1、考研数学一（随机变量及其分布）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的分布函数 F(x)= 则 PX=1=（A）0（B） （C） e 1 （D）1 一 e 12 设离散型随机变量 X 的概率分布为 PX=i=cpi，i=1，2，其中 c0 是常数，则（A）P=（B） P=（C） P=c+1（D）0P1 的任意实数3 假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数（A）是连续函数（B）至少有两个间断点（C）是阶梯函数（D）恰好有一个间断点4 设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)一定
2、是（A）可积函数（B）单调函数（C）连续函数（D）可导函数5 设随机变量 X 的概率分布为 PX=k= ，k=0，1，2，则常数 a=6 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随 的增大，概率 PX 一 应该（A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不定7 设随机变量 X 服从正态分布 N(，4 2)，YN( ， 52)；记 P1=PX 一 4，P2=PY+5，则（A）P 1=P2（B） P1P 2（C） P1P 2（D）因 未知，无法比较 P1 与 P2 的大小8 设随机变量 X 的密度函数为 FX(x)，Y=2X+3，则 Y 的密度函数为9 设 F1(x)与 F2(x)分
3、别是随机变量 X1 与 X2 的分布函数，为使 F(x)=aF1(x)一 bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取二、填空题10 设离散型随机变量 X 的概率函数为 PX=i=Pi+1，i=0，1，则 P=_11 设离散型随机变量 X 的分布函数 F(x)= 则随机变量X的分布函数为_12 假设 X 是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1 一 X已知PX029=075，则满足 PYk =025 的常数 k=_13 设 f(x)=kex2+2x3 (一 x)是一概率密度，则 k=_14 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 若 k 满足概率等式 PXk=
4、，则 k 的取值范围是_15 设随机变量 X 服从正态分布 N(，1)，已知 PX3=0975，则PX092=_16 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，且二次方程 y2+4y+X=0 无实根的概率为 05，则 =_17 设 F(x)是连续型随机变量 X 的分布函数，常数 a0，则 F(x+a)一 F(x)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设连续型随机变量 X 的分布函数为其中 a0，(x) ，(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令 Y= X2，求 Y 的密度函数19 设随机变量 X 服从参数 = 的指数分布，令 Y=min(X，2)，求随
5、机变量 Y 的分布函数 F(y)20 袋中装有大小相同的 10 只球，编号为 0，1，2，9从中任取一只，观察其号码，按“ 大于 5”，“等于 5”，“小于 5”三种情况定义一个随机变量 X，并写出X 的分布律和分布函数21 设随机变量 X 在(0，1)上服从均匀分布，现有一常数 a，任取 X 的四个值，已知至少有一个大于 a 的概率为 09，问 a 是多少?22 将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮箱，求没有信的邮箱数 X 的概率函数23 向直线上掷一随机点，假设随机点落入区间(一，0，(0，1和(1，+)的概率分别为 02，05 和 03，并且随机点在区间(0，1上分布均匀设
6、随机点落入(一， 0得 0 分，落入(1，+)得 1 分，而落入(0，1坐标为 x 的点得 x 分试求得分 X 的分布函数 F(x)24 设随机变量 X 服从0，a+2上的均匀分布，对 X 进行 3 次独立观测，求最多有一次观测值小于 a+1 的概率25 设某一设备由三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率分别为01，02，03，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数 X 的分布函数26 设随机变量 X 服从(0，1)上的均匀分布，求下列函数的密度函数： ()Y 1=eX； ()Y 2=一 2lnX；( )Y 3= ；()Y 4=X227 设 f(x)是非负随机变量的概率密度，求 Y
7、= 的概率密度28 设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，令 Y=X，求 Y 的概率密度29 某个人参加跳高项目的及格选拔赛，规定一旦跳过指定高度就被认为及格而被入选，但是限制每人最多只能跳 6 次若 6 次均未过竿，则认定其为落选如果一位参试者在该指定高度的过竿率为 06，求他在测试中所跳次数的概率分布30 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，G(x)是区间0，1上均匀分布的分布函数，证明随机变量 Y=G(X)的概率分布不是区间0，1上的均匀分布31 已知随机变量 X 的概率密度 ()求分布函数 F(x)；()若令 Y=F(X)，求 Y 的分布函数 FY(y)考研数学一（随机变
8、量及其分布）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 PX=x=F(x)一 F(x 一 0)，可知 PX=1=F(1)一 F(10)=1 一 e1一 一 e1 故应选 (C)【知识模块】 随机变量及其分布2 【正确答案】 B【试题解析】 根据概率分布的性质，有 cpi0(i=1，2，)，且因此有 0P 1，使无穷级数，由 可得 P= ，故选(B)【知识模块】 随机变量及其分布3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 Y=minX，2= 所以 Y 的分布函数为计算得知 FY(y)只在 y=2 处有一个间断点，应选(D
9、)【知识模块】 随机变量及其分布4 【正确答案】 A【试题解析】 根据概率密度的定义，f(x)满足对任何实数 x，F(x)=PXx= f(t)dt，因此 f(x)一定是可积函数，但是 f(x)可以是分段函数，比如：a，b上的均匀分布随机变量 X 属连续型，而其概率密度 f(x)在( 一，+)内不是单调函数，且在x=a，b 两点不连续，当然亦不可导，因此不能选(B)、(C)、(D) ，应选(A)【知识模块】 随机变量及其分布5 【正确答案】 B【试题解析】 由泊松分布知，PX=k=a 当 a(e+1)=1 即 a=时，XP(1)，故应选(B) 【知识模块】 随机变量及其分布6 【正确答案】 C【
10、试题解析】 若 XN(， 2)，则 N(0 ，1) ，因此 PX=P1=2(1) 一 1该概率值与 无关，应选(C)【知识模块】 随机变量及其分布7 【正确答案】 A【试题解析】 p 1=PX 一 4=( )=(一 1)=1(1)，p 2=PY+5=1一 PY+5=1 一 ( )=1 一 (1)，计算得知 P1=P2，应选(A)【知识模块】 随机变量及其分布8 【正确答案】 B【试题解析】 Y=2x+3 是 x 的单调可导函数，其反函数 x=h(y)= ，根据随机变量函数的公式(216) ，应选(B)【知识模块】 随机变量及其分布9 【正确答案】 A【试题解析】 对任何 x，为保证 F(x)0
11、，a 与b 均应大于 0，又 F(+)=aF1(+)一 bF2(+)=a 一 b=1，应选(A)【知识模块】 随机变量及其分布二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 由于 PX=0+PX=1=P+P2=1，所以 P2+P 一 1=0解得(方程的负根 p= 不合题意，舍去)【知识模块】 随机变量及其分布11 【正确答案】 【试题解析】 由于分布函数 F(x)只在 x=1，0，1 处有 3 个间断点，因此离散型随机变量 X 与X的概率分布分别为 X 的分布函数 FX (x)为【知识模块】 随机变量及其分布12 【正确答案】 071【试题解析】 由于 PYk=P1 一 Xk=PX1 一 k=1
12、一 PX1 一 k=0 25，可见 PX1 一 k=1025=075由 PX029=075，得 1 一 k=029，k=071【知识模块】 随机变量及其分布13 【正确答案】 【试题解析】 将 f(x)=ke x2+2x3 作变换，得 将其与正态分布 N(1，12) 的密度比较，可得【知识模块】 随机变量及其分布14 【正确答案】 1，3【试题解析】 当 x0 时，PXx=0，PXx=1；当 x6 时，PXx=1，PXx=0因此满足 PXk= 的 k 的取值范围是1，3【知识模块】 随机变量及其分布15 【正确答案】 0025【试题解析】 由 PX3= =(3 一 )=0975，可知 3 一=
13、196，=104于是 PX092=(一 092 一 )=(一 196)=0 025【知识模块】 随机变量及其分布16 【正确答案】 4【试题解析】 设事件 A 表示方程 y2+4y+X=0 无实根，依题意 P(A)=P164X0=PX4=1 一 ( )=05，即 ( )=05，可知 4 一=o，=4【知识模块】 随机变量及其分布17 【正确答案】 a【试题解析】 【知识模块】 随机变量及其分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 当 y0 时，F Y(y)=0；当 y0 时，F Y(y)=PYy=P所求 Y 的分布函数为将 FY(y)对 y 求导数，得到 Y 的
14、概率密度为【试题解析】 求一个随机变量函数 Y 的分布，如果 Y 是连续型，则求 Y=g(X)的概率密度 fY(y)的最基本方法是分布函数法；如果 y=g(x)是关于 x 的单调可导函数且其导数恒不为零，则可用单调函数公式法求解 fY(y)【知识模块】 随机变量及其分布19 【正确答案】 当 X2 时，Y=X2；当 X2 时，Y=2因此随机变量 Y 的取值一定不小于 0 且不大于 2，即 P0Y2=1由于 X 服从参数 = 的指数分布，因此当 x0 时，PXx=1 一 当 0y2 时，PYy=Pmin(X，2)y=PXy=1 一 于是， Y 的分布函数为 F(y)=【知识模块】 随机变量及其分
15、布20 【正确答案】 设随机变量 Y 表示从 10 个球中任取一只，其球上的号码数，令则有 PY=i=01，i=0 ，1，9，PX=0=0 5，PX=1=01， PX=2=04于是 X 的分布函数为【知识模块】 随机变量及其分布21 【正确答案】 依题意 0a1 且 PXa=1 一 a，PXa=a ，且 a4=1 一09=0 1， a=【知识模块】 随机变量及其分布22 【正确答案】 易见 X 是离散型随机变量，其可能取值为 1，2，3，则相应概率分别为【知识模块】 随机变量及其分布23 【正确答案】 以 H1，H 2，H 3 分别表示事件：随机点落入(一 ，0，(0 ，1和(1，+) ，它们
16、构成完备事件组由条件知 P(H1)=02，P(H 2)=05，P(H 3)=03易见 于是，由全概率公式即得【知识模块】 随机变量及其分布24 【正确答案】 设 Y 表示对 X 进行 3 次独立观测，其观测值小于 a+1 的次数，P=PXa+1=05，则 YB(3，05)所求概率为 PY=0+PY=1=05 3+ 0 505 2=0 5【知识模块】 随机变量及其分布25 【正确答案】 X 只取 0，1，2,3 各值，为计算概率 PX=i，i=0，1，2，3，设Ai=第 i 个部件需要调整，i=1，2，3依题意，A 1，A 2，A 3 相互独立，且 P(A1)=01， P(A2)=02，P(A
17、3)=03=010807+090207+090803=0 398 ，PX=2=1 一 PX=0一PX=1一 PX=3=0092于是 X 的分布函数 F(x)为【试题解析】 显然 X 是离散型随机变量，为求 X 的分布函数 F(x)，我们应首先求出 X 的分布律，即 X 的所有可能取值与相应概率【知识模块】 随机变量及其分布26 【正确答案】 依题意，X 的概率密度为 fX(x)= ()y=e x 在(0，1)内是 x 的单调可导函数，其反函数 x=h(y)=lny 的定义域为(1，e)，x=h(y)= 0，用公式(2 16)即得 Y 的概率密度为 ()Y= 21nx 在(0，1)内单调可导，其
18、反函数 x=h(y)= 的定义域为 (0，+)，h(y)= 0，根据公式(2 16) ，Y 3 的概率密度为 ()y= 在(0，1)内单调可导，其反函数 x=h(y)= 的定义域为(1，+)，当 y1 时，其导数 h(y)= 0，应用公式 (216)，Y 3 的概率密度为 ()y=x 2 在(0，1)内单调可导，其反函数 x=h(y)= 的定义域亦为 (0，1) ，且 h(y)= 0应用公式(2 16)，Y 4 的概率密度为【知识模块】 随机变量及其分布27 【正确答案】 由于 X 是只取非负值的随机变量，所以在 (0，+) 内 y= 是 x 的单调可导函数，其反函数 x=h(y)=y2 的定
19、义域为(0 ，+)，h(y)=2y0，根据公式(216)，Y= 的概率密度 fY(y)为【知识模块】 随机变量及其分布28 【正确答案】 当 y0 时，PYy=0；当 y0 时，PYy=PX y=P一yXy=(y)一 (一 y)于是 Y 的分布函数 FY(y)为当 y0 时，F Y(y)=(y)+(一 y)=2(y)Y 的概率密度 fY(y)为【知识模块】 随机变量及其分布29 【正确答案】 设该人在选拔赛中跳的次数为 X，显然 X 是一个离散型随机变量，其全部可能取值为 1，2，3，4，5，6，由于各次跳跃过竿与否互不影响，因此有PX=1=0 6，PX=2=0406，PX=3=04 206，
20、PX=4=04 306 PX=5=04 406，PX=6=0 4 5即 X 的概率分布为【知识模块】 随机变量及其分布30 【正确答案】 指数分布的分布函数与区间0，1上均匀分布的分布函数分别为设 Y=G(X)的分布函数为H(X)，对于分布函数 G(x)易见，当 y0 时，H(y)=PYy =PG(X)y=0；当 y1时，H(y)=PYy=PG(X)y=1；当 0y1 时，H(y)=PYy=PG(X)y=PXy=1 一 ey 于是，Y=G(X)的分布函数 因此，Y=G(X) 的分布函数不是区间0，1上的均匀分布函数【知识模块】 随机变量及其分布31 【正确答案】 直接应用 F(x)=PXx，F Y(y)=PF(X)y求解()令 Y=F(X)，则由 0F(x)1 及 F(x)为 x 的单调不减连续函数知(如图 21)，当 Y0 时 FY(y)=0；当 y1 时，FY(y)=1；当 0y 时，F Y(y)=PF(X)y=PF(X)0+P0F(X)y当 y1 时，F Y(y)=PF(X)y=PF(X)0+P0F(X) F(X)y=0+P0X1+P1XF 1 (y)综上得【知识模块】 随机变量及其分布
