1、考研数学一（线性方程组）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2011 年试题，一) 设 A=(1,2,3,4)是 4 阶矩阵， A*为 A 的伴随矩阵，若(1，0， 1，0)是方程组 Ac=0 的一个基础解系，则 A*x=0 的基础解系可为( )（A） 1,3（B） 1,2（C） 1,2， 3（D） 2,3,42 (2003 年试题，二) 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的
2、解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是( ) （A）（B） （C） （D）3 (2002 年试题，二) 设有三张不同的平面，其方程分别为ai1x+ai2y+ai3z=bi，i=1，2， 3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2，则这三张平面可能的位置关系为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题4 (2000 年试题，一) 已知方程组 无解，则 a=_.5 (1997 年试题，一) 设 为三阶非零矩阵，且 AB=0，则t=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
3、或演算步骤。6 (2004 年试题，三) 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时该方程组有非零解，并求出其通解6 (2012 年试题，三) 已知7 计算行列式A；8 当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解8 (2010 年试题，20) 设 已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同解9 求 ，；10 求 Ax=b 的通解10 (2009 年试题。20) 设11 求满足 A2=3，A 23=1 的所有向量 2， 3；12 对(I)中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3，线性无关12 (2008 年试题,21) 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中13 证明行列式A=(n+
4、1)a n；14 a 为何值，方程组有唯一解? 求 x1；15 a 为何值，方程组有无穷多解? 求通解15 (2006 年试题，20) 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解16 证明方程组系数矩阵 A 的秩 rA=2；17 求 a，b 的值及方程组的通解18 (2002 年试题,九) 已知 4 阶方阵 A=(1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中 2,3,4 线性无关， 1=22 一 3如果 =1+2+3+4，求线性方程组Ax= 的通解19 (1998 年试题，十二) 已知线性方程组(I) 的一个基础解系为(b 11，b 12，b 1,2n)T，(b
5、21，b 22，b 2,2n)T，(b n1,bn2，b n,2n)T试写出线性方程组() 的通解，并说明理由20 (2001 年试题，九) 设 1， 2 s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t11+t22， 2=t12+t23， 3=t11+t21，其中 t1，t 2 为实常数，试问 t1，t 2 满足什么关系时， 1， 2， ， s，也为 Ax=0 的一个基础解系21 (2007 年试题，21) 设线性方程组 1577(1)与方程 x1+2x2+x3=a一 1(2)有公共解，求 a 的值及所有公共解22 (2005 年试题，21) 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是 (a，b，c
6、)，a,b，c 不全为零，矩阵 B= (k 为常数)，且 AB=0，求线性方程组 Ax=0 的通解23 (2003 试题，十) 已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2by+3c=0；l 2：bx+2cy+3a=0；l 3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0考研数学一（线性方程组）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Ax=0 基础解系含一个线性无关的解向量，所以 rA=3，于是r(A*)=1，故 A*x=0 基础解系含 3 个线性无关的解向量，又
7、 A*A=AE=0 且rA=3，所以 A 的列向量组中含 A*x=0 的基础解系，因为(1，0，1，0) T 是方程组Ax=0 的基础解系，所以 1+3=0，故 1,2,4 或 2,3,4 线性无关，显然 2,3,4为 A*x=0 的一个基础解系，故选 D【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 B【试题解析】 分析一，不难排除掉，因为从系数矩阵的秩的大小关系，得不出它们的解的关系，而， 的成立是因线性齐次方程组的解空间的维数与系数矩阵的秩的关系而得以保证的设 Ax=0 的一个基础解系为1， 2 r，而 Bx=0 的一个基础解系为 12 s，则 r=nrA，s=n 一 rB，若 Ax=0 的解
8、全是 Ax=0 的解，则 1， r 可由 12 S 线性表示，即 rs，从而 rBrA， 成立；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 r=s，因而有 rA=rB，综上，选B 齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件是 A，B 的行向量组等价【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设，记系数矩阵、增广矩阵分别为由于 rA=rB=2，所以线性方程组 Ax=b有无穷多解，且相应的齐次方程组 Ax=0 的解空间维数为 1，因此 Ax=b 通解形如x=k+ 其中 k 为任意常数， 是 Ax=0 的基础解系， 是 Ax=b 的任一特解，这说明三个平面的公共点是一直线，因
9、此选 B以本题为例，一般地，若 rArB，则三个平面无交点；若 rA=rB=3。则有唯一交点；若 rA=rB=2，则相交于一条直线；若 rA=rB=1，则三个平面合【知识模块】 线性方程组二、填空题4 【正确答案】 将原方程组增广矩阵化为阶梯形为由于已知方程组无解，则必有系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，因此只有 a2 一 2a3=0 且 a 一30 才满足要求，解得 a=一 1考点 2 求齐次线性方程组的基础解系、通解【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 由于曰为三阶非零矩阵，且 AB=0，设 B=(1， 2， 3)，其中i=(i=1，2，3)是列向量，且不全为 0，因此 AB=0 必有非零
10、解，所以A =0，即求得 t=一 3解析二由 AB=0rA+rB3，又rB0rA2A=0t=一 3【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 对系数矩阵 A 进行初等行变换可得当 a=0 时，rA=11+x2+xn=0 不难求得其基础解系为所以原方程组通解为x=C11+C22+Cn-1n-1，其中 C1，C 2，C n-1 是任意常数当 a0 时，系数矩阵 A 可由初等行变换化为由已知原方程组有非零解，则 此时 rA=n 一 1 可求得相应的基础解系为=(1，2，n) T，从而原方程组通解为 x=C，其中 C 为任意常数解析二由已知原方程组有非零
11、解，则系数行列式A=0，即从而 a=0 或 以下分别采用与解析一中相同的初等行变换，可求得相应基础解系，从而得出通解【试题解析】 矩阵 A 的行列式A可以用特征值之积得到，即因为矩阵 B 的特征值为故而矩阵 A 的特征值为 a，a， ，a，a+ 从而行列式【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 设矩阵 A 的增广矩阵为 。则要使方程组 Ax= 有无穷多解，必须有 1 一 a4=0 且一 a 一 a2=0，得 a=一 1代入得 Ax= 的一个特解为x=0 的通解为 因此 Ax= 的通解为 为任意常数【知识模块】 线性方程组【知识
12、模块】 线性方程组9 【正确答案】 已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解，则 rA=r(A，b)=2，则 =1 或一 1当 =1 时，rA=1r(A，b)=2，此时线性方程组 Ax=b 无解，排除当 =一 1 时,因为 rA=r(A，b)=2 ，所以 a+2=0，即 a=一 2综上知，=一 1，a= 一 2【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 因故原方程组等价为 令 x3=0 时, ，则 所以线性方程组 Ax=b 的通解为 其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 因为 所以rA=2故方程组 A2=1 有一个自由变量，令 x3=2，由
13、Ax=0 可解得 x2=一1，x 1=1求特解：令 x1=x2=0，得 x3=1故有 其中 k1 为任意常数又 则 r(A2)=1故方程组 A23=1 有两个自由变量令 x=一 1，由 A2x=0 得 x=1，x 3=0；令 x2=0，则有 x1=0，x 3=1求特解：令x2=x3=0，得 x1= 故最终得到 其中 k2，k 3 为任意常数【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 证明：由(I)可得 又 1=(一1，1，一 2)T，则故可知 1， 2， 3 线性无关，命题得证【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 利用行列式性质，有【知识模块】 线性方程组14 【
14、正确答案】 若使方程组 Ax=b 有唯一解，则 A=(n+1)a n0，即 a0则由克莱姆法则得【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 若使方程组 Ax=b 有无穷多解，则 A=(n+1)a n=0，即 a=0把a=0 代入到矩阵 A 中，显然有 r(AB)=rA=n 1，方程组有一个基础解向量取自由未知量 x1=1，得到它的基础解系为 k(1，0，0，0) T(k 为任意常数)；代入a=0 后方程组化为 特解取为(0，1，0，0) T，则方程组 Ax=b的通解为 k(1，0，0，0) T+(0，1，0，0) T 其中 k 为任意常数【试题解析】 本题的第(I)问亦可采用数学归纳法来证明：
15、当 n=1 时，A=2a=2a ，结论成立；当 n=2 时, 结论也成立；假设n=k 一 1 时，命题亦成立，即有A k-2=(k 一 1)ak-2，A k-1=kak-1，当 n=k 时，将A k 按第一行展开得：A k=2aA k-1 一 a2A一 2=2a.kak-1 一 a2.(k 一1)ak-2=(k+1)ak 即结论仍成立故而知原命正确，即有A =(n+1)a n【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 用线性相关性判断秩的方法设 1， 2， 3，是非齐次方程组的3 个线性无关的解，则 a1 一 a2，a 1a3 是 Ax=0 线性无关的解，所以 nrA2
16、，即rA2显然矩阵 A 中有 2 阶子式不为 0又因为 rA2，所以秩 rA=2【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 对增广矩阵作初等行交换，有由 rA= =2 推出s=2，b=一 3又因为 a=(2，一 3，0，0) T 是 Ax=b 的解 1=(一 2，1，1，0)T， 2=(4，一 5，0，1) T 是 Ax=0 的基础解系，所以方程组的通解是+k11+k22(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 根据题设 2,3,4 线性无关且 1=22 一 3，因此 rA=3，同时=1+2+3+4，则方程组 Ax= 的增广矩阵 B=(1,2,3,4，)的秩也为
17、3，即rB=3，因此方程组 Ax= 有解，由 4 一 rA=1，知 Ax= 有无穷多解，且 Ax=0 的解空间维数等于 1，即基础解系中只含一个解向量，又由已知 1=22 一 3，即 1 一22+3=0，可推出 从而 是Ax=0 的一个解向量，因此 是 Ax=0 的基础解系同时由 =1+2+3+4，可推出 是 Ax= 的一个特解，从而方程组 Ax= 通解为其中 C 为任意常数解析二令 则由 =Ax=(1,2,3,4)得，x 11+x22+x33+x44=1+2+3+4 将 1=22 一 3 代 上式得，(2x 1+x23)2+(一 x1+x3)+(x41)4=0 因 2,3,4 线性无关，故而
18、有 解上述方程组得 其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 对方程组(I)，引入如下记号 i=(i1， i2， i,2n)(i=1，2，n)则其系数矩阵 同样对方程组()引入记号bi=(bi1,bi2，b i,2n)(i=1，2，n)，相应的系数矩阵则 (I)()的矩阵形式为 Ax=0 及 By=0根据题设 b1T，b 2T，b nT 是(I)的一个基础解系，即A(b1T，b 2T， ，b nT)=(0， 0，0)，写成矩阵形式为 ABT=0 从而(AB T)T=BAT=0即 B(1T， 2T， nT)=(0，0，0)，因此 1T， 2T， nT 是()的 n 个解向量
19、下面判断这 n 个解向量是否构成()的基础解系，这一点需要利用秩的概念和性质由已知 b1T，b 2T，b nT 是(I)的基础解系，则 n=2nrA，从而 rA=n，因此A 的 n 个行向量 1， 2， ， n 线性无关，因此 1T， 2T， nT 是() 的 n 个线性无关解向量，同时 b1T，b 2T，b nT 线性无关，因此 B 的 n 个行向量也线性无关，从而 rB=n，则有 2nrB=n，即()的解空间的维数也为 n，综上，1T， 2T， nT 就是( )的一个基础解系，因此不难得到()的通解为y=11T+22T+ nnT，其中 i(i=1，2，n)为任意常数【试题解析】 欲证明 k
20、11+k22+kss 是 Ax=0 的通解，则须证明：(1)1， 2 s 是 Ax=0 的解； (2)1， 2 s 线性无关；(3)s=nrA，即方程组的任意解均可由向量组 1， 2 s 线性表示【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 根据题设 i(i=1，2，s)是 1， 2 s 的线性组合，因此i(i=l， 2， ，s)都是 Ax=0 的解，即 Ai=0(i=1，2，s)题目待求结论要求i(i=1， 2， ，s)也是 Ax=0 的基础解系，结合已知，这等价于要求 12 t，线性无关，于是设 c11+c22+css=0 将已知 i(i=1，2，s)由i(i=l，2，s)线性表示的已知表达
21、式代入上式并化简得(t 1c1+t2cs)1+(t2c1+t1c2)2+(t2cs-1 一 1+t1cs)s=0 因为 1， 2 s 是线性无关的，因此得到关于c1，c 2cs 的方程组如下 只要该方程组只有零解，即可得出 t1,t2 应满足的关系，该方程组行列式为因此当 s 为偶数时，t 1t 2；当 s 为奇数时， t1一 t2，有 12 s 也为 Ax=0 的一个基础解系【试题解析】 本题涉及基础解系的概念和线性无关的证明以及行列式的计算，综合性很强【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 因为方程组(1)，(2) 有公共解，则可组成如下方程组：(3)增广矩阵 则当a=1 或 a=2
22、时有公共解当 a=1 时，方程组(3)化为 公共解为1581 当 a=2 时，方程组(3)化为 公共解为 解析二方程组系数矩阵的行列式为 当 a1 且a2 时， (1)只有唯一零解，但其不是 (2)的解，故此时(1)与(2)无公共解；当 a=1 时(1)的解为 其中 R 为任意常数将其代入方程(2)中知也是(2)的解即(1)与(2)的全部公共解为 1588 其中 R 为任意常数；当a=2 时, (1)的解为 R 为任意常数将其代入方程(2)中得x1+2x2+x3=21，得 R=一 1，此时(1)与(2)有唯一公共解 .【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 根据题意，由 AB=0，得 rA
23、+rB3(1)若 k9，则 rB=2，于是rA1，显然 rA1，故 rA=1可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3 一rA=2，矩阵 B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为，k 1，k 2 为任意常数(2)若 k=9则 rB=1，从而 1rA2若rA=2，则 Ax=0 的通解为 为任意常数若 rA=1，则 Ax=0 的同解方程组为：ax 1+bx2+cx2=0，不妨设 a0，则其通解为 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 根据题设，三条直线交于一点等价于方程组 有唯一解显然方程组的系数矩阵为 相应的增广矩阵为 必要性由
24、于方程组解唯一，因此必有 rA= =2。从而 =0，即=3(a+b+c)(a 一 b)2+(b 一 c)2+(c 一 a)2=0 因为已由题设知三条直线不同，因此 a，b，c 不全同，因而(a 一 b)2+(b 一 c)2+(c 一 a)20 只有 a+b+c=0 从而必要性成立充分性由(a+b+c)=0，有，从而 由于 和 A 中共有的子块 的行列式为所以且 rA=2，因此原方程组有唯一解，即充分性也成立解析二必要性，设三条直线相交于一点(x 0,y0)，则 为 Ax=0 的非零解，其中 从而得A=0，即 又依题知(a 一 b)2+(b 一 c)2+(c 一 a)20，故有 a+b+c=0 充分性，线性方程组中的三个等式相加，且由 a+b+c=0 可得，方程组 等价于 又 =2(ac 一 b2)=一 2a(a+b)+b2=一a 2+b2+(a+b)20 则知方程组有唯一解，即方程组 也有唯一解，表明三条直线 l1，l 2 和 l3交于一点【知识模块】 线性方程组
