1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 27 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2004 年) 函数 在下列哪个区间内有界：( )（A）(一 1，0)（B） (0，1)（C） (1，2)（D）(2 ，3) 2 (2015 年) 设 xn是数列下列命题中不正确的是( ) 3 (2004 年) 设 f(x)在a，b 上连续，且 f(A)0，f(B)0，则下列结论中错误的是( )（A）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)（B）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(b) （C）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0（
2、D）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0 4 (2014 年) 下列曲线中有渐近线的是( )（A）y=x+sinx（B） y=x2sinx（C）（D）5 (1997 年) 设 f(x)=01cosx sint2dt， 则当 x0 时，f(x)是 g(x)的 ( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小6 (2013 年) 设 Dk 是圆域 D=(x，y)x 2+y21在第 k 象限的部分，记(k=1，2，3，4) ，则( )（A）I 10（B） I20（C） I30（D）I 407 (2003 年) 设 n=1，2，则下列命题正确的是( )二、
3、填空题8 (2016 年) 已知函数 f(x)满足=_9 (1994 年) 已知 f(x0)=1，则 =_10 (2010 年) 若曲线 y=x3+ax2+bx+1 有拐点( 一 1，0)，则 b=_11 (1995 年)设 f(lnx)=1+x，则 f(x)=_12 (2014 年)设 D 是由曲线 xy+1=0 与直线 y+x=0 及 y=2 围成的有界区域，则 D 的面积为_13 (2005 年) 设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz (1，0) =_14 (1999 年) =_15 (2001 年) 某公司每年的工资总额在比上一年增加 20的基础上再追加 2
4、百万元若以 Wt 表示第 t 年的工资总额(单位：百万元)，则 Wt 满足的差分方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (2018 年) 设数列 xn满足：x 10，x nexn+1=exn 一 1(n=1，2，)证明x n收敛，并求 17 (1992 年) 设函数 问函数 f(x)在 x=1 处是否连续?若不连续，修改函数在 x=1 处的定义使之连续18 (2000 年) 求函数 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线19 (2011 年) 证明方程 恰有两个实根20 (1992 年) 设曲线 y=ex (x0)(1)把曲线 y=ex ，x 轴，y 轴和直线 x=(
5、0)所围成平面图形绕 z 轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积 V()；求满足的 a(2) 在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积21 (2001 年) 设 f(x)在0 ，1上连续，在(0，1)内可导，且满足证明至少存在一点 (0，1)，使得 f()=(1一 1 )f()22 (2014 年) 设函数 f(x)， g(x)在区间a，b 上连续，且 f(x)单调增加，0g(x)1 证明： ( )0axg(t)dt(x 一 a)，xa，b () aa+abg(t)dtf(x)dxabf(x)g(x)dx23 (1987 年) 设 求 dz24 (199
6、6 年) 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+yxp(t)dt 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微；p(t)，(t) 连续，且 (u)1求25 (2004 年) 求 其中 D 是由圆 x2+y2=4 和(x+1) 2+y2=1 所围成的平面区域(如图所示)26 (2011 年) 设函数 f(x)在区间 0，1上具有连续导数，f(x)=1，且满足其中 D1=(x，y)0ytx，0xt(0t1) 求 f(x)表达式27 (2004 年) 设级数的和函数为S(x)，求： )S(x)所满足的一阶微分方程； )S(x)的表达式28 (1992 年) 求连续函数 f(x)，使它满
7、足 f(x)+2 0xf(t)dt=x229 (2014 年) 设函数 f(u)具有连续导数， z=f(excosy)满足若 f(0)=0，求 f(u)的表达式考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 27 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 显然 在(1，0)上连续，又 存在，则 f(x)在(1，0)上有界故应选 A2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=一 x2+2，a=一 1，b=1 ，显然 f(x)在一 1，1上连续，f(一1)0， f(1)0，但在(一 1，1)上不存在 x0，
8、使 f(x0)=0，则 D 是错误的，故应选D4 【正确答案】 C【试题解析】 由于所以曲线有斜渐近线=x，故应选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 则f(x)是 g(x)的高阶无穷小6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 D1 和 D2 关于直线 y=x 对称，则 而在 D2 上，yx0，在 D4 上 yx0，则 I 20，I 40 故应选 B7 【正确答案】 B【试题解析】 由于若都收敛，故应选 B二、填空题8 【正确答案】 应填 6【试题解析】 9 【正确答案】 应填 1【试题解析】 10 【正确答案】 应填 3【试题解析】 曲线 y=x3+ax2+bx+1 过点(一 1，0)，则 0
9、=1+ab+1， a=b y=x3一 bx2+bx+1 y=3x2 一 2bx+b y=6x 一 2b y(一 1)=一 62b=0，则 b=311 【正确答案】 应填 x+ex+C【试题解析】 在 f(1nx)=1+x 中令 lnx=t，则 f(t)=1+e t 从而 f(t)=(1+e t)dt=t+et+C12 【正确答案】 应填【试题解析】 曲线 xy+1=0 与直线 y+x=0 及 y=2 围成的区域 D 如右图则 D 的面积为13 【正确答案】 应填 2edx+(e+2)dy【试题解析】 则 dz (1，0)=2edx+(e+2)dy14 【正确答案】 应填 4【试题解析】 15
10、【正确答案】 应填 Wt=12W t1 +2【试题解析】 W t 表示第 t 年的工资总额，(单位：百万元)，W t1 表示第 t 年上一年的工资总额，由题设知 W t=12W t1 +2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 由于 x10，所以 根据微分中值定理，存在(0， x1)，使得 所以 ex2=e，故 0x 2x 1假设 0x n+1x n，则所以 0x n+2x n+1 故x n是单调减少的数列，且有下界，从而x n收敛设 得 aea=ea 一 1易知 a=0 为其解令 f(x)=xex 一 ex+1，则 f(x)=xex当 x0 时，f(x)0，函数
11、 f(x)在0，+)上单调增加，所以 a=0 是方程 aea=ea 一 1 在0，+) 上的唯一解，故17 【正确答案】 因为而 f(1)=1，故，所以 f(x)在 x=1 处不连续若令 ，则函数f(x)在 x=1 处连续18 【正确答案】 令 y=0，得驻 x1=0，x 2=一 1列表由此可见，递增区间为(一，一 1)，(0，+)；递减区间为(一 1，0)可见渐近线为 y1=a1x+b1=e(x 一 2)，y 2=a2x+b2=x 一 219 【正确答案】 令 f(x)=0，解得驻点 由单调性判别法知 f(x)在上单调减少所以由连续函数的介值定理知 f(x)在 内存在零点，且由 f(x)的单
12、调性知零点唯一综上可知，f(x)在( 一，+)内恰有两个零点，即原方程恰有两个实根20 【正确答案】 (1)(2)设切点为(a， e a)，则切线方程为 yea =一 ea (x 一 a)令 x=0 得 y=(1+a)ea ，令 y=0，得x=1+a，则切线与坐标轴夹的面积为令 S=0，得 a1=1，a 2=一1，其中 a2 应舍去由于当 a1 时，S 0；当 a1 时，S0，故当 a=1 时，面积 S 有极大值，即最大值，则所求切点为(1，e 1 )，最大面积为21 【正确答案】 令 F(x)=xe1x f(x)，则 F(1)=f(1)由积分中值定理得由原式知 F(c)=F(1)从而 F(x
13、)在c，1上满足罗尔定理条件，则存在 (c，1) 使 F()=0 即 e1 f()一(1 一 1 )f()=0 而 e 1 0，故 f()一(1 一 1 )f()=0 即 f()=(1 一 )f()22 【正确答案】 () 由 0g(x)1 得 0 0xg(t)dt0x dt=(x 一 a) xa，b ()令 F(u)=auf(x)g(x)dxaa+aug(t)dtf(x)dx 只要证明 F(b)0，显然 F(a)=0，只要证明 F(u)单调增，又 F(u)=f(u)g(u)一 f(a+aug(t)dt)g(u) =g(u)f(u)一 f(a+aug(t)dt) 由()的结论 0axg(t)d
14、t(xa)知，aa+ axg(t)dtx，即 aa+ aug(t)dtu 又 f(x)单调增加，则 f(u)f(a+aug(t)dt)，因此，F(u)0，F(b)0 故 aa+abg(t)dtf(x)dxabf(x)g(x)dx23 【正确答案】 由24 【正确答案】 方程 u=(u)+ ycp(t)dt 两边分别对 x 和 y 求偏导，得25 【正确答案】 26 【正确答案】 =0tdx0tx f(x+y)dy=0t(f(t)一 f(x)dx=tf(t)一0tf(x)dx 两边求导整理得 (2 一 t)f(t)=2f(t)，解得 代入 f(0)=1，得 C=4故27 【正确答案】 () 易见 S(0)=0，因此 S(x)是初值问题 的解()方程的通解为 由初始条件 y(0)=0 ，求得 C=1故28 【正确答案】 等式 f(x)+20xf(t)dt=x2 两边求导得 f(x)+2f(x)=2x 这是一个一阶线性微分方程，由求解公式得 f(x)=e 2dx 2xe2dxdx+C=e2x 2xe2xdx+C=由原方程易知 f(0)=0，由此可得 故29 【正确答案】 令 excosy=u，则f(u)=(4f(u)+u)即 f(u)一 4f(u)=u 由一阶线性方程的通解公式可知
