1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2004 年) 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且 则（ )（A）x=0 必是 g(x)的第一类间断点（B） x=0 必是 g(x)的第二类间断点（C） x=0 必是 g(x)的连续点 （D）g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关2 (2017 年) 若函数 在 x=0 处连续，则( )（A）（B）（C） ab=0（D）ab=2 3 (1987 年) 若 f(x)在(a，b)内可导且 ax 1x 2b，则至少存在一点 ，使得（ )（A）f(b)一 f(a)
2、f()(b 一 a) (a b)（B） f(b)一 f(x1)=f()(b 一 x1) (x1 b)（C） f(x2)一 f(x1)=f()(x2 一 x1) (x1x 2)（D）f(x 2)一 f(a)=f()(x2 一 a) (a x 2)4 (2005 年) 当 a 取下列哪个值时，函数 f(x)=2x3 一 9x2+12xa 恰有两个不同的零点( )（A）2（B） 4（C） 6（D）85 (2014 年) 设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1 一 x)+f(1)x，则在区间0 ，1上( )（A）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（B）当 f(x)0 时，f(x)
3、g(x)（C）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（D）当 f(x)0 时，f(x)g(x)6 (1999 年) 设 f(x)是连续函数， F(x)是 f(x)的原函数，则( )（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必为单调增函数7 (2015 年) 设 D=(x，y)x 2+y22x，x 2+y22y，函数 f(x，y)在 D 上连续，则=( )8 (2004 年) 设有以下命题：则以上命题中正确的是( )（A）（B） （C） （D）二、
4、填空题9 (1994 年) 设方程 exy+y2=cosx 确定 y 为 x 的函数，则 =_10 (2011 年) 设 ，则 f(x)=_11 (1996 年) 设 xf(x)dx=arcsinx+C，则 =_12 (2014 年) 设 0axe2xdx= 则 a=_13 (2006 年) 设函数 f(u)可微，且 则 z=f(4x2 一 y2)在点(1，2) 处的全微分 dz (1，2) =_14 (2009 年) 幂级数 的收敛半径为_15 (2005 年)微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (1987 年
5、) 求17 (1992 年) 求证：当 x1 时，18 (2001 年) 已知 f(x)在( 一，+)上可导，且求 c 的值19 (2012 年) 证明：20 (1993 年) 已知 =a+4x2e2x dx，求常数 a 的值21 (2002 年) 求极限22 (2016 年) 设函数 f(x)=01t 2 一 x2dt(x0)，求 f(x)，并求 f(x)的最小值23 (1987 年) 设 D 是由曲线 y=x3 与直线 y=x 在第一象限内围成的封闭区域，求24 (1997 年) 设 u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 exy 一 y=0和 ex 一
6、xz=0 所确定，求25 (2005 年) 设 f(u)具有二阶连续导数，且26 (2012 年) 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10 000(万元)设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 x(件)和 y(件)，且这两种产品的边际成本分别为 (万元件)与 6+y(万元件) ) 求生产甲、乙两种产品的总成本函数 C(x，y)(万元)； ) 当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本； )求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义27 (2005 年) 求幂级数 在区间(一 1，1)内的和函数 S(x)28 (1
7、993 年) 假设： (1)函数 y=f(x)(0xx 一 1；(2) 平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线y=f(x)和 y=ex 一 1 分别相交于点 P1 和 P2；(3)曲线 y=f(z)，直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P1P2 的长度求函数 y=f(x)的表达式29 (2015 年) 设函数 f(x)在定义域 I 上的导数大于零若对任意的 x0I，曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 x=x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f(0)=2，求 f(x)的表达式考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 28 答案与解析一、选择题下列
8、每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 若a=0，则 g(x)在点 x=0 处连续；若 a0，则 g(x)在点 x=0 处连续故应选 D2 【正确答案】 A【试题解析】 要使f(x)在 x=0 处连续，则须 故应选 A3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在(a，b) 内可导知，f(x) 在x 1，x 2上连续，在(x 1，x 2)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在一点 ，使 f(x 2)一 f(x1)=f()(x2x1)x1x 2 所以应选 CA、B、D 均不正确因为由 f(x)在(a ，b) 内可导，不能推得 f(x)在a，b ，x1
9、b，a ，x 2上连续，故 A、B、D 选项均不满足拉格朗日中值定理条件4 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=6x 2 一 18x+12=6(x2 一 3x+2)=6(x 一 1)(x 一 2) 令 f(x)=0，得x1=1， x2=2 f(1)=5 一 a， f(2)=4 一 a 当 a=4 时，f(1)=10，f(2)=0即 x=2 为 f(x)的一个零点，由 f(x)=6(x 一 1)(x 一 2)知 当一x1 时，f(x)0，f(x)严格单调增，而 f(1)=10， ，则 f(x)在(一，0)内有唯一零点 当1x2 时，f(x)0，f(x)单调减，又 f(2)=0，则当 1x2
10、 时，f(x)0，此区间内无零点 当 x2 时，f(x)0，f(2)=0 则 x2 时 f(x)0，即在此区间内 f(x)无零点故应选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 令 F(x)=f(x)一 g(x)=f(x)一 f(0)(1 一 x)一 f(1)x，则F(x)=f(x)+f(0)一 f(1)，F(x)=f(x) 当 f(x)0 时， F(x)0则曲线 y=F(X)在区间0，1 上是凹的，又 F(0)=F(1)=0，从而，当 x0，1时 F(x)0，即 f(x)g(x)，故应选 D6 【正确答案】 A【试题解析】 直接说明 A 正确，f(x)的原函数 F(c)可表示为 F(x)= 0xf
11、t)dt+C 则F(一 x)=0x f(t)dt+C 0xf(u)du+C= 0xf(u)du+C=F(x)故 A 是正确选项7 【正确答案】 B【试题解析】 积分域 D 如图所示， 则故应选 B8 【正确答案】 B【试题解析】 令 un=(一 1)n1 ，则 u2n1 +u2n=0，从而级数发散，所以不正确级数去掉前 1 000 项所得到的，由级数性质可知，若必收敛，则正确由检比法知若收敛，故正确令 un=1，v n=一 1，则级数都发散，则不正确，故应选 B二、填空题9 【正确答案】 应填【试题解析】 方程 exy+y2=cosx 两边对 x 求导，得 e xy(y+xy)+2yy=一
12、sinx 解得10 【正确答案】 应填 e3x(1+3x)【试题解析】 f(x)=xe3x，f(x)=e 3x+3xe3x=e3x(1+3x)11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 应填【试题解析】 13 【正确答案】 应填 4dx 一 2dy【试题解析】 则 dz (1，2)=4dx 一 2dy14 【正确答案】 应填【试题解析】 15 【正确答案】 应填 xy=2【试题解析】 本方程是一可分离变量方程，由 xy+y=0 知， lny=一 lnx+lnC 1 从而 xy=C，又 y(1)=2，则 C=2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 原式=
13、17 【正确答案】 因为 f(x)在1，+) 上连续，所以 f(x)在1，+)上为常数，故 f(x)=f(1)=0 即18 【正确答案】 由拉格朗日定理知 f(x)一 f(x 一 1)=f().1 其中 介于 xl 与 x 之间，那么于是，e 2c=e，故19 【正确答案】 令 一 1x1显然 f(x)为偶函数，因此，只要证明 f(x)0 x0，1)从而有 f(x)0 x(0，1)又 f(0)=0 则 f(x)0 x 0，1)故原不等式成立20 【正确答案】 a+4x2e2x dx=一 2a+x2de2x =一 2x2e2x a+4a+xe2x dx =2a2e2a +2ae2a +e2a 于
14、是由 e2a =2a2e2a +2ae2a +e2a得 a=0 或 a=一 121 【正确答案】 22 【正确答案】 当 0x1 时， f(x)= 0xt 2 一 x2dt+ x1t 2 一 x2dt= 0x(x2 一 t2)dt+x1(t2 一 x2)dt 当 x1 时，f(x)= 01(x2 一 t2)dt=由 f (x)=0 求得唯一驻点23 【正确答案】 24 【正确答案】 由 e xyy=0 得由 e x 一 xz=0 得代入(*)式得25 【正确答案】 由已知条件可得26 【正确答案】 () 由题设知()由题设知 x+y=50，此时的成本函数为令 f(x)=0 解得唯一驻点 x=2
15、4又 所以 x=24 是成本函数C(x，50 一 x)的最小值点故当甲为 24 件，乙为 26 件时，总成本达到最小，最小成本为 C(24，26)=11118 万元( ) 其经济意义为：当生产乙产品 26 件时，生产第 25 件甲产品需 32 万元27 【正确答案】 设则 S(x)=S 1(x)一 S2(x)，x(一 1，1)28 【正确答案】 由题设和图 218 可知 0xf(x)dx=ex一 1 一 f(x)两端求导得 f(x)=e x 一 f(x)即 f(x)+f(x)=e x 由一阶线性方程求解公式得由 f(0)=0 得， 因此，所求函数为29 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 yf(x 0)=f(x0)(xx0)令 y=0 得， 切线 yf(x0)=f(x0)(xx0)，直线 x=x0 及 x 轴所围区域的面积 由 y(0)=2 知 C=一 4，则所求曲线方程为
