1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (03 年 )设可微函数 f(0，y 0)在点(，y) 取得极小僵，则下列结论正确的是 【 】（A）f( 0，y)在 yy 0 处导数等于零（B） f(0，y)在 yy 0 处导数大于零（C） f(0，y)在 yy 0 处导数小于零（D）f( 0，y)在 yy 0 处的导数不存在2 (05 年 )设 I1 ，I 2 cos(2y 2)d，I 3 cos(2y 2)2d，其中D(，y) 2y 21，则 【 】（A）I 3I 2 I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1I
2、3（D）I 3I 1 I23 (06 年 )设 f(，y)与 (，y)均为可微函数，且 y 愤怒( 0，y 0)0，已知( 0，y 0)是f(，y) 在约束条件 (，y)0 下的一个极值点，下列选项正确的是 【 】（A）若 f(0，y 0)0，则 fy(0，y 0)0（B）若 f(0，y 0)0，则 fy(0，y 0)0（C）若 f(0，y 0)0，则 fy(0，y 0)0（D）若 f(0，y 0)0，则 fy(0，y 0)04 (07 年 )设函数 f(，y)连续，则二次积分 f(，y)dy 等于 【 】（A）（B）（C）（D）5 (08 年 )已知 f(，y) ，则 【 】（A）f (0，
3、0)，f y(0，0)都存在（B） f(0，0)不存在，f y(0，0)存在（C） f(0，0)存在，f y(0，0)不存在（D）f (0，0)，f y(0，0)都不存在6 (08 年 )设函数 f 连续，若 F(u，v) ，其中区域 Duv 为图中阴影部分，则 【 】（A）vf(u 2)（B） f(u2)（C） vf(u)（D） f(u)二、填空题7 (01 年 )设生产函数为 Q ALK，其中 Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而 A， 均为大于零的参数，则当 Q1 时 K 关于 L 的弹性为_8 (02 年 )交换积分次序 _9 (03 年 )设 a0，f()g() ，而
4、 D 表示全面，则 I f()g(y)ddy_ 10 (04 年) 函数， (u，v)由关系式 fg(y)，yg(y)确定，其中函数 g(y)可微，且g(y)0，则 _11 (05 年) 设二元函数 ze y (1)ln(1y) ，则 dz (1，0) _12 (06 年) 设函数 f(u)可微，且 f(0) ，则 zf(4 2y 2)在点(1，2)处的全微分dz (1,2)_13 (07 年) 设 f(u，v)是二元可微函数， z ，则 _14 (08 年) 设 D( 2，y 2)y1 ，则 (2 y)ddy_15 (09 年) 设 z(ze y)，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过
5、程或演算步骤。16 (01 年) 设 uf(，y，z)有连续的一阶偏导数，又函数 yy() 及 zz()分别由下列两式确定：e yy2，e 求 17 (01 年) 求二重积 的值，其中 D 是由直线 y ，y1 及 1 围成的平面区域18 (02 年) 设函数 uf(，y，z)有连续偏导数，且 zz( ，y)由方程 eye yze z所确定，求 du19 (03 年) 设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 1，又 g(，y)fy， (2y 2)，求 20 (03 年) 计算二重积分 sin(2y 2)ddy其中积分区域 D(，y) 2y 221 (04 年) 求 ，其中 D 是由圆 2y
6、 24 和(1) 2y 21 所围成的平面区域(如图)22 (05 年) 设 f(u)具有二阶连续导数，且 g(，y) ，求 23 (05 年) 计算二重积分 2y 21d ，其中 D(，y)01，0y124 (06 年) 设 f(，y) ，0，y0求 ()g() f(，y)； ()g()25 (06 年) 计算二重积 ，其中 D 是由直线 y，y1，0 所围成的平面区域26 (07 年) 设二元函数 f(，y) 计算二重积分 f(，y)d，其中D(，y) y2 27 (08 年) 设 zz(，y) 是由方程 2y 2z(yz)所确定的函数，其中 具有2 阶导数，且 1 ()求 dz； ()记
7、 u(，y) ，求 28 (08 年) 计算 maxy，1ddy，其中 D(，y)02 ，0y2 29 (09 年) 求二元函数 f(，y) 2(2y 2)ylny 的极值考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(，y)在( 0，y 0)取得极小值，则 f(0，y) 在 yy 0 取得极小值又 f(，y) 在( 0，y 0)点处可微，则 fy(0，y 0)存在，从而有 fy(0，y 0)0，即f(0，y)在 yy 0 处的导数为零，故应选 A【知识模块】 微积分2 【正确答案】
8、A【试题解析】 由于当 0 时，cos 是减函数，而当 02y 21 时，2y 2(2y 2)2， 则 cos cos(2y 2)cos(2y 2)2 故 即 I1I2I3【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日乘数法知，若(，y)是 f(，y)在条件 (，y)0 下的极值点，则必有 若 f(0，y 0)0，由式知 0，由原题设知 y(0，y 0)0，由式可知 fy(0，y 0)0，故应选 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 二次积分 对应的二重积分的积分域 D 如图所示交换二次积分次序得 故应选 B【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析
9、】 f(，0) e ，在 0 处不可导，事实上 而 不存在，则f(0，0)不存在 又 f(0，y) 在 y0 处可导，则 fy(0)存在，故应选 B【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 故应选 A【知识模块】 微积分二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 当 Q1 时，1AL K 等式两边对 L 求导，得 0AL 1 KAL K1 解得 由弹性计算公式知，K 关于 L 的弹性为【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 由原累次积分可知积分域如图 216 因此：【知识模块】 微积分9 【正确答案】 a 2【试题解析】 由题意知 f()g(y ) 令 (，y)01 且
10、0y1 则 I a 2 其中区域 的面积为 1【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 令 g(y)u，yv，则 ，g(y)g(v)，则【知识模块】 微积分11 【正确答案】 2ed(e2)dy【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 4d 2dy 【试题解析】 则 dz (1，2) 4d2dy【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 2ln21【试题解析】 由 z( eyy)知，z( ，0)(1) 代入 1 得，2ln2 1【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出
11、文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 由 eyy2 两边时 求导得 又由 e 两边对 求导，得【知识模块】 微积分17 【正确答案】 画积分域如图 214【知识模块】 微积分18 【正确答案】 设 F(，y，z) e ye yze z，则 F (1)e ，F y(y1)ey，F z(z1)e z【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由极坐标变换知 令 fr 2，则 Ie 0e-tsintdt 利用分部积分法不难求得 I (1e )【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由已知条件可得【知识模块】 微积
12、分23 【正确答案】 如图，将 D 分成 D1 与 D2 两部分【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由于被积函数 f(，y)关于 和 y 都是偶函数，而积分域 D 关于 轴和 y 轴都对称，则 其中 D1 为直线 y1 与 轴和 y 轴围成的区域，D 2 为直线 y1 ， y2 与 轴和 y 轴所围成的区域(如图)【知识模块】 微积分27 【正确答案】 () 设 f(，y，z) 2y 2z( yz)， F2 ， Fy2y，F z1， 由公式 ()由于 u 所以【知识模块】 微积分28 【正确答案】 曲线 y1 将区域 D 分成如图所示的两个区域 D1 和 D2【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由 得 0，y 显然，ACB 20，而 A0， 故二元函数 f(，y)有极小值 【知识模块】 微积分
