1、考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 XE(1)，记 Y=max(X，1)，则 E(Y)=（A）1（B） 1+e1 （C） 1 一 e1 （D）e 1 2 已知随机变量 X 与 Y 均服从 0-1 分布，且 EXY= ，则 PX+Y1=3 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，记 U=XY， V=X+Y，则随机变量 U 与 V（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零4 设随机变量 XN(0，1)，YN(1 ，4)，且相关系数 XY=1，则（A）PY= 2X1=1（B） PY=2X
2、1=1（C） PY=2X+1=1（D）PY=2X+1=15 已知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差，则 X 与 Y 相关系数 =1 的充要条件是（A）Cov(X+Y，X)=0（B） Cov(X+Y，Y)=0（C） Cov(X+Y，XY)=0（D）Cov(XY，X)=0二、填空题6 已知随机变量 X 在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布，则 E(XY)=_7 已知某零件的横截面是一个圆，对横截面的直径进行测量，其值在区间(1，2)上服从均匀分布，则横截面面积的数学期望为_，方差为_8 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 XN(1，2)，Y N(
3、 3，4)，则随机变量Z=2X+3Y+5 的概率密度为 f(z)=_9 设随机变量 X 的概率密度为 则随机变量 X的二阶原点矩为_10 设试验成功的概率为 ，现独立重复地试验直到成功两次为止，则所需进行的试验次数的数学期望为_11 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且分别服从参数为 1， 2 的泊松分布，PX1+X20=1 一 e1 ，则 E(X1+X2)2=_12 已知(X，Y)在以点(0，0) ，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X ， Y)作 4 次独立重复观察，观察值 X+Y 不超过 1 出现的次数为 Z，则EZ2=_13 设盒子中装有 m 个颜色各异的
4、球，有放回地抽取 n 次，每次 1 个球设 X 表示n 次中抽到的球的颜色种数，则 EX=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 假设有 10 只同种电子元件，其中有 2 只废品装配仪器时，从这 10 只元件中任取一只，如是废品，则扔掉后再重新任取一只；如仍是废品，则扔掉后再任取一只求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差15 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=Aex(Bx) (一x+)，且 E(X)=2D(X)试求：( )常数 A，B 之值；()E(X 2+eX)；()Y= (X 一 1)的分布函数 F(y)16 投篮测试规则为每人最多投三次，投中为止，且
5、第 i 次投中得分为(4 一 i)分i=1，2 ，3若三次均未投中不得分，假设某人投篮测试中投篮的平均次数为156 次17 甲、乙两人相约于某地在 12：0013：00 会面，设 X，Y 分别是甲、乙到达的时间，且假设 X 和 y 相互独立，已知 X，Y 的概率密度分别为求先到达者需要等待的时间的数学期望18 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为记 Z=X2+Y2求：()Z 的密度函数；()EZ，DZ；( )PZ119 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且都服从数学期望为 1 的指数分布，求Z=minX1，X 2，X n的数学期望和方差20 设随机变量 X 在区间一 1，1上服从
6、均匀分布，随机变量 ()Y=，试分别求出 DY 与 Cov(X，Y) 21 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，已知 D(X)=1，而随机变量 Y 的概率密度为f(y)，且 XY= ，记 Z=X+Y，求 E(Z)，D(Z)22 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，且 X 的概率分布为 ，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y) ，试求：()(U，V)的分布；()E(UV)；() UV23 设 A，B 为相互独立的随机事件，0P(A)=P1，且 A 发生 B 不发生与 B 发生A 不发生的概率相等记随机变量 试求X 与 Y 的相关系数 24 已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为又
7、PX=1=05，且 X 与 Y 不相关() 求未知参数 a，b，c；()事件 A=X=1与 B=max(X，Y)=1是否独立，为什么?() 随机变量 X+Y 与 XY 是否相关，是否独立?25 设甲、乙两人随机决定次序对同一目标进行独立地射击，并约定：若第一次命中，则停止射击，否则由另一人进行第二次射击，不论命中与否，停止射击设甲、乙两人每次射击命中目标的概率依次为 06 和 05 ()计算目标第二次射击时被命中的概率； () 设 X，Y 分别表示甲、乙的射击次数，求 X 与 Y 的相关系数XY考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个
8、选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 如果先去求 Y 的密度 fY(y)，则计算量很大直接用随机变量函数的数学期望的定义式(44) ，有 E(Y)=Emax(X，1)= max(x，1)f(x)dx ，其中 f(x)为指数分布的 X 的密度函数，且 f(x)= 所以故选(B)【知识模块】 随机变量的数字特征2 【正确答案】 C【试题解析】 由 X 与 Y 均服从 0-1 分布，可以列出(X，Y) 的联合分布如下：由二维离散型随机变量(X，Y) 的函数的数学期望的定义式(4 5)可知，随机变量 Z=g(X，Y)=XY 的数学期望为 E(XY)=0.0.PX=0，Y=0+0.1.PX
9、=0，Y=1+1.0.PX=1 ， Y=0+1.1.PX=1，Y=1=PX=1，Y=1 即 P22= ，从而 PX+Y1=PX=0，Y=0+PX=0，Y=1+PX=1 ， Y=0=P11+P12+P21=1 一 P22= 故选(C) 【知识模块】 随机变量的数字特征3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 X 与 Y 独立同分布，因此 E(X)=E(Y)，E(X 2)=E(Y2)又 E(U)=E(XY)=E(X)一 E(Y)=0，E(UV)=E(XY)(X+Y)=E(X 2 一 Y2)=E(X2)一 E(Y2)=0， Cov(U，V)=E(UV)一 E(U)E()=0，从而可知 U 与 V 的相
10、关系数为零，故选(D)由 X 与 Y 独立可知 pXY=0如果 X 与 Y 都服从正态分布，则 U=XY 和V=X+Y 也都服从正态分布，从而 U 与 V 相互独立， (A)不正确如果 X 与 Y 服从同一 0-1 分布：PX=0=PY=0= ，PX=1=PY=1= 则 PU=1=PX=0，Y=1=PX=0PY=1= PV=2=PX=1，Y=1=PX=1PY=1= PU=1，V=2=P =0由于 PU=1，V=2PU=1PV=2，故 U 与 V 不相互独立，(B)不正确【知识模块】 随机变量的数字特征4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 X 与 Y 的相关系数 XY=10，因此 PY=aX+
11、b=1，且a0又因为 YN(1，4)，XN(0 ，1)，所以 EX=0，EY=1而 EY=E(aX+b)=bb=1即应选(D)【知识模块】 随机变量的数字特征5 【正确答案】 D【试题解析】 直接用定义通过计算确定正确选项已知 DX=DY=20，则故选(D)其余选项均不正确，这是因为当 DX=DY 时，【知识模块】 随机变量的数字特征二、填空题6 【正确答案】 1【试题解析】 由题设知 fYX (yx)= 所以(X，Y) 的联合密度函数由二维连续型随机变量(X， Y)的函数的数学期望的定义式(46) 可知，随机变量 X=g(X，Y)=XY 的学数期望为【知识模块】 随机变量的数字特征7 【正确
12、答案】 【试题解析】 设横截面的直径为 X，则 X 在区间(1，2)上服从均匀分布，概率密度为 设横截面的面积为 S，则 S=根据随机变量的数学期望的性质与方差的计算公式，可得由于 D(S)=E(S2)一E(S) 2，而 E(S2)=E E(X4)，由随机变量函数的数学期望的定义式(4 4)可知，随机变量 z=g(X)=X4 的数学期望为于是 故 D(S 2)=E(S2)一E(S) 2=【知识模块】 随机变量的数字特征8 【正确答案】 【试题解析】 因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布，所以 z=2X+3Y+5 服从正态分布要求 f(z)= ，则需确定参数 与 的值又 E(
13、Z)=，D(Z)= 2，因此归结为求 E(Z)与 D(Z)根据数学期望和方差的性质及 E(X)=1， D(X)=2， E(Y)=3， D(Y)=4，可得 E(Z)=E( 2X+3Y+5)=2E(X)+3E(Y)+5 =(2)1+3(3)+5= 6，D(Z)=D(2X+3Y+5)=(2) 2D(X)+32D(Y)=42+94=44因此 Z 的概率密度为【知识模块】 随机变量的数字特征9 【正确答案】 【试题解析】 依题设，即求 EX2首先对所给概率密度作变换：对于 x(一x+)，有 由此可知随机变量 X 服从正态分布，从而 EX= 于是 EX2=DX+(EX)2=【知识模块】 随机变量的数字特征
14、10 【正确答案】 【试题解析】 设 X 表示试验成功两次时所进行的试验次数， Y 表示第一次试验成功所进行的试验次数，Z 表示从第一次成功之后到第二次成功所进行的试验次数，则 X=Y+Z，且 Y 与 z 都服从同一几何分布，其概率分布为 PY=k=PZ=k=(k=1，2，) ，从而有 E(Y)=E(Z)= ，于是 E(X)=E(Y+Z)=E(Y)+E(Z)=【知识模块】 随机变量的数字特征11 【正确答案】 2【试题解析】 已知 XIP( i)且相互独立，所以 EXi=DXi=i，i=1，2E(X 1+X2)2=E( =1+ =1+2+(1+2)2为求得最终结果我们需要由已知条件求得 1+2
15、因为 PX1+X20=1 一PX1+X20=1一 PX1+X2=0=1 一 PX1=0，X 2=0=1 一 PX1=0PX2=0所以 1+2=1，故 E(X1+X2)2=1+1=2【知识模块】 随机变量的数字特征12 【正确答案】 5【试题解析】 由题设知(X，Y)的联合概率密度为 若记A=“X+Y1”，则 Z 是 4 次独立重复试验事件 A 发生的次数，故 ZB(4，P) ，其中 P=P(A)=PX+Y1= f(x，y)dxdy=2 所以 EZ 2=DZ+(EZ)2=4 =5【知识模块】 随机变量的数字特征13 【正确答案】 【试题解析】 令 Xi= 则X=X1+X2+Xm事件“X i=0”
16、表示 n 次中没有抽到第 i 种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，因此有【知识模块】 随机变量的数字特征三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 设 X 表示在取到正品之前已取出的废品只数，则 X 的可能取值是0，1，2，其概率分布为即于是由随机变量的数学期望的定义式(41)及随机变量的函数的数学期望的定义式(43)分别可得所以 X 的方差为 D(X)=E(X2)一E(X) 2=【知识模块】 随机变量的数字特征15 【正确答案】 () 由 XN 且 E(X)=2D(X)，得到 E(X)= =2D(X)=1，即B=2而()E(X2+eX)=E(
17、X2)+E(eX)而 E(X2)=D(X)+E(X)2=所以 E(X 2+eX)= ()由于 XN(1， (X 一 1)N(0，1)显然，当 y0 时，F(y)=0；当 y0 时，其中 (y)为标准正态分布的分布函数【试题解析】 f(x)=Ae x(Bx) =Aex2+Bx) = ，可以将 f(x)看成正态分布 N的概率密度函数【知识模块】 随机变量的数字特征16 【正确答案】 () 设该投篮人投篮次数为 X，投篮得分为 Y；每次投篮命中率为 P(0P 1) ，则 X 的概率分布为 PX=1=P，Px=2=Pq，PX=3=q2，EX=P+2pq+3q 2=P+2p(1 一 p)+3(1 一 P
18、)2=P23p+3依题意 p 23p+3=156， 即 P23p+144=0 解得 P=06(P=24 不合题意，舍去)()Y可以取 0，1，2，3 四个可能值且 PY=0=q3=04 3=0064， PY=1=pq2=0604 2=0096PY=2=Pq=0 60 4=024，PY=3=P=06，于是 EY= iPY=i=2376(分 )【知识模块】 随机变量的数字特征17 【正确答案】 X 和 Y 的联合概率密度为按题意需要求的是X Y 的数学期望，即有(D 1， D2 如图 42)【知识模块】 随机变量的数字特征18 【正确答案】 () 当 z0 时，F(z)=0；当 z0 时，F(z)
19、=PZz=PX 2+Y2z于是由此可以看出，Z 服从参数为 的指数分布( )由()的结果(指数分布 )可知，EZ=2 2，DZ=4 4()PZ1=或 PZ1=F(1)=1 一 (z 服从参数为 的指数分布)【知识模块】 随机变量的数字特征19 【正确答案】 X i(i=1，2，n)的分布函数为 由于诸Xi(i=1，2，n)相互独立，则 Z=minX1，X 2，X n的分布函数与概率密度分别为 由于于是 D(Z)=E(Z 2)一E(Z) 2=【知识模块】 随机变量的数字特征20 【正确答案】 显然 Y 是 X 的函数：Y=g(X)，因此计算 DY 可以直接应用公式EY=Eg(X)，或用定义计算(
20、)已知 Xf(x)= 则故 DY=EY2 一(EY)2=10=1或者 EY=1PY=1+0PY=0+(1)PY=1=PX0一 PX0=dx=0，又 Y2= 所以 DY=EY2 一(EY) 2=EY2=PX0=PX0+PX0=1，Cov(X，Y)=EXY EXEY=EXY=()由于 Y= =g(X)，故又 Cov(X ，Y)=EXYEXEY，其中EX=0， 所以 Cov(X，Y)=1【知识模块】 随机变量的数字特征21 【正确答案】 E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)= yf(y)dy令y=x，则 xf(x)dx，所以 E(Z)=0 又 D(Y)=E(Y2)一E(Y) 2=E(Y2)一一
21、 E(X)2，而 E(Y 2)=x2f(x)dx=E(X2)，所以 D(Y)=E(Y 2)一一 E(X)2=E(X2)一E(X) 2=D(X)=1于是 D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=D(X)+D(Y)+2 .XY=1+1+【知识模块】 随机变量的数字特征22 【正确答案】 () 设(U ，V) 的分布为 ，则有P11=PU=1，V=1=Pmax(X，Y)=1，min(X，Y)=1=PX=1，Y=1=PX=1PY=1= P12=PU=1， V=2=Pmax(X，Y)=1 ，min(X，Y)=2=P( )=0，P 22=PU=2，V=2=Pmax(X，Y)=2，m
22、in(X， Y)=2=PX=2，Y=2=PX=2PY=2= P21=1 一 P11P12 一 P22= 所以(U，V)的分布为()UV 可能取值为 1，2，4，所以()由()可知【知识模块】 随机变量的数字特征23 【正确答案】 首先要求出 X，Y，XY 的分布，从而计算得EX，DX ；EY，DY；EXY，最后计算得 由题设知 ，即 P(A 一 B)=P(BA)，P(A)一 P(AB)=P(B)一 P(BA)，故 P(A)=P(B)=p又 A 与 B 独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=p2从而得 X，Y，XY 的分布为(这是因为 PXY=1=PX=1，Y=1=P(AB)=P 2)由 EX
23、=P，DX=p(1 一 p)；EY=p 2，DY=p 2(1 一 p2)；EXY=p2，Cov(X，Y)=EXYEX.EY=p 2 一 p3=p2(1 一 p)，得【知识模块】 随机变量的数字特征24 【正确答案】 () 应用联合分布、边缘分布关系及 x 与 y 不相关求参数a、b、c由于 PX=1=05，故 PX=1=0 5 ，a=050101=0 3又 X 与 Y 不相关 E(XY)=EX.EY，其中 EX=(一 1)05+105=0XY 可能取值为一 1，0，1，且 PXY=1=PX=1，Y=1+PX=1，Y=1=01+b，PXY=1=Px=1，Y=1+PX=1，Y=1=01+c，PXY
24、=0=PX= 1，Y=0+PX=1，Y=0=a+01，所以 E(XY)=0 1b+01+c=cb，由 E(XY)=EXEY=0 cb=0，b=c，又b+01+c=0 5，所以 b=c=02( )由于 A=X=1 B=max(X，Y)=1，P(AB)=P(A)=05， 0P(B) 1，又 P(A)P(B)=05P(B) 05=P(AB)，即 P(AB)P(A)P(B)，所以 A 与 B 不独立()因为 Cov(X+Y，X Y)=Cov(X，X)一 Cov(X，Y)+Coy(Y，X)一 Cov(Y，Y)=DXDY，DX=EX 2 一(EX) 2=1，EY=0 ，DY=EY 2 一(EY)2=06，
25、所以 Cov(X+Y，XY)=106=040，X+Y 与 X 一 Y 相关X+Y 与 XY 不独立【知识模块】 随机变量的数字特征25 【正确答案】 () 设 A 表示甲先射击，则 表示乙先射击，又设 Bi 表示在第 i次射击时目标被命中(i=1 ，2) ，则由题意，有 P(A)=P ，P(B 2A)=0405=02，P(B 2 )=050 6=03由全概率公式即得 P(B2)=P(A)P(B2A)+P(A)P(B 2A)= 03=0 25()由题意知PX=0，Y=0=0，PX=1，Y=0=P(AB 1)=03，PX=0 ，Y=1=P( B1)=025 ，PX=1，Y=1=0 45，所以(X，Y)的分布律及边缘分布律为计算得EX=075，EY=07，DX=0250 75，DY=0307，E(XY)=045，于是【知识模块】 随机变量的数字特征
