1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 37 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= ，则在 x=0 处 f(x) ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导数不连续（D）可导，且导数连续2 函数 f(x)= 在 x= 处的 ( )3 设函数 f(x)是定义在(一 1，1)内的奇函数，且 =a0，则 f(x)在 x=0 处的导数为 ( )（A）a（B）一 a（C） 0（D）不存在4 设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 y=2 一 x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x0 处的微
2、分 dy 是 ( )（A）与x 同阶但非等价的无穷小（B）与 x 等价的无穷小（C）比 x 高阶的无穷小（D）比x 低阶的无穷小5 已知函数 f(x)=ln|x1|，则 ( )6 函数 的图形在点(0，1)处的切线与 x 轴交点的坐标是( )（A）(一 1，0)（B）（C） (1，0)（D）7 函数 y=f(x)满足条件 f(0)=1，f(0)=0，当 x0 时，f(x)0，f“(x) 则它的图形是 ( )8 函数 y=xx 在区间 上 ( )（A）不存在最大值和最小值（B）最大值是（C）最大值是（D）最小值是9 函数 f(x)=（A）只有极大值，没有极小值（B）只有极小值，没有极大值（C）在
3、 x=一 1 处取极大值，x=0 处取极小值（D）在 x=一 1 处取极小值， x=0 处取极大值10 设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 则 ( )（A）f(0)=0 且 f-(0)存在（B） f(0)=1 且 f-(0)存在（C） f(0)=0 且 f+(0)存在（D）f(0)=1 且 f+(0)存在11 设 f(x)在( 一，+)内可导，且对任意 x1，x 2，当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，则 ( )（A）对任意 x，f(x)0（B）对任意 x，f(一 x)0（C）函数 f(一 x)单调增加（D）函数一 f(一 x)单调增加12 设函数 f(x)与 g(x)在(a
4、，b)上可导，考虑下列叙述：若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)；若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x) ，则 ( )（A），都正确（B） ，都不正确（C） 正确，但不正确（D）正确，但 不正确13 若 f(x)在点 x0 处可导，则|f(x)|在点 x0 处 ( )（A）必可导（B）连续，但不一定可导（C）一定不可导（D）不连续14 设函数 f(x)= 则 f(x)在点 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导15 以下关于函数 y=f(x)在点 x0 的结论正确的是 ( )（A）若 f(x0)=0，则 f(x0)必是一极值（B）若
5、f“(x0)=0，则点(x 0，f(x 0)必是曲线 y=f(x)的拐点（C）若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)在点 x0 处可导，且有（D）若 f(x)在 x0 处可微，则 f(x)在 x0 的某邻域内有界16 设 F(x)= 其中 f(x)在 x=0 处可导，f(0)0，f(0)=0 ，则 x=0 是 F(x)的 ( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定17 设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有|f(x)|x 2，则x=0 必是 f(x)的 ( )（A）间断点（B）连续，但不可导的点（C）可导的点，且 f
6、(0)=0（D）可导的点，且 f(0)018 设 f(x)=f(一 x)，且在(0，+) 内二阶可导，又 f(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(一，0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（A）单调增加，凸（B）单调减少，凸（C）单调增加，凹（D）单调减少，凹19 曲线 y= 当 x时，它有斜渐近线 ( )（A）y=x+1（B） y=一 x+1（C） y=一 x 一 1（D）y=x120 当 x0 时，曲线 y= ( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线21 曲线（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅
7、有铅直渐近线（D）既有水平渐近线，也有铅直渐近线22 f(x)=xex 的 n 阶麦克劳林公式为 ( )23 若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x1，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点，使下列诸式成立的是 ( )（A）f(x 2)一 f(x1)=(x1 一 x2)f()，(a ，b)（B） f(x1)一 f(x2)=(x1 一 x2)f()， 介于 x1，x 2 之间（C） f(x1)一 f(x2)=(x2 一 x1)f()，x 1 x 2（D）f(x 2)一 f(x1)=(x2 一 x1)f()，x 1x 2二、填空题24 设函数 f(x)= 且 1+bx0，则当 f(x
8、)在 x=0 处可导时，f(0)=_25 如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的取值符号为_26 曲线 y= 号的凹区间是_27 设曲线 y=ax3+bx2+cx+d 经过点( 一 2，44)，且 x=一 2 为驻点，点(1，一 10)为拐点，则 a，b， c，d 的值分别为 _28 曲线 y= 的渐近线是_29 已知 a，b e ，则不等式 成立的条件是 _30 曲线 y=(2x 一 1)e1/x 的斜渐近线方程为 _31 若 f(t)= ，则 f(t)=_32 设 y=ln(1+3-x)，则 dy=_33 34 设 y= ，则 y|x=0
9、=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。35 设 f(x)=x3+4x2 一 3x-1，试讨论方程 f(x)=0 在(一，0)内的实根情况考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 37 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 =0=f(0)，故 f(x)在 x=0 处连续，又故 f(x)可导，但不存在，即 f(x)在 x=0 处不连续【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)在 x= 处的左、右导数为：因此 f(x)在 x= 处不可导，但有 f+()=【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解
10、析】 由于 f(x)为(-1 ，1)内的奇函数，则 f(0)=0于是而令 x=一 t 时，有故 f-(0)=f+(0)=a，得 f(0)=a，应选(A) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 f(x0)=1，则 =f(x0)x=x，因而 即dy 与x 是等价无穷小，故选 B.【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 应当把含绝对值的函数写成分段函数，f(x)= 当x1 时，f(x)= ；当 x1 时， 故选 B【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=x2+x+6，所以 f(0)=6故过(0，1)的切线方程为 y 一1=6x，
11、因此与 x 轴的交点为【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 因函数单调增加，且在 x=0 处有水平切线，选 B.【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 y=x x(ln x+1)，令 y=0，得 ，y 0，函数单调增加，故选 D.【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 ；令 f(x)=0，得 x=一 1，f(x)在 x=一 1左侧导数为正，右侧导数为负，因此在 x=一 1 处取极大值；当 x=0 时，f(x)不存在，f(x)在 x=0 左侧导数为负，右侧导数为正，因此在 x=0 处取极小值【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 因为
12、f(x)在 x=0 处连续，且 所以 f(0)=0从而有【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 根据单调性的定义直接可以得出(D)项正确【知识模块】 微积分12 【正确答案】 B【试题解析】 考虑 f(x)=e-x 与 g(x)=一 e-x，显然 f(x)g(x)，但 f(x)=一 e-x，g(x)=e -x，f(x)g(x)， 不正确将 f(x)与 g(x)交换可说明不正确【知识模块】 微积分13 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)=x 在 x=0 处可导，但|f(x)|=|x|在 x=0 处不可导，排除(A)函数 f(x)=x2 在 x=0 处可导，|f(x)|=
13、|x 2|在 x=0 处也可导，排除(C)，(D)事实上，由 f(x)在点 x0 处连续，有 |f(x)|=|f(x0)|，即|f(x)|在点 x0 处连续由以上反例可知，|f(x)|在点 x0 处不一定可导【知识模块】 微积分14 【正确答案】 C【试题解析】 故 f(0)不存在【知识模块】 微积分15 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不一定，反例： f(x)=x3，f(0)=0, 但 x=0 非极值点；(B)不一定，需加条件：f“(x)在点 x0 两侧异号；(C)项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不够的【知识模块】 微积分16 【正确答案】 B【试题解析】 F(0)=f(0
14、)=0，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 C【试题解析】 f(0)=0 ， 故 f(0)=0【知识模块】 微积分18 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，f(x)0 f(x)在(0，+)内单调增加；f“(x)0 f(x)在(0，+) 内为凸曲线 由 f(x)=f(-x) f(x)关于 y 轴对称 f(x)在(一，0)内单调减少，为凸曲线，选(B)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 C【试题解析】 因此有斜渐近线 y=一 x1，应选(C)【知识模块】 微积分20 【正确答案】 A【试题解析】 ，由渐近线的求法可得正确选项【知识模块】 微积分21 【正确答案】 D【试题解析】 由
15、渐近线的求法可知应选 D.【知识模块】 微积分22 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=xex，f90)=0,f(x)=e x(1+x)，f(0)=1，f (n)(x)=ex(n+x)，f(n)(0)=n，f (n+1)(x)ex(n+1+x)，f (n+1)(x)=ex(n+1+x)，依次代入到泰勒公式，即得 B【知识模块】 微积分23 【正确答案】 B【试题解析】 由拉格朗日中值定理易知(A)，(C) 错， (B)正确，又因未知 x1 与 x2 的大小关系，知(D) 不正确【知识模块】 微积分二、填空题24 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则, 由于 f(x)在 x=0
16、处可导，则在该点处连续，于是 b=f(0)=一 1，再由导数的定义及洛必达法则，有【知识模块】 微积分25 【正确答案】 正【试题解析】 利用反证法，假设存在点 x1a，b，使得 f(x1)0又由题意知存在点 x2a，b，x 2x1，使得 f(x2)0由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点 介于 x1 和 x2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾【知识模块】 微积分26 【正确答案】 (0，+)【试题解析】 当 x0 时，y“0，曲线是凹的；当 x0时，y“0，曲线是凸的【知识模块】 微积分27 【正确答案】 1；一 3；一 24；16【试题解析】 由条件，知 解方程组
17、可得a=1，b=一 3，c=一 24，d=16【知识模块】 微积分28 【正确答案】 y=1【试题解析】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 e a b【试题解析】 令 f(x)= ，得 x=e当 xe 时，f(x)0，函数 f(x)单调减少，因此当 eab 时，不等式成立【知识模块】 微积分30 【正确答案】 y=2x+1【试题解析】 所以斜渐近线为 y=2x+1【知识模块】 微积分31 【正确答案】 (2t+1)e 2t【试题解析】 f(t)=e2t+2te2t=(2t+1)e2t【知识模块】 微积分32 【正确答案】 【试题解析】 复合函数求导 故【知识模块】 微积分33 【正确答案
18、】 cos t2dt 一 2x2cosx4【试题解析】 【知识模块】 微积分34 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。35 【正确答案】 因为 f(一 5)=一 110，f(-1)=50，f(0)=一 10，所以 f(x)在-5，一 1及 一 1，0上满足零点定理的条件，故存在 1(一 5，一 1)及 2(一 1,0)，使得 f(1)=f(2)=0，所以方程 f(x)=0 在(- ，0) 内存在两个不等的实根又因为 f(1)=10，同样 f(x)在0，1上满足零点定理的条件，在(0，1)内存在一点 3，使得f(3)=0，而 f(x)=0 为三次多项式方程，它最多只有三个实根，因此方程 f(x)=0 在(一， 0)内只有两个不等的实根【知识模块】 微积分
