1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (05 年 )设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=02 (10 年 )设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=O若 A 的秩为 3，则 A 相似于3 (13 年 )矩阵 相似的充分必要条件为（A）a=0 ，b=2（B） a=0，b 为任意常数（C） a=2，b=0（D）a=2,b 为任意常数4 (16 年 )设 A，B 是可逆矩阵，且
2、 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（A）A T 与 BT 相似（B） A-1 与 B-1 相似（C） A+AT 与 B+BT 相似（D）A+A -1 与 B+B-1 相似5 (01 年 )设 则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似6 (07 年 )设矩阵 ，则 A 与 B（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似7 (08 年 )设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 A 的正特征值的个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）3 8 (15 年 )设二次型
3、 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y12+y22 一 y32，其中 P=(e1，e 2，e 3)若 Q=(e1，一 e3，e 2)，则 f(x1， x2，x 3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为（A）2y 12 一 y22+y32（B） 2y12+y22 一 y32（C） 2y12 一 y22 一 y32（D）2y 12+y22+y32二、填空题9 (08 年 )设 A 为 2 阶矩阵， 1， 2 为线性无关的 2 维向量，A 1=0，A 2=21+2，则 A 的非零特征值为_10 (09 年) 若 3 维列向量 ， 满足 T=2，其中 T 为 的转置，则矩阵
4、 T 的非零特征值为_。11 (02 年) 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换x=Py 可化成标准形 f=6y12，则 a=_12 (11 年) 若二次曲面的方程 x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4 经正交变换化为y12+4z12=4，则 a=_13 (14 年) 设二次型 f(x1， x2，x 3)=x12 一 x22+2ax1x3+4x2x3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 (06 年) 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和
5、均为 3，向量 1=(一 1，2，一 1)T， 2=(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解 (I)求 A 的特征值与特征向量；()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A15 (07 年) 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 2，且 1=(1，一 1，1)T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A5 一 4A3+E,其中 E 为 3 阶单位矩阵 (I)验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B16 (11 年) 设 A 为 3 阶实对称矩阵， A 的秩为 2，且 (I)求A 的所有特征值与特
6、征向量()求矩阵 A17 (14 年) 证明 n 阶矩阵*01843相似18 (15 年) 设矩阵 相似于矩阵 (I)求 a，b 的值；( )求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵19 (16 年) 已知矩阵 A= (I)求 A99；()设 3 阶矩阵 B=(1， 2， 3)满足B2=BA，记 B100=(1， 2， 3)，将 1， 2， 3 分别表示为 1， 2， 3 的线性组合20 (90 年) 求一个正交变换，化二次型 f=x 12+4x22+4x32 一 4x1x2+4x1x38x2x3 成标准形21 (91 年) 设 A 是 n 阶正定阵， E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的
7、行列式大于 122 (93 年) 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a0)通过正交变换化成标准形 f=y12+2y22+5y32，求参数 a 及所用的正交变换矩阵23 (96 年) 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+cx32 一 2x1x2+6x1x36x2x3 的秩为 2 (1)求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值 (2)指出方程 f(x1，x 2，x 3)=1 表示何种二次曲面24 (98 年) 已知二次曲面方程 x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换化为椭圆柱面方程 2+42=4，求
8、 a、b 的值和正交矩阵 P25 (99 年) 设 A 为 m 阶实对称阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵试证：B TAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n26 (05 年) 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1 一 a)x12+(1 一 a)x22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为2 (I)求 a 的值； ()求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化成标准形； ()求方程f(x1，x 2，x 3)=0 的解27 (09 年) 设二次型 f(x1， x2，x 3)=ax12+ax22+(a 一 1)x32+2x1x32x2x
9、3 (I)求二次型f 的矩阵的所有特征值； ()若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值28 (10 年) 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y12+y22，且 Q 的第 3 列为 (I)求矩阵 A；( )证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3阶单位矩阵29 (12 年) 已知 二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为 2(I)求实数 a 的值； ()求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形30 (13 年) 设二次型 f(x1， x2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2
10、+b3x3)2，记(I)证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T()若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 设 为 A 的特征值且 为对应的特征向量，则有Am=m(m=1，2，)，故有 (A 2+A)=O=0， 即 ( 2+)=0， 因 0，得2+=0，从而有 =0 或 =一 1，又因 r(A)=3，所以 A 的非零特征值有 3 个，有 1个特征值为 0，即 A 的全部
11、特征值为：一 1，一 1，一 1，0，所以只有选项(D) 正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 B 为对角矩阵，B 的特征值为其主对角线元素 2，b，0若 A 与 B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知 2 为 A 的一个特征值，从而有由此得 a=0当 a=0 时，矩阵 A 的特征多项式为由此得 A 的全部特征值为2，b，0以下可分两种情形：情形 1：若 6 为任意实数，则 A 为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时 A 必相似于 B综上可知，A 与 B 相似的充分必要条件为a=0，b 为任意常数所以只有
12、选项(B)正确情形 2：若 b 是任意复数而不是实数，则 3 阶矩阵 A 有 3 个互不相同的特征值，因此 A 必相似于对角矩阵 B只有选项(B)正确【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件知，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B(1) 由(1)两端取转置，得 PTAT(PT)-1=BT，可见 AT 与 BT 相似，因此选项(A)正确； 由(1)两端取逆矩阵，得 P-1A-1P=B-1(2)，可见 A-1 与 B-1 相似，因此选项(B)正确； 将(1)与(2)相加，得 P-1(A+A-1)P=B+B-1，可见 A+A-1 与 B+B-1 相似，因此选项(D)正确故
13、只有选项(C) 错误【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A 为实对称矩阵，且易求出 A 的特征值为 1=4， 2=3=4=0，所以必有正交矩阵 P，使得 即 A 既相似于B，也合同于 B，所以(A)正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 由 A 的特征方程得 A 的全部特征值为 1=2=3， 3=0，由此知 A 不相似于对角矩阵 B(因为 A 的相似对角矩阵的主对角线元素必是 A 的全部特征值 3，3，0)，但由 A 的特征值知 3元二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 的秩及正惯性指数均为(二次型 f=xTAx 经适当的正交变换可化成标准
14、形 f=3y12+3y22，再经可逆线性变换可化成规范形 f=z12+z22，而 f 的矩阵 A 与 f 的规范形的矩阵 B=diag(1，1，0)是合同的)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 由图形知该二次曲面为双叶双曲面，其标准方程为 1x2 一 2y2 一3z2=1，其中 i0(i=1，2，3)，由于用正交变换化成的标准方程中各变量平方项的系数为 A 的特征值，故 A 的特征值为： 10，一 20，一 30，因此 A 的正特征值的个数为 1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型的矩阵为 A，则由题意知矩阵 P 的列向量 e1，e 2，e 3
15、是矩阵 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，1，一 1即有Ae1=2e1，Ae 2=2e2，Ae 3=2e3 从而有 AQ=A(e1，一 e3，e 2)=(Ae1，一 Ae3，Ae 2)=(2e1，一(一 e3)，e 2)= 矩阵 Q 的列向量 e1，一 e3，e 2 仍是 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，一 1，1矩阵 Q 是正交矩阵，有 Q-1=QT，上式两端左乘 Q-1，得 从而知 f 在正交变换 x=Py 下的标准形为 f=2y12y22+y32于是选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由 1， 2 线性无关，知 21
16、+20，又由已知条件知 A(21+2)=2A1+A2=0+21+2=21+2=1.(21+2)，于是由定义知 =1 为 A 的一个特征值且21+2 为对应的一个特征向量【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 2【试题解析】 由于 T=2，故 0，且有( T)=(T)=2，于是由特征值与特征向量的定义，知 2 为方阵 T 的一个特征值且 为对应的一个特征向量下面还可证明方阵 T 只有一个非零特征值首先可证方阵 T 的秩为 1：由 T0 知r(T)1，又由 r(T)r()=1，知 r(T)=1，故 0 为 T 的特征值其次可证 0 为T 的 2 重特征值：由于齐次线性方程组(O 一 T)x=0
17、的基础解系所含向量的个数一一即方阵 T 的属于特征值 0 的线性无关特征向量的个数 =3-r(T)=3-1=2，所以 0 至少是 T 的 2 重特征值，但不会是 3 重特征值 (否则 T=0)既然 3 阶方阵T 有 2 重特征值 0，因此其非零特征值就只能有一个【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 2【试题解析】 由题设条件知，f 的矩阵为 由于在正交变换下化 f所成的标准形中，变量平方项的系数为 A 的全部特征值，故由 f 的标准形知 A 的特征值为 6，0，0再由特征值的性质：A 全部特征值之和等于 A 的主对角线元素之和，即 6+0+0=a+a+a 便得 a=2【知识模块】 线性代数
18、12 【正确答案】 1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 一 2，2【试题解析】 对 f 配方，可得 f=(x1+ax3)2 一(x 22x3)2+(4 一 a2)x32 于是 f 可经可逆线性变换 化成标准形 f=z12 一 z22+(4 一 a2)z32 若 4 一 a20，则f 的负惯性指数为 2，不合题意；若 4 一 a20，则 f 的负惯性指数为 1因此，当且仅当 4 一 a20，即|a|2 时，f 的负惯性指数为 1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 (I)由于矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以因为 A1=0，A 2
19、=0，即 A1=01，A 2=02 故由定义知1=2=0 是 A 的二重特征值， 1， 2 为 A 的属于特征值 0 的两个线性无关特征向量；3=3 是 A 的一个特征值， 3=(1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (I)记矩阵 A 的属于特征值 i 的特征向量为 i(i=1，2，3)，由特征值的定义与性质，有 Aki=iki(i=1，2，3，k=1 ，2，)，于是有 B 1=(A5 一4A3+E)1=(15 一 41【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (I)由于 A 的秩为 2，故 0 是 A 的一个特征值由题设可得所以，一 1 是 A 的一个特征值，且属于一 1的特征向量为
20、k1(1，0，一 1)T，k 1 为任意非零常数；1 也是 A 的一个特征值，且属于 1 的特征向量为 k2(1，0，1) T，k 2 为任意非零常数设 x=(x1，x 2，x 3)T 为 A 的属于 O 的特征【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 所以 A与 B 有相同的特征值 1=n， n=0(n 一 1 重)由于 A 为实对称矩阵，所以 A 相似于对角矩阵 因为 r(2E 一 B)=r(B)=1，所以 B 的对应于特征值 2=0 有 n 一 1 个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知 B 也相似于 A再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知 A 与 B 也相似【知识
21、模块】 线性代数18 【正确答案】 (I)由于矩阵 A 与 B 相似，所以二矩阵有相同的迹 (主对角线元素之和)、有相同的行列式，由此得 a+3=b+2，2a 一 3=b 解得 a=4，b=5()由于矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征多项式： |E 一 A|=|E 一 B|=( 一 1)2( 一5)由此得 A 的特征值为 1=2=1， 3=5 对于 1=2=1，解方程组(E 一 A)x=0，有得对应于 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (I)利用方阵 A 的相似对角化来求方阵 A 的幂，为此先来求 A 的特征值与特征向量，由|E 一 A|= =(+1)(+2)=0，得 A 的
22、全部特征值为 1=0， 2=一 1， 3=一 2，对于特征值 1=0，解方程组 Ax=0，得对应的特征向量 1=(3，2，2) T，对于特征值 2=一 1，解方程组(一 EA)x=0，得对应的特征向量 2【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 f 的矩阵为得 A 的全部特征值为 1=2=0， 3=9对于 1=2=0，求方程组(0EA)X=0 的基础解系，由 从而可取 A 的对应于 1=2=0 的特征向量为 1 与 2 已经正交，将它们单位化，得对于 3=9，求方程组(9EA)X=0 的基础解系，由【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 A 是正定阵，故存在正交阵 Q，使其中 i0(i
23、=1，2，n)是 A 的特征值因此 QT(A+E)Q=QTAQ+QTQ在上式两端取行列式，得=|QT(A+E)Q|=|QT|A+E|Q|=|A+E|从而 |A+E|1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 二次型 f 的矩阵为A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=5将 =1(或 =5)代入特征方程，得 a2 一 4=0，a=2 ，又a0，故 a=2这时， 1=1 时，由 (IA)X=0，即解得对应的特征向量 2=2 时，由(2IA)X=0，解得对应的特征向量为 3=5 时，由 (5IA)X=0，解得对应的特征向量为【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)f 对应的矩阵为 因其秩 r
24、(A)=2，故解得 c=3，容易验证此时 A 的秩的确是 2或由可知当且仅当 c=3 时 r(A)=2这时故所求特征值为1=0， 2=4， 3=9(2)由上述特征值可知，f(x 1，x 2，x 3)=1 表示椭圆柱面【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 解之得到 a=3，b=1计算可得，矩阵 的对应于特征值 1=0， 2=1， 3=4 的单位特征向量分别可取为因此所求正交矩阵 P 可取为【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 必要性：设 BTAB 为正定矩阵，则对任意的实 n 维列向量 x0，有 xT(BTAB)x0，即 (Bx) TA(Bx)0 于是 Bx0因此，Bx=0 只有零解，从
25、而有r(B)=n 充分性：因 (BTAB)T=BTATB=BTAB，故 BTAB 为实对称矩阵若 r(B)=n，则齐次线性方程组 Bx=0 只【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)f 的秩为 2，即 f 的矩阵 的秩为 2所以有 =一 4a=0，得 a=0(2)当 a=0 时，=(-2)2 可知 A 的特征值为1=2=2， 3=0A 的属于 1=2 的线性无关的特征向量为 1=(1，1，0)T， 2=(0，0， 1)TA 的属于 3=0 的线性无关的特【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (I)f 的矩阵为 由特征方程=(a)( 一 a)2+( 一 a)一 2=(a)(a+2)(
26、a 一 1)=0，得 A 的特征值为 1=a， 2=a一 2， 3=a+1() 由 f 的规范形知 f 的秩为 2，正惯性指数为 2(负惯性指数为 0)，因此，A 的特征值 2 个为正，1 个为 0若 1=a=0，则 2=一 20， 3=1，不合题意；若 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (I)由题设，A 的特征值为 1，1，0，且(1，0，1) T 为 A 的属于特征值 0 的一个特征向量设(x 1，x 2，x 3)T 为 A 的属于特征值 1 的特征向量，因为A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以(x 1，x 2，x 3) =0，即 x1+x3=0，取(0，1，0) T 为 A 的属【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (I)因为 r(ATA)=r(A)，对 A 施以初等行变换可见当 a=一 1 时，r(A)=2，所以 a=一1( )由于 a=一 1，所以 ATA= 矩阵 ATA 的特征多项式为=( 一 2)(2 一6)=( 一 2)( 一 6)于是得 ATA 的特征值为 1=2， 2=6， 3=0对于 1=2由求方程组【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2=2xT【知识模块】 线性代数
