1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 在 中，无穷大量是（A） （B） （C） （D）二、填空题2 设 K，L ， 为正的常数，则 =_3 设 f(x)= 在 x=0 连续，则常数 a 与 b 满足的关系是_4 1+x2- 当 x0 时是石的_阶无穷小( 填数字)5 已知 =_6 =_7 =_8 若 =_9 =_10 =_11 =_12 设 f(x)连续，且 =_13 设 ，则 a=_，b=_14 函数 f(x)= 的连续区间是_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求下列极限：16 设
2、f(x)具有连续导数，且 f(0)=0，f(0)=6，求17 设 f(x)= 求常数 A 与 k 使得当 x0 时 f(x)与 Axk 是等价无穷小量18 讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：19 已知 ，求常数 a0 和 b 的值20 设 ，试确定常数 a，b 的值21 设 ，求 n 及 a 的值22 证明：方程 x=asinx+b(a0，b0 为常数)至少有一个正根不超过 a+b23 求证：e x+e-x+2cosx=5 恰有两个根24 设常数 a bc ，求证：方程 在区间(a，b)与(b，c)内各有且仅有一个实根25 设 f(x)在a，b上连续，且 ac db求证：存在 (a，b)
3、使 pf(c)+qf(d)=(p+g)f()，其中 p0，q 0 为任意常数26 已知数列x n满足：x 0=25，x n=arctanxn-1(n=1，2,3，)，证明x n的极限存在，并求其极限27 设数列x n由递推公式 (n=1，2，)确定，其中 a0 为常数，x 0 是任意正数，试证 存在，并求此极限考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题四个极限都可以化成 的形式，其中 n=2，3，故只需讨论极限 要选择该极限为+的，仅当 n=3 并取“+”号时，即 选(D)【知识
4、模块】 函数、极限、连续二、填空题2 【正确答案】 K L1-【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 a=b【试题解析】 对任何常数 a 和 b，f(x)分别在(-， 0，(0，+)连续，且 f(0)=0， f+(0)=b.故 f(x)在 x=0 连续 a=b【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 4【试题解析】 故当 x0 时 1+x2- 是 x 的 4 阶无穷小或用可知其为 x 的 4 阶无穷小【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 【试题解析】 因【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 【试题解析】 注意，当 a1 时【知识模块】 函数、极限
5、连续7 【正确答案】 3【试题解析】 本题属“ 0”型未定式数列极限不能直接用洛必达法则如用，得先转化成连续变量的极限，利用 求得，但比较麻烦事实上，恒等变形后可转化为直接用幂指数运算法则的情形，即【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 5【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【试题解析】 x-lnx.sinx=x-lnx.sinx+，于是【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 1【试题解析】 本题属“0 0”型未定式，利用基本极限【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 0【试题解析】 当 x0 时， 1，于是有【知识模块】 函数、极限、连
6、续12 【正确答案】 6【试题解析】 由积分中值定理知存在 x，x+2，可得【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则可得又当 a0时【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 (-，1)(1，+)【试题解析】 初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待注意到 x=0 为分界点因为又f(0)=3，因此 =f(0)，即 f(x)在 x=0 处连续此外，由于函数 f(x)在点 x=1 处无定义，因此 x=1 为 f(x)的间断点于是所给函数
7、f(x)的连续区间为(-，1)(1，+)【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (9)属 1型极限原极限=e J，而(13)本题是-型未定式，提出无穷大因子 x2 后作变量替换 x= ，可得【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 由 f(0)=0，f(0)=6 可得 =f(0)=6，从而【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 因为 故当x0 时 f(x)的等价无穷小量是【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 ()y=(1+x)arctan 的定义域为(-，-1) (-1，1)(1，+)，由初等函数连续性知
8、 y 分别在(-，-1)，(-1，1) ，(1 ，+)内连续因从而 x=-1 与 x=1 都是函数的第一类间断点，其中 x=-1 是函数的可去间断点，x=1是函数的跳跃间断点()因显然 x=-1 与 x=1 都是函数的第一类(跳跃) 间断点 () 由初等函数的连续性及 y 的定义可知，y 分别在-1，0)与 (0，+)连续又因故)，仅有 x=0 为第一类(可去)间断点 ()先写出 fg(x)的表达式考察 g(x)的值域：当 x1，2，5 时 fg(x)分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续当 x=2，5时，分别由左、右连续得连续当 x=1 时，从而 x=1 是 fg(x)的第一类间断点(跳跃
9、间断点)【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 题目中的极限式可改写为【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 由题设知利用(*)，一方面有 另一方面，直接计算又有 将 a=-3 代入(*)式，即得【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 由此可知 n=2，a=-2e 2【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 引入函数 f(x)=x-asinx-b，则 f(x)=0 的根即方程 x=asinx+b 的根因 f(0)=-b0，而 f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b=a1-sin(a+b)0 若 f(a+b)=0，则x=a+b0 便是 f(x)=0 的
10、一个正根，若 f(a+b)0，则由 f(x)在0，a+b上的连续性可知， (0，a+b)，使 f()=0总之函数 f(x)在(0，a+b上至少有一个零点，即原方程至少有一个正根不超过 a+b【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 引入函数 f(x)=ex+e-x+2cosx-5，则 f(x)是(-，+)上的连续偶函数，且 f(0)=-10，f(x)=e x-e-x-2sinx，从而 f(0)=0又 f(x)=ex+e-x-2cosx= +2(1-cosx)0( 0)成立，由此可见 f(x)当 x0 时单调增加，于是 f(x)f(0)=0 当 x0 时成立这表明 f(x)在 x0 是单
11、调增加的注意 f()=e+e-72 3-7=10，故根据闭区间上连续函数的性质可知 f(x)=0 在(0 ，) 内至少有一个根，结合 f(x)在 x0 严格单调增加可知 f(x)=0 有且仅有一个正根由 f(x)为(-，+)上偶函数， f(x)=0 还有且仅有一个负根故方程 ex+e-x+2cosx=5 恰有两个根【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 设函数=0 的根因函数 f(x)分别在区间(a，b)与(b，c) 内可导，且这表明在区间(a， b)内 f(x)的函数值从+单调减少到一 ，在区间 (b，c) 内 f(x)的函数值也从+单调减少到-，故 f(x)分别在(a ，b)与(
12、b，c)内有且仅有一个零点即方程分别在(a，b) 与(b，c)内有且仅有一个实根【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 利用闭区间上连续函数的最大、小值定理与介值定理证明本题令由 f(x)在a ，b上连续，而c，d a，b，可知 f(x)在c，d上连续，于是存在即 是 f(x)在c， d上的值域m，M上的一个值 由闭区间上连续函数的最大、小值及介值定理可知，必存在 c，d (a，b)使 f()=，即 pf(c)+qf(d)=(p+q)f()成立【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 设 f(x)=arctanx-x，则 f(0)=0，所以 f(x)单调减少，当 x0 时 f(x)f(0)=0 ，即arctanxx，于是有 x n=arctanxn-1x n-1 由此可知，数列x n单调递减又x0=25， x1=arctan250，且对每个 n，都有 xn0，根据极限存在准则即知存在设 =a，在 xn+1=arctanxn 两边取极限得 a=arctana，所以 a=0，即【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 因 a0 ，x 00，由 xn 的递推式知 xn0又由算术平均值不小于几何平均值知 再由存在，设为 l【知识模块】 函数、极限、连续
