1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (12 年 )设函数 f(t)连续，则二次积分 【 】（A）（B）（C）（D）2 (13 年 )设 Dk 是圆域 D(，y) 2y 21在第忌象限的部分，记 Ik (y)ddy(k1，2，3，4)，则 【 】（A）I 10（B） I20（C） I30（D）I 403 (15 年 )设 D(，y) 2y 22， 2y 22y，函数 f(，y)在 D 上连续，则f(，y)ddy 【 】（A）（B）（C）（D）4 (16 年 )已知函数 f(，y) ，则 【 】（A）f f y0
2、（B） ff y0（C） ff yf（D）f f yf5 (16 年 )设 Ji (i1，2，3)，其中 D1(， y)01 ，0y1，D2(，y) 01 ，0y ，D 3(，y)01， 2y1，则 【 】（A）J 1J 2J 3（B） J3J 1J 2（C） J2J 3J 1（D）J 2J 1J 36 (91 年 )设 0an (n1，2，)，则下列级数中肯定收敛的是 【 】（A）（B）（C）（D）二、填空题7 (11 年 )设函数 z ，则 dz (1,1)_8 (12 年 )设连续函数 zf(，y)满足 0，则 dz (0,1)_9 (13 年 )设函数 zz(，y)由方程( y) y
3、确定，则 _10 (14 年) 二次积分 _11 (15 年) 若函数 zz(，y)由方程 e2y3z yz 1 确定，则 dz (0，0)_12 (16 年) 设函数 f(u，v)可微， zz(，y)由方程(1)zy 2 2f(z，y)确定，则dz (0， 1)_13 (16 年) 设 D(，y)y1，11 ，则 _14 (89 年) 幂级数 的收敛域是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 (09 年) 计算二重积分 (y)ddy ，其中 D(，y)(1) 2(y1)22，y 16 (10 年) 求函数 uy 2yz 在约束条件 2y 2z 210 下的最大值和最小值17
4、 (10 年) 计算二重积分 (y) 3ddy，其中 D 由曲线 与直线 0 及 0 围成18 (11 年) 已知函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数， f(1，1)2 是 f(u，v)的极值，zf( y，f(，y) 求 19 (11 年) 设函数 f()在区间0，1上具有连续导数，f(0)1，且满足 f(y)ddy f(t)ddy，其中 Dt(，y) 0yt ，0t)(0 t1)求 f()表达式20 (12 年) 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10000(万元)设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 (件) 和 y(件)，且这两种产品的边际成本分别为 20 (万元件)与
5、6y(万元件) ( )求生产甲、乙两种产品的总成本函数 C(， y)(万元)； ()当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本； () 求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义21 (12 年) 计算二重积分 eyddy，其中 D 是以曲线 及 y 轴为边界的无界区域22 (13 年) 设平面区域 D 由直线 3y，y3y 及 y8 围成，计 2ddy23 (14 年) 设平面区域 D (，y) 1 2y 24，0，y0，计算24 (15 年) 计算二重积分 (y)ddy，其中 D(，y) 2y 22，y 225 (87 年)
6、 将函数 f() 展成 的幂级数，并指出其收敛区间26 (88 年) 讨论级数 的敛散性27 (88 年) 设级数 均收敛，求证， 绝对收敛28 (89 年) 已知函数 f() 试计算下列各题： (1)S 0 02f()e-d (2)S1 24f(2)e-d (3)Sn 2n2n+2(2n)e -d(n2，3，) (4)S Sn29 (90 年) 求级数 的收敛域考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 方程 r2cos 两端同乘 r r 22rcos 即 2y 22 又 r2，即2y
7、24 则积分域 D 是由圆 2y 22， 2y 24 和 y 轴围成的区域，如图 则 故应选 B【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 D1 和 D3 关于直线 y 对称，则 而在 D2 上，y 0，在D4 上 y0，则 I 20，I 40 故应选 B【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 积分域 D 如图所示 故应选 B【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 故应选 D【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 D1 关于 y 对称，则 在 D2 上，y 可正，可负 如图(2)在 D2 中作曲线 y 2 将区域 D2 分为两部分
8、( 1)(2)， 同 J1 的思想知0 而在( 2)上 0，则 0 故 J3J 1J 2，选 B【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 由 0an 知 0an2 而 收敛，则 an2 收敛，即( 1)nan2 绝对收敛，因此应选 D【知识模块】 微积分二、填空题7 【正确答案】 (12ln2)(d dy)【试题解析】 令 u，则 z(1u) ue uln(1+u)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 2d dy【试题解析】 由于 则 f(，y) 2 y20 又 zf(，y)连续，则 f(0，1)0120 即 f(0，1)1 则 即当 0 ，y1 时 f( ，y)f(0，1)2(y
9、1)0( ) 由微分的定义知 f(，y)在点 (0，1)处可微，且 f (0，1)2，y y(0，1)1 故 dz (0，1) 2ddy【知识模块】 微积分9 【正确答案】 22ln2【试题解析】 方程(y) y 两端取对数得 ln(y)lnlny 上式两端对 求偏导得 将 1，y2 代入上式，并注意 z 0，得【知识模块】 微积分10 【正确答案】 (e 1)【试题解析】 积分 中的第二项适合先对 后对 y 积分旭第一项适合先对 y 后对 积分【知识模块】 微积分11 【正确答案】 (d2dy)【试题解析】 将 0，y0 代入 e2y3z yz 1 中得 e3z1，则 z0 方程e+2y+3
10、zyz1 两端微分得 e +2y+3z(d2dy3dz)yzdzdyydz0 将0，y0，z0 代入上式得 d2dy3dz0 则如【知识模块】 微积分12 【正确答案】 d 2dy【试题解析】 由原方程知，当 0，y1 时，z 1 方程(1)zy 2 2f(z ，y) 两边求全微分 zd(1)dz 2ydy2f(z，y)d 2f.(ddz)fdy 将 0，y1，z1 代入上式得 d (0,1)d2dy【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 积分域 D 如图，显然关于 y 轴对称，【知识模块】 微积分14 【正确答案】 1，1)【试题解析】 该幂级数的收敛半径为 R 1 当 1 时
11、，原级数为 是发散的 当 1 时，由交错级数的莱不尼兹准则知级数 收敛，则原级数收敛域为 1，1)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 如图所示：【知识模块】 微积分16 【正确答案】 设 F(，y，z，)y2yz ( 2y 2z 210) 令 得可能的最值点 A(1， ，2) ， B(1， ，2) C(1， ，2)，D( 1， ，2) E( )，F( ) 因为在 A，D 两点处 u5 ；在 B，C两点处 u5 ；在 E，F 两点处 u0，所以 umax5 ，u min5 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 区域 D 如图所示【知识模块】
12、 微积分18 【正确答案】 f(y，f( ，y)f(y ，f(，y).f(，y) f 11(y，f(，y) f 12(y，f( ，y).f 2(，y)f 12(，y).f 2(y，f(，y) f1(，y)f 21(y，f(，y)f 22(y)，f( ，y).f 2(，y) 由题意知 f1(1，1)0，f 2(1，1)0， 从而 f 11(2，2)f 2(2， 2)f 12(1，1)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 又 由题设有 tf(t) 0tf()d f(t) 两边求导整理得(2t)f(t) 2f(t)，解得 f(t) 代入 f(0)1，得 C4 故 f() (01)【知识模块】 微积
13、分20 【正确答案】 () 由题设知 从而有 C( ，y)1000020 ()由题设知 y50，此时的成本函数为 f()C(，50)1000020 ，050， 求导得 f() 36 令 f()0 解得唯一驻点24 又 f(24) 0，所以 24 是成本函数 C(，50)的最小值点。 故当甲为 24 件，乙为 26 件时，总成本达到最小，最小成本为 C(24，26)11118万元 ( ) 32，其经济意义为：当生产乙产品 26 件时，生产第 25 件甲产品需32 万元【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由于积分域
14、 D 关于直线 y 对称，则【知识模块】 微积分24 【正确答案】 因为区域 D 关于 y 轴对称，所以 yddy0【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 则原级数收敛【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由不等式 2aba2b 2 可知，应考虑级数 a nbn 因为a nbn (an2b n2) 而 都收敛，则 (an2b n2)收敛，由比较判别法知a nbn收敛，即 anbn 绝对收敛【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 因此，为111，即 2 4 时级数收敛 当 2时，原级数为 收敛；当 4 时，原级数为 收敛 从而可知原级数收敛域为2， 4【知识模块】 微积分
