1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=minx2，一 3x+10，则下列两个结果（A）与都错（B） 与都对（C） 错对（D）对错2 设 是 f(x)的一个原函数，对于下述两个反常积分 M= 0+x4f(x)dx， N=0+x3f“(x)dx，正确的结论是 ( )二、填空题3 4 5 反常积分6 反常积分7 设函数 f(x)在(0，+)上连续，且对任意正值 a 与 b，积分 aabf(x)dx 的值与 a 无关，且 f(1)=1则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 计
2、算下列积分：(1) -12xmax1，e -x)dx，其中x表示不超过 x 的最大整数.(2) 03(|x一 1|+|x 一 2|)dx；(3)设 求 13f(x-2)dx；(4)已知 f(x)=求 2n2n+2f(x 一 2n)e-xdx，n=2，3 ，9 10 11 计算定积分12 计算定积分13 设函数 x=x(y)由方程 x(yx)2=y 所确定，试求不定积分14 计算 0xf(t)g(x 一 t)dt(x0)，其中，当 x0 时，f(x)=x，而15 计算16 设 (n=0，1，2，) 证明：(1)当 n2 时，17 计算18 对于实数 x0，定义对数函数 ln x= 依此定义试证：
3、(1) =一 ln x(x0)；(2)ln(xy)=ln x+ln y(x0，y0)19 计算 In=-11(x2 一 1)ndx，n=1，2，20 设常数 a 0，至少用两种方法计算定积分：21 设 f(x)与 g(x)在区间0，1上都是正值的连续函数，且有相同的单调性试讨论的大小关系22 设 f(x)在-，上连续，且有 f(x)= +-f(x)sinxdx，求 f(x)23 求连接两点 A(0，1) 与 B(1，0)的一条可微曲线，它位于弦 AB 的上方，并且对于此弧上的任意一条弦 AP，该曲线与弦 AP 之间的面积为 x4，其中 x 为点 P 的横坐标24 (1)证明 (2)设 是满足
4、0 的常数，证明25 (1)计算 I1=0xsin9xdx(2)比较下面 3 个值的大小，并给出论证：考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 第 1 步，写出 f(x)的分段表达式，由两曲线 y=x2 与 y=一 3x+10 的图形及交点知， 第 2 步，由定积分的性质 abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx，a cb，经计算有 -6-4f(x)dx=-6-5f(x)dx+-5-4f(x)dx=-6-5(一3x+10)dx+-5-4x2dx= -64f(x)dx=-6-5
5、f(x)dx+-52f(x)dx+24f(x)dx=-6-5(一 3x+10)dx+-52x2dx+24(一 3x+10)dx= 故 错，对所以选(C)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由条件知 f(x)= 则M=0+x4f(x)dx=0+x4df(x)=x4f(x)|0+-0+4x3f(x)dx选(B)【知识模块】 微积分二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 微积分4 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】
6、 因 aabf(x)dx 与 a 无关，所以 aabf(x)dxa0，即 f(ab)b-f(a)0 上式应该对任意 a 成立，所以令 a=1 亦应成立，有 f(b)b 一 f(1)=0，f(b)= 由于 b 为任意正值，则有 f(x)= 可以验算， =ln ablna=ln b，与 a 无关【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 (1)因分段函数则由定积分的分段可加性得 -12xmax1,e-xdx=-10(-1)e-xdx+010dx+12dx=2-e.(2)因分段函数|x 一 1|+|x 一2|= 则由定积分的分段可加性得 03(|x 一 1
7、|+|x 一 2|)dx=01(32x)dx+12dx+23(2x 一 3)dx=5 (3)令 t=x 一 2，则由定积分的分段可加性得 13f(x 一2)dx=-11f(t)dt=-101(1+t2)dt+01e-tdt= (4)令 t=x 一 2n，则由定积分的分段可加性与分部积分得 2n2n+2f(x 一 2n)e-xdx=02f(t)e-t-2ndt=e-2n01te-tdt+e-2n12(2-t)e-tdt=(1 一 e-1)2e-2n【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 令 u=sin2x，则有 于是【知识模块】 微积分11 【正确答案】 令
8、 1 一 x=sint，则【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 令 y 一 x=t，则(y-t)t 2=y，故 且有得 t23t=A(t3+t2一 t 一 1)+B(t2+2t+1)+C(t3 一 t2 一 t+1)+D(t2 一 2t+1) =(A+C)t3+(A+BC+D)t2+(一A+2BC 一 2D)tA+B+C+D 比较 t 的同次幂的系数得【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 xt=u，则 0xf(t)g(xt)dt=0xf(xu)g(u)du=0x(xu)g(u)du当0x 时，有 0xf(t)g(x-t)dt=0x(x-u)g(u
9、)du=0x(x-u)sinudu =x0xsinudu-0xusinudu=xxcos x+0xud(cosu) =x 一 xcosx+xcosxsin x=xsin x【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 当n=2k 时， 当 n=2k+1 时，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 由分部积分法可知【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (2)令 t=x，则有【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由分部积分可得 I n=x(x2 一 1)n|-11 一 2n-11x2(x2 一 1)n-1dx =一 2n-11(x2-1)ndx 一 2n-11
10、(x2 一 1)n-1dx=一 2nIn 一 2nIn-1，【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 x=asin t，于是【知识模块】 微积分21 【正确答案】 考虑分子，并令 (t)=0tg(x)f2(x)dx0tf(x)dx 一 0tf2(x)dx0tg(x)f(x)dx，有 (0)=0，且 (t)=g(t)f2(t)0tf(x)dx+f(t)0tg(x)f2(x)dx-f2(t)0tg(x)f(x)dx 一 g(t)f(t)0tf2(x)dx =0tf2(t)f(x)g(t)一 g(x)dx+0tf2(x)f(t)g(x)一 g(t)dx =0tf(t)f(x)f(t)一 f(x)g
11、(t)一 g(x)dx 题设 f(x)与 g(x)有相同的单调性，从而知f(t)一 f(x)g(t)一 g(x)0又因 f(t)0，f(x)0，故当t0 时，(t)0从而推知当 t0 时，(t)0，所以 I1I2【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由于 -f(x)sin xdx 存在，记为 A，由已知条件，有，且从而有对右边积分作变量代换 x=t，当x=0 时， t=；当 x= 时，t=0于是从而【知识模块】 微积分23 【正确答案】 如图 1-33 所示，点 A(0，1)，B(1，0)，弧 AB 的方程为 y=f(x)，点 P(x，f(x)由直线方程的两点式知，弦 AP 的方程为其中(X
12、，Y)为弦 AP 上流动点的坐标由题设条件知，如图 133 阴影部分的面积为 X4，即 即两边求导，化为常微分方程：即 xf(x)一 f(x)=一 8x3 一 1初始条件为 f(1)=0按一阶线性方程通解公式得 又由 f(1)=0，得 C=3得 f(x)=一 4x3+3x+1【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 (1)I 1=0xsin9xdx=0( 一 t)sin9( 一 t)(一 dt) =0sin9tdt 一0tsin9tdt=0sin9tdtI1，(2)结论是 证明如下： 所以 I3 一 I20，即I2I 3又因 I2+I3=I1，所以【知识模块】 微积分
