1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 =0，则 f(x)在 x=0 处( )（A）可导，且 f(0)=0（B）可导，且 f(0)=一 1（C）可导，且 f(0)=2（D）不可导2 设 f(x)具有二阶连续可导，且 =2，则 ( )（A）x=1 为 f(x)的极大点（B） x=1 为 f(x)的极小点（C） (1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=1 不是 f(x)的极值点，(1，f(1)也不是 y=f(x)的拐点3 设函数 f(x)在0，a上连
2、续，在(0，a) 内二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0，则在(0 ，a上( ) （A）单调增加（B）单调减少（C）恒等于零（D）非单调函数4 f(x)在( 一，+)内二阶可导，f“(x) 0， =1，则 f(x)在(一，0)内( )（A）单调增加且大于零（B）单调增加且小于零（C）单调减少且大于零（D）单调减少且小于零5 设 f(x0)=f“(x0)=0，f(x 0)0，则下列正确的是( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是 y 一 f(x)的拐点6 设 f(x)在0，+)上连续
3、，在(0，+)内可导，则( )二、填空题7 f(sinx)=cos2x+3x+2，则 f(x)=_8 =_9 设 f(x)为奇函数，且 f(1)=2，则 =_10 设 y=xarctanr+ =_。11 曲线 y= 的斜渐近线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 f(x)=g(a+bx)一 g(a 一 bx)，其中 g(a)存在，求 f(0)13 设 y=1n(2+3 一 x)，求 dy|x=014 设由 e 一 y+x(y 一 x)=1+x 确定 y=y(x)，求 y“(0)15 设 f(x)=01|x 一 y| ，求 f“(x)16 设 f(x)连续，f(0)=0
4、，f(0)=1，求 一 aaf(x+a)dx 一 一 aaf(x一 a)dx17 设 dt=0xcos(x 一 t)2dt 确定 y 为 x 的函数，求18 求常数 a， b 使得 在x=0 处可导19 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 g(x)0证明：存在 (a，b)，使得20 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中 afb)证明：存在 (a，b)，使得f“()=021 设函数 f(x)，g(x) 在a，+)上二阶可导，且满足条件 f(a)=g(
5、a)，f(a)=g(a)，f“(x)g“(x)(xa)证明：当 xa 时，f(x)g(x) 22 证明：当 0x1 时，(1+x)ln 2(1+x)x 223 证明方程 在(0，+)内有且仅有两个根23 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：24 存在 (a，b) ，使得 f()=2f()25 存在 (a，b)，使得 nf()+f()=026 证明：当 x0 时，arctanx+27 求曲线 y= 的斜渐近线28 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在(a， b)，使得 f()+f()
6、g()=0考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 令 h(x)=xf(x)一 f(x)，h(0)=0， h(x)=xf“(x)00 xa)，由 得 h(x)0(0 xa)，于是在(0，a上为单调减函数，选(B)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 =1，得 f(0)=0，f(0)=1，因为 f“(x)0，所以 f(x)单调减少，在(一 ，0) 内 f
7、(x)f(0)=10，故 f(x)在(一，0)内为单调增函数，再由f(0)=0，在(一，0)内 f(x)f(0)=0，选(B)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f“(x0)0，所以存在 0，当 0|x 一 x0 时，0从而当 x(x0 一 ，x 0)时f“(x)0；当 x(x0，x 0+)时，f“(x)0，即(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，选(D)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 取(A)不对；取 f(x)=cosx，显然=10，(B)不对；取 f(x)=x，显然 =1，(C) 不对，应选(D)事实上，取 = =A，所
8、以存在 X 0，当 xX 时，|f(x) 一 A| ，从而 f(x) 当 xX时，f(x)一 f(x)=f()(xX) (xX)(X x)，从而 f(x)f(X)+ (x 一 X)，两边取极限得 f(x)=+，应选(D)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 一 4x+【试题解析】 由 f(sinx)=cos2x+3x+2，得 f(sinx)=1 一 2sin2x+3x+2，f(x)=1 一2x2+3arcsinx+2，f(x)=一 4x+【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 6【试题解析】 因为 f(x)为奇
9、函数，所以 f(x)为偶函数，由 f(x3)=3x2f(x3)得f(x3)|x=1=3f(一 1)=3f(1)=6【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 x+3【试题解析】 则斜渐近线为 y=x+3【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 由 故 dy|x=0=【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 x=0 时，y=0 对 e 一 y+x(y 一 x)=1+x 两边关于 x 求导得一 e 一yy+y 一 x+x(y
10、一 1)一 1，将 x=0，y=0 代入得 y(0)=一 1； 对一 e 一 yy+y 一 x+x(y一 1)=1 两边关于 x 求导，得 e 一 y(y)2 一 e 一 yy“+2(y一 1)+xy“=0，将x=0，y=0，y(0)=一 1 代入，得 y“(0)=一 3【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 一 aaf(x+a)dx 一 一 aaf(x 一 a)dx=一 aaf(x+a)d(x+a)一 一 aaf(x 一 a)d(x一 a)=02af(x)dx 一 一 2a0f(x)dx=02af(x)dx+0 一 2af(x)dx，又
11、由 ln(1+a)=a 一 +o(a2)得a 一 ln(1+a) 于是【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 0xcos(x 一 t)2dt cosu2(一 du)=0xcost2dt，等式=0xcost2dt 两边对 x 求导，得 =cosx2，于是【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 f(x)在 x=0 处连续，从而有 f(0+0)=2a=f(0)=f(0 一 0)=3b，由 f(x)在 x=0 处可导，则 3+2a=10+6b，解得【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一
12、f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a， b)内可导，且 F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()=0，而 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)一 f(x)g(x)，所以【试题解析】 这是含端点和含 的项的问题，且端点与含 的项不可分离，具体构造辅助函数如下：把结论中的 换成 x 得 整理得f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)一 f(x)g(x)=0，还原得f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)=0，辅助函数为 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)【知
13、识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 由微分中值定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得因为点 A，B ，C 共线，所以f(1)=f(2)，又因为 f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 f“()=0【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 (x)=f(x)一 g(x)，显然 (a)=(a)=0，“(x)0(xa)由得 (x)0(xa) ；再由 得 (x)0(x a)，即 f(x)g(x) 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 令 f(x)=x2 一(l+x)ln 2(1+x)，f(0)=0；f(x)=2x 一 ln2(1+x)
14、一 2ln(1+x)，f(0)=0；f“(x)=2 一 0(0x1)，由得 f(x)0(0x1)；再由得 f(x)0(0 x1)，故当 0x1 时，(1+x)ln 2(1+x)x 2【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 0得 x=e，因为 f(e)= 所以 f(e)= 0 为 f(x)的最大值，又因为 f(x)=一 ，所以 f(x)=0 在(0，+)内有且仅有两个实根【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令 (x)=e 一 x2f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0， 而
15、 (x)=e 一 x2f(x)一 2xf(x)且 e 一 x20，故f()=2f()【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以(a)=(b)=0，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=xf(x)+f(x)，故 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 f（x）=arctanx+ 因为 f（x）= 0（x0），所以 f（ x）在（0，+）内单调递减，又因为【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 由 得曲线 的斜渐近线为 y=2x 一 11【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 (x)= 由 f(a)=f(b)=0 得 (a)=(b)=0，则存在(a， b)，使得 ()=0，因为 (x)=eg(x)f(x)+f(x)g(x)且 eg(x)0，所以 f()+f()g()=0【知识模块】 一元函数微分学
