1、考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设曲线 y=x2+ax+b 与曲线 2y=xy3 一 1 在点(1，一 1)处切线相同，则( )（A）a=1 ，b=1（B） a=一 1，b=一 1（C） a=2，b=1（D）a= 一 2，b=一 12 设 f(x)在( 一，+)上有定义，x 00 为函数 f(x)的极大值点，则( )（A）x 0 为 f(x)的驻点（B）一 x0 为一 f(-x)的极小值点（C）一 x0 为一 f(x)的极小值点（D）对一切的 x 有 f(x)f(x0)3 设 f(x0)=f
2、“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列正确的是( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点4 设 f(x)=x3+ax2+bx 在 x=1 处有极小值一 2，则( )（A）a=1 ，b=2（B） a=一 1，b=一 2（C） a=0，b=一 3（D）a=0 ，b=35 当 x0，1时，f“(x)0，则 f(0)，f(1)，f(1)=f(0)的大小次序为( )（A）f(0)f(1)一 f(0)f(1)（B） f(0)f(1)f(1)一 f(0)（C） f(0)f(1)f
3、(1)一 f(0)（D）f(0)f(1)一 f(0)f(1)6 设 f(x)，g(x)(axb) 为大于零的可导函数，且 f(x)g(x)-f(x)g(x)0，则当axb 时，有 ( )（A）f(x)g(b) f(b)g(x)（B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)f(b)g(b)（D）f(x)g(x) f(a)g(a)7 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 则 f(x)在 x=0 处( )（A）不可导（B）可导但 f(0)0（C）取极大值（D）取极小值8 设 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)
4、在(一 ，0)内单调减少（C）对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)（D）对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)二、填空题9 设 f(x)为偶函数，且 f(一 1)=2，则10 设 f(x)在 x=a 处可导，则11 设 可导，则 a=_，b=_12 曲线 的斜渐近线为_13 曲线 的斜渐近线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，证明：存在 (1，2) ，使得f()一 f()=f(2)一 2f(1)15 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0，证明：存在， (1，2)，使得16 证明：
5、当 x1 时，17 证明：当 x0 时，18 当 0x1，证明：19 当 时，证明：20 设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明： 在(0，1)有且仅有一个根21 求曲线 的上凸区间22 求曲线 的斜渐近线23 求 的渐近线24 证明：当 x0 时，25 设 0a 1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根26 设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得f()=一 f()cot27 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在(a， b)，使得 f()+f()g()
6、=027 设 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内二阶可导，且证明：28 存在 1， 2(0，3)，使得 f(1)=f(2)=029 存在 (0，3)，使得 f“()一 2f()=029 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又存在，证明：30 存在 (1，2)，使得31 存在 (1，2)，使得32 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数33 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 证明：存在 (0，1) ，使得 考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题
7、下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 y=x2+ax+b 得 y=2x+a， 2y=xy 3 一 1 两边对 x 求导得2y=y3+3xy2y，解得 因为两曲线在点(1，一 1)处切线相同，所以解得 选(B)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=f(一 x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，所以一 x0 为f(一 x)的极大值点，从而一 x0 为一 f(一 x)的极小值点，选(B) 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f“(x0)0，
8、所以存在 0，当 0|x 一 x0| 时，从而当 x(x0-，x 0)时，f“(x)0；当 x(x0，x 0+)时，f“(x)0，即(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，选(D)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=3x 2+2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小值一 2， 所以解得 a=0，b= 一 3，选(C) 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用5 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f(c)(0c1)，因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，故 f(0)f(c)f(1)，
9、即 f(0)f(1)一 f(0)f(1)，选(D)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用6 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)g(x)-f(x)g(x)0 得从而 为单调减函数， 由axb 得 故 f(x)g(b)f(b)g(x)，选(A) 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用7 【正确答案】 D【试题解析】 由 得 f(0)=0， 由极限保号性，存在 0，当0|x| 时， 从而 f(x)0=f(0)， 由极值的定义得 f(0)为极小值，选(D)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 所以由极限的保号性，存在0，当 0 |x|
10、时， 当 x(一 ，0)时，f(x) f(0)；当x(0，) 时，f(x)f(0) ，选 (D)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用二、填空题9 【正确答案】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(1)=一 2， 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用10 【正确答案】 因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续， 于是 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用11 【正确答案】 f(1 一 0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1 ， 因为 f(x)在 x=1 处连续，所以a+b=1 又因为 且 f(x)在 x=1 处可导，所以a
11、=3故 a=3，b=一 2【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用12 【正确答案】 则斜渐近线为y=x+3【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用13 【正确答案】 由 得曲线 的斜渐近线为 y=x【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 令 则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)=(2)=f(2)一 f(1)， 由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 ()=0， 而 故 f()=f()=f(2)=2f(1)【试题解析】 由 xf(x)一 f(x)=f(2)一 2f(1)得从而 辅助函数为【知识模块
12、】 中值定理与一元函数微分学的应用15 【正确答案】 令 F(x)=lnx， 由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 由拉格朗日中值定理得 其中 (1，2)， f(2)一 f(1)=f()(21)=f()，其中(1，2) ， 故【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用16 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xlnx，f(1)=2ln20， 因为所以 f(x)在1，+)上单调增加， 再由 f(1)=2ln20 得当 x1 时，f(x) 0，即【试题解析】 当 x1 时， 等价于(1+x)ln(1+x)一 xlnx0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用17 【正确
13、答案】 令 因为所以 f(x)在(0 ，+)内单调递减， 又因为所以 即【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用18 【正确答案】 令 f(0)=0， 由得当 0x1 时，f(x)0，故【试题解析】 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用19 【正确答案】 令 f(x)=xsinx，f(0)=0 ， 即当 时，sinx x； 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用20 【正确答案】 令 因为 f(x)1，所以 从而 (0)(1)0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (f)=0 因为 (x)=2 一 f(x)0，所以 (x)在0，1上单调增加，故方程有且仅有一个根【知识模块
14、】 中值定理与一元函数微分学的应用21 【正确答案】 由y“ 0 得 (x 一 3)2 一 10，解得 2x4，故曲线 的上凸区间为(2，4)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用22 【正确答案】 由 得曲线的斜渐近线为 y=2x 一 11【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用23 【正确答案】 因为所以 y=f(x)没有水平渐近线， 由 得 x=0 为铅直渐近线， 由 得 x=2 为铅直渐近线， 得 y=x+3 为斜渐近线【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用24 【正确答案】 令 (t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得 由得【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的
15、应用25 【正确答案】 令 f(x)=arctanx 一 ax，由 得 由 得 为 f(x)的最大值点， 由f(0)=0 得方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有唯一实根，位于内【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用26 【正确答案】 令 (x)=f(x)sinr，则 (0)=()=0，由罗尔定理，存在 (0，) ，使得 ()=0，而 (x)=f(x)sinx+f(x)cosx，于是 f()sin+f()cos=0，故 f()=一 f()cot【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用27 【正确答案】 令 (x)=f(x)eg(x)， 由 f(a)=f(b)=0 得 (a
16、)=(b)=0，则存在 (a，b)，使得 ()=0， 因为 (x)=eg(x)f(x)+f(x)g(x)且 eg(x)0，所以 f()+f()g()=0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用28 【正确答案】 令 F(x)=f(x)， 其中 0c2 因为 f(x)在2，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值 m 和最大值 M， 由介值定理，存在 x02，3，使得即 f(2)+f(3)=2f(x0)， 于是 f(0)=f(c)=f(x0)， 由罗尔定理，存在 1(0，c) (0，3)， 2(c，x 0) (0，3)，使得 f(1)=f(2)
17、=0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用29 【正确答案】 令 (x)=e-2xf(x)，( 1)=(2)=0， 由罗尔定理，存在 (1， 2)(0， 3)，使得 ()=0， 而 (x)=e-2xf“(x)一 2f(x)且 e-2x0，故 f“()一 2f()=0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用30 【正确答案】 令 h(x)=lnx， 且 F(x)=f(x)0， 由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用31 【正确答案】 由 得 f(1)=0， 由拉格朗日中值定理得 f()=f()一f(1)=f()( 一 1)，其中 1 ，故【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用32 【正确答案】 对任意的 x1，x 2(a，b)且 x1x2，取 由泰勒公式得其中 介于 x0 与 x 之间 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)，“=”成立当且仅当“x=x 0”， 从而两式相加得即 由凹函数的定义，f(x)在(a，b)内为凹函数【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用33 【正确答案】 令 因为 (0)=(1)=0，所以存在 (0，1)，使得 ()=0， 而 且 e-x0，故【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用
