8、1， 2， n 线性无关根据定义可知 1， 2， n 是A 的 n 个线性无关的特征向量 反之，若 A 有 n 个线性无关的特征向量1， 2， n，且满足 Ai ii，i1，2，n 那么，用分块矩阵有 A(1， 2， n)( 1， 2， n) 由于矩阵P( 1， 2， n)可逆，所以 P-1AP ，即 A 与对角矩阵相似所以应选A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 A【试题解析】 由AE (4) 30 可得 A 的特征值 14， 2 3 40又因为 A 为实对称矩阵，所以必存在正交矩阵 P，使得 P -1APP TAP B 可见矩阵 A 与 B 既相似又合同，所以应选 A【知
9、识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 的特征值是 0，1，1，所以矩阵 AE 的特征值是1，0，2由于 0 是矩阵 AE 的特征值，所以 AE 不可逆故命题 A 正确 因为矩阵 AE 的特征值是 1，2，0，矩阵 AE 有三个不同的特征值，所以AE 可以相似对角化命题 B 正确(或由 AA EAE 而知 AE 可相似对角化) 因为矩阵 A 有三个不同的特征值，知 AA 因此，r(A)r( )2，所以齐次方程组 A0 的基础解系由 nr(A)321 个解向量构成，即命题 D 正确 命题 C 的错误在于，若 A 是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交
10、，而一般 n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 D【试题解析】 因为实对称矩阵的特征值都是实数，故选项 A，C 都不正确；又因为正定矩阵的特征值均为正数，故选项 B 也不正确；应用排除法，答案为 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化 选项 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化 选项 C 是秩为 1 的矩阵，因为 EA 34 2，可知矩阵的特征值是 4，0，0对于二重根 0，由秩
11、r(0EA)r(A)1 可知齐次方程组(0EA)0 的基础解系有 312 个线性无关的解向量，即 0 有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化 选项 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 1，由秩 r(E A) 2 可知齐次方程组(EA)0 只有 321 个线性无关的解，亦即 1，只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 B【试题解析】 此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为1故 A 的正特征值个数为 1故应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【
12、正确答案】 B【试题解析】 令 k11k 2A(1 2)0，则 k 11 k211k 2220，即(k 1k 21)1 k2220 因为 1， 2 线性无关，于是有 当 20 时，显然有 k10， k20，此时 1，A( 1 2)线性无关；反过来，若 1，A( 1 2)线性无关，则必然有 20(否则， 1 与 A(1 2) 11，线性相关)，故应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题9 【正确答案】 4【试题解析】 因为 12 是 A 的特征值，因此12EA 0，即 12EA9(4a)0 所以a4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 (1，1，1) T【试题解析
13、】 已知矩阵 A 的每行的元素的和都是 2，因此有即 ， 也就是 ，所以可见矩阵 A 必定有特征向量(1，1，1) T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 k(1，1，1) T，k0【试题解析】 令 B T，因为矩阵 B 的秩是 1，且 Ta1，由此可知矩阵 B的特征值为 a1，0，0那么 AEB 的特征值为 a2，1，1 因为 3 是矩阵 A 的特征值，因此 a23，可得 a1那么就有 B( T)( T)2 (1，1，1) T 是矩阵 B 属于特征值 2 的特征向量，因此也就是矩阵 A 属于特征值 3 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 2【试
14、题解析】 因为E A (2)( 3) 2 所以矩阵A 的特征值分别为 2，3，3，可见矩阵 A 的特征值有重根，已知矩阵 A 和对角矩阵相似，因此对应于特征根 3 有两个线性无关的特征向量，因此可得(3EA)0有两个线性无关的解，因此矩阵 3EA 的秩为 1 3EA 因此可见 a2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 1【试题解析】 A 的特征多项式为 EA (1) 3 所以矩阵 A 的特征值是1，且为 3 重特征值，但是 A 只有两个线性无关的特征向量，即 r(EA) 1， 因此 a1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 2，2，2【试题解析】 因为如果矩
15、阵 A 有 n 个不同的特征值，则对应的 n 个特征向量是线性无关的已知矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必定是三重根，否则 A 至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量 由于主对角元素的和等于所有特征值的和，因此可知 1233，进一步可知 1 2 32【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 的特征方程 EA (1)( 21)0， 因此 A 的特征值是 1(二重) ，1 因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，因此 1 定有两个线性无关的特征向量，因此必有 r(EA)321，根据 EA ，因此 0【知识模块】 矩
16、阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 由 r(A) 2 知，A0，所以 0 是 A 的另一特征值 因为1 26 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 6 的线性无关的特征向量有两个，因此 1， 2， 3 必线性相关，显然 1， 2 线性无关 设矩阵 A 属于 0的特征向量 ( 1， 2， 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出此方程组的基础解系 (1，1，1) T 根据 A(1， 2，)(6 1，6 2，0)，因此 A(6 1，6 2，0)( 1， 2， 3)-1 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案
17、】 若 1 2 3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A(1 2 3)( 1 2 3) 又 A(1 2 3)A 1A 2A 3 11 22 33，于是有 ( 1)1( 2)2( 3)30 因为 1， 2， 3 线性无关，故 10， 20， 30 即 1 2 3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 因 A 是对称阵，必存在正交阵 Q，使得 Q TAQQ -1AQ， 即 AQQ T 设 Q( 1， 2， 3)，则特征值 16 对应的单位特征向量为 1 从而 A3E Q(A3E)Q T 因此 AQ(A3E)Q T3E【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 (1
18、)设 1， 2， 3 是方程组 A 的 3 个线性无关的解，其中则有 A(1 2)0，A( 1 3)0 因此1 2， 1 3 是对应齐次线性方程组 A的解，且线性无关( 否则，易推出1， 2， 1 3 线性相关，矛盾 ) 所以 nr(A)2，即 4r(A)2，那么 r(A)2 又矩阵 A 中有一个 2 阶子式 10，所以 r(A)2 因此 r(A)2 (2)因为又 r(A)2，则有对原方程组的增广矩阵 作初等行变换，故原方程组与下面的方程组同解 选 3， 4 为自由变量，则 故所求通解为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 (1)因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以有则
19、由特征值和特征向量的定义知，3 是矩阵 A 的特征值，(1，1，1) T 是对应的特征向量对应 3 的全部特征向量为 k(1，1，1) T，其中 k 为不为零的常数 又由题设知 A10，A 20，即A10. 1，A 20. 2，而且 1， 2 线性无关，所以 0 是矩阵 A 的二重特征值，1， 2 是其对应的特征向量，因此对应 0 的全部特征向量为k11 k22 k1，(1，2，1) Tk 2(0，1，1) T，其中 k1，k 2 为不全为零的常数 (2)因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1， 2 正交，所以只需将 1 与 2 正交 由施密特正交化法，取 1 12 2 再将 ， 1， 2 单位
20、化，得令Q( 1， 2， 3)，则 Q-1Q T，由 A 是实对称矩阵必可相似对角化，得 QTAQ【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 (1)由 A1 1 得 A21A 1 1，依次递推，则有A31 1，A 51 1， 故 B1(A 54A 3E) 1 A 514A 31 12 1， 即 1是矩阵 B 的属于特征值2 的特征向量 由关系式 BA 54A 3E 及 A 的 3 个特征值 11， 22， 3 2 得 B 的 3 个特征值为 12， 21， 31 设2， 3 为 B 的属于 2 31 的两个线性无关的特征向量，又由 A 为对称矩阵，则 B 也是对称矩阵，因此 1 与
21、 2、 3 正交，即 1T20， 1T30 因此 2， 3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 (1，1，1) 0， 得其基础解系为： ，故可取 即 B 的全部特征值的特征向量为： ，其中 k10，k 2，k 3，不同时为零【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 r(A)23，因此 A 有一个特征值为 0，另外两个特征值分别是 11， 21 由上式知，11， 21 对应的特征向量为 设 30 对应的特征向量为 两两正交，于是得 由此得是特征值 0 对应的特征向量 因此 k12，k 22，k 3 依次对应于特征值1，1，0 的特征向量，其中 k1，k 2，k 3 为任意非
22、零常数 (2)由于 APP -1 其中 故【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 要证 1 是 A 的特征值，需证A E 0 因为AE AA TA(EA T)AE A TAA E ，因此AE 0，所以 1 是 A 的特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 因为A12(3) 60 ，所以 A 可逆，故 A *A A -16A -1 A *3A2E6A -13A2E 设 为 A 的特征值，则6 -132 为6A -13A2E 的特征函数 令 ()6 -132，则(1)1，(2)5，(3)5 是6A -13A2E 的特征值，故 A *3A2E6A -13A2E (1).(2).(3) (1)5(5) 25【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 (1)设 是特征向量 p 所对应的特征值，根据特征值的定义，有 (A E)P0 ， 解得 a3，b0，且 P 所对应的特征值 1 (2)A 的特征多项式为 A E (1) 3， 得 A 的特征值为 1(三重) 故若 A 能相似对角化，则特征值 1 有 3 个线性无关的特征向量，而即 r(A E)2，所以齐次线性方程组(A E)0 的基础解系只有一个解向量，因此 A 不能相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
