[考研类试卷]考研数学一(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷2及答案与解析.doc

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1、考研数学一(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶实对称矩阵,P 是 n 阶可逆矩阵,已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量,则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量是( )(A)P -1(B) PT(C) P(D)(P -1)T2 n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角矩阵相似的( )(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)既非充分也非必要条件3 则 A 与 B( )(A)合同且相似(B)合同但不相似(C)不合同但相似(D)不

2、合同且不相似4 设三阶矩阵 A 的特征值是 0,1,1,则下列命题中不正确的是 ( )(A)矩阵 AE 是不可逆矩阵(B)矩阵 AE 和对角矩阵相似(C)矩阵 A 属于 1 与1 的特征向量相互正交(D)方程组 A0 的基础解系由一个向量构成5 已知 A 是一个 3 阶实对称正定的矩阵,那么 A 的特征值可能是( )(A)3,i,1(B) 2,1,3(C) 2,i,4(D)1,3,46 下列矩阵中,不能相似对角化的矩阵是( )(A)(B)(C)(D)7 设 A 为 3 阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(,y,z)A 1 在正交变换下的标准方程的图形如图所示,则 A 的正特征值的个数为 ( )(A

3、)0(B) 1(C) 2(D)38 设 1, 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 1, 2,则,A( 1 2)线性无关的充分必要条件是( )(A) 10(B) 20(C) 10(D) 20二、填空题9 已知 12 是 A 的特征值,则 a_10 设 A 是 3 阶矩阵,如果矩阵 A 的每行元素的和都是 2,则矩阵 A 必定有特征向量_11 设 (1 , 1,) T,(1,a,2) T,AE T,且 3 是矩阵 A 的特征值,则矩阵 A 属于特征值 3 的特征向量是_12 已知矩阵 A 和对角矩阵相似,则 a_13 已知矩阵 A 有两个线性无关的特征向量,则 a_14 已知

4、矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量,那么 A 的三个特征值是_15 已知 A 有 3 个线性无关的特征向量,则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2, 1 26 是 A 的二重特征值,若1 (1,1,0) T, 2(2 ,1,1) T, 3(1,2,3) T 都是 A 属于 6 的特征向量,求矩阵 A17 证明:已知 1, 2, 3 是 A 的特征值, 1, 2, 3 是相应的特征向量且线性无关,如 1 2 3 仍是 A 的特征向量,则 1 2 318 设 3 阶对称阵 A 的特征值为 16, 2 33,其中与特征值 16 对应的特征

5、向量为 P1(1,1,1) T,求 A19 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解, (1)证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)2; (2)求 a,b 的值及方程组的通解20 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 1(1,2,1)T, 2(0,1,1) T 是线性方程组 A0 的两个解 (1)求 A 的特征值与特征向量;(2)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A,使得 QTAQ21 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 11, 22, 32, 1(1,1,1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量,记 BA 54A 3E ,其中 E 为 3 阶单位矩阵 (1)验证 1

6、 是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量: (2)求矩阵 B22 A 为 3 阶实对称矩阵,A 的秩为 2,且 (1)求 A 的所有特征值与特征向量; (2)求矩阵 A23 设 A 为正交阵,且A1,证明 1 是 A 的特征值24 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,2,3,求A *3A2E 25 已知 P 是矩阵 A 的一个特征向量 (1)求参数 a,b及特征向量 p 所对应的特征值; (2)问 A 能不能相似对角化 ?并说明理由考研数学一(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【

7、试题解析】 设 B 是矩阵(P -1AP-1)属于 的特征向量,并考虑到 A 为实对称矩阵AT A,有 (P -1AP)T,即 PTA(P-1)T 把四个选项中的向量逐一代入上式替换 ,同时考虑到 A,可得选项 B 正确,即 左端P TA(P-1)T(PT)P TAP TP T右端 所以府诜 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 A【试题解析】 若 AA ,则有可逆矩阵 P 使 P-1AP,或APP令 P( 1, 2, n),即 A( 1, 2, , n)( 1, 2, n)(a 11, a22,a nn) 从而有 A ia ii,i 1,2,n 由P 可逆,即有 i0,且

8、1, 2, n 线性无关根据定义可知 1, 2, n 是A 的 n 个线性无关的特征向量 反之,若 A 有 n 个线性无关的特征向量1, 2, n,且满足 Ai ii,i1,2,n 那么,用分块矩阵有 A(1, 2, n)( 1, 2, n) 由于矩阵P( 1, 2, n)可逆,所以 P-1AP ,即 A 与对角矩阵相似所以应选A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 A【试题解析】 由AE (4) 30 可得 A 的特征值 14, 2 3 40又因为 A 为实对称矩阵,所以必存在正交矩阵 P,使得 P -1APP TAP B 可见矩阵 A 与 B 既相似又合同,所以应选 A【知

9、识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 的特征值是 0,1,1,所以矩阵 AE 的特征值是1,0,2由于 0 是矩阵 AE 的特征值,所以 AE 不可逆故命题 A 正确 因为矩阵 AE 的特征值是 1,2,0,矩阵 AE 有三个不同的特征值,所以AE 可以相似对角化命题 B 正确(或由 AA EAE 而知 AE 可相似对角化) 因为矩阵 A 有三个不同的特征值,知 AA 因此,r(A)r( )2,所以齐次方程组 A0 的基础解系由 nr(A)321 个解向量构成,即命题 D 正确 命题 C 的错误在于,若 A 是实对称矩阵,则不同特征值的特征向量相互正交

10、,而一般 n 阶矩阵,不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 D【试题解析】 因为实对称矩阵的特征值都是实数,故选项 A,C 都不正确;又因为正定矩阵的特征值均为正数,故选项 B 也不正确;应用排除法,答案为 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是实对称矩阵,实对称矩阵必可以相似对角化 选项 B 是下三角矩阵,主对角线元素就是矩阵的特征值,因而矩阵有三个不同的特征值,所以矩阵必可以相似对角化 选项 C 是秩为 1 的矩阵,因为 EA 34 2,可知矩阵的特征值是 4,0,0对于二重根 0,由秩

11、r(0EA)r(A)1 可知齐次方程组(0EA)0 的基础解系有 312 个线性无关的解向量,即 0 有两个线性无关的特征向量,从而矩阵必可以相似对角化 选项 D 是上三角矩阵,主对角线上的元素 1,1,1 就是矩阵的特征值,对于二重特征值 1,由秩 r(E A) 2 可知齐次方程组(EA)0 只有 321 个线性无关的解,亦即 1,只有一个线性无关的特征向量,故矩阵必不能相似对角化,所以应当选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 B【试题解析】 此二次曲面为旋转双叶双曲面,此曲面的标准方程为1故 A 的正特征值个数为 1故应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【

12、正确答案】 B【试题解析】 令 k11k 2A(1 2)0,则 k 11 k211k 2220,即(k 1k 21)1 k2220 因为 1, 2 线性无关,于是有 当 20 时,显然有 k10, k20,此时 1,A( 1 2)线性无关;反过来,若 1,A( 1 2)线性无关,则必然有 20(否则, 1 与 A(1 2) 11,线性相关),故应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题9 【正确答案】 4【试题解析】 因为 12 是 A 的特征值,因此12EA 0,即 12EA9(4a)0 所以a4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 (1,1,1) T【试题解析

13、】 已知矩阵 A 的每行的元素的和都是 2,因此有即 , 也就是 ,所以可见矩阵 A 必定有特征向量(1,1,1) T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 k(1,1,1) T,k0【试题解析】 令 B T,因为矩阵 B 的秩是 1,且 Ta1,由此可知矩阵 B的特征值为 a1,0,0那么 AEB 的特征值为 a2,1,1 因为 3 是矩阵 A 的特征值,因此 a23,可得 a1那么就有 B( T)( T)2 (1,1,1) T 是矩阵 B 属于特征值 2 的特征向量,因此也就是矩阵 A 属于特征值 3 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 2【试

14、题解析】 因为E A (2)( 3) 2 所以矩阵A 的特征值分别为 2,3,3,可见矩阵 A 的特征值有重根,已知矩阵 A 和对角矩阵相似,因此对应于特征根 3 有两个线性无关的特征向量,因此可得(3EA)0有两个线性无关的解,因此矩阵 3EA 的秩为 1 3EA 因此可见 a2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 1【试题解析】 A 的特征多项式为 EA (1) 3 所以矩阵 A 的特征值是1,且为 3 重特征值,但是 A 只有两个线性无关的特征向量,即 r(EA) 1, 因此 a1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 2,2,2【试题解析】 因为如果矩

15、阵 A 有 n 个不同的特征值,则对应的 n 个特征向量是线性无关的已知矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量,所以 A 的特征值必定是三重根,否则 A 至少应该有两个不同的特征值,同时也会有两个线性无关的特征向量 由于主对角元素的和等于所有特征值的和,因此可知 1233,进一步可知 1 2 32【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 的特征方程 EA (1)( 21)0, 因此 A 的特征值是 1(二重) ,1 因为 A 有 3 个线性无关的特征向量,因此 1 定有两个线性无关的特征向量,因此必有 r(EA)321,根据 EA ,因此 0【知识模块】 矩

16、阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 由 r(A) 2 知,A0,所以 0 是 A 的另一特征值 因为1 26 是实对称矩阵的二重特征值,故 A 属于 6 的线性无关的特征向量有两个,因此 1, 2, 3 必线性相关,显然 1, 2 线性无关 设矩阵 A 属于 0的特征向量 ( 1, 2, 3)T,由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,故有 解出此方程组的基础解系 (1,1,1) T 根据 A(1, 2,)(6 1,6 2,0),因此 A(6 1,6 2,0)( 1, 2, 3)-1 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案

17、】 若 1 2 3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量,即 A(1 2 3)( 1 2 3) 又 A(1 2 3)A 1A 2A 3 11 22 33,于是有 ( 1)1( 2)2( 3)30 因为 1, 2, 3 线性无关,故 10, 20, 30 即 1 2 3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 因 A 是对称阵,必存在正交阵 Q,使得 Q TAQQ -1AQ, 即 AQQ T 设 Q( 1, 2, 3),则特征值 16 对应的单位特征向量为 1 从而 A3E Q(A3E)Q T 因此 AQ(A3E)Q T3E【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 (1

18、)设 1, 2, 3 是方程组 A 的 3 个线性无关的解,其中则有 A(1 2)0,A( 1 3)0 因此1 2, 1 3 是对应齐次线性方程组 A的解,且线性无关( 否则,易推出1, 2, 1 3 线性相关,矛盾 ) 所以 nr(A)2,即 4r(A)2,那么 r(A)2 又矩阵 A 中有一个 2 阶子式 10,所以 r(A)2 因此 r(A)2 (2)因为又 r(A)2,则有对原方程组的增广矩阵 作初等行变换,故原方程组与下面的方程组同解 选 3, 4 为自由变量,则 故所求通解为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 (1)因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3,所以有则

19、由特征值和特征向量的定义知,3 是矩阵 A 的特征值,(1,1,1) T 是对应的特征向量对应 3 的全部特征向量为 k(1,1,1) T,其中 k 为不为零的常数 又由题设知 A10,A 20,即A10. 1,A 20. 2,而且 1, 2 线性无关,所以 0 是矩阵 A 的二重特征值,1, 2 是其对应的特征向量,因此对应 0 的全部特征向量为k11 k22 k1,(1,2,1) Tk 2(0,1,1) T,其中 k1,k 2 为不全为零的常数 (2)因为 A 是实对称矩阵,所以 与 1, 2 正交,所以只需将 1 与 2 正交 由施密特正交化法,取 1 12 2 再将 , 1, 2 单位

20、化,得令Q( 1, 2, 3),则 Q-1Q T,由 A 是实对称矩阵必可相似对角化,得 QTAQ【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 (1)由 A1 1 得 A21A 1 1,依次递推,则有A31 1,A 51 1, 故 B1(A 54A 3E) 1 A 514A 31 12 1, 即 1是矩阵 B 的属于特征值2 的特征向量 由关系式 BA 54A 3E 及 A 的 3 个特征值 11, 22, 3 2 得 B 的 3 个特征值为 12, 21, 31 设2, 3 为 B 的属于 2 31 的两个线性无关的特征向量,又由 A 为对称矩阵,则 B 也是对称矩阵,因此 1 与

21、 2、 3 正交,即 1T20, 1T30 因此 2, 3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解,即 (1,1,1) 0, 得其基础解系为: ,故可取 即 B 的全部特征值的特征向量为: ,其中 k10,k 2,k 3,不同时为零【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 r(A)23,因此 A 有一个特征值为 0,另外两个特征值分别是 11, 21 由上式知,11, 21 对应的特征向量为 设 30 对应的特征向量为 两两正交,于是得 由此得是特征值 0 对应的特征向量 因此 k12,k 22,k 3 依次对应于特征值1,1,0 的特征向量,其中 k1,k 2,k 3 为任意非

22、零常数 (2)由于 APP -1 其中 故【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 要证 1 是 A 的特征值,需证A E 0 因为AE AA TA(EA T)AE A TAA E ,因此AE 0,所以 1 是 A 的特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 因为A12(3) 60 ,所以 A 可逆,故 A *A A -16A -1 A *3A2E6A -13A2E 设 为 A 的特征值,则6 -132 为6A -13A2E 的特征函数 令 ()6 -132,则(1)1,(2)5,(3)5 是6A -13A2E 的特征值,故 A *3A2E6A -13A2E (1).(2).(3) (1)5(5) 25【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 (1)设 是特征向量 p 所对应的特征值,根据特征值的定义,有 (A E)P0 , 解得 a3,b0,且 P 所对应的特征值 1 (2)A 的特征多项式为 A E (1) 3, 得 A 的特征值为 1(三重) 故若 A 能相似对角化,则特征值 1 有 3 个线性无关的特征向量,而即 r(A E)2,所以齐次线性方程组(A E)0 的基础解系只有一个解向量,因此 A 不能相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量

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