1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2008 年) 设函数 f(x)在区间 一 1，1上连续，则 x=0 是函数 的( )（A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点2 (1993 年) 设函数 则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导 3 (2005 年) 以下四个命题中，正确的是( )（A）若 f(x)在(0 ，1)内连续，则 f(x)在(0，1) 内有界（B）若 f(x)在(0，1)内连续。则 f(x)在(0，1)内有界（C
2、）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界（D）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(z)在(0，1)内有界4 (2016 年) 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则( )（A）函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点（B）函数 f(x)有 2 个极值点，曲线 y=f(x)有 3 个拐点（C）函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 1 个拐点（D）函数 f(x)有 3 个极值点，曲线 y=f(x)有 2 个拐点5 (2007 年) 如图，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为
3、 1 的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设 F(x)=0xf(t)dt，则下列结论正确的是( )6 (2016 年) 设 其中D1=(x，y) 0x1 ，0y1，D 3=(x，y)0x1，0y )，D3=(x，y) 0x1 ，x 2y1，则( )（A）J 1J 2J 3（B） J3J 1J 2（C） J2J 3J 1（D）J 2J 1J 37 (2006 年) 若级数 收敛，则级数( )二、填空题8 (1993 年) =_9 (1996 年) 设方程 x=yy 确定 y 是 x 的函数，则 dy=_10 (2012 年) 设函数=_11 (199
4、8 年) =_12 (2016 年) 极限 =_13 (2008 年) 设 D=(x，y)x 2+y21)，则 (x2 一 y)dxdy=_14 (2008 年)微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 (1989 年) 求极限 16 (93，6 分) 假设函数 f(x)在0，1上连续，在(0， 1)内二阶可导，过点 A(0，f(0)与 B(1，f(1)的直线与曲线 y=f(x)相交于点 C(c，f(c) ，其中 0c1证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使 f()=017 (2003 年)设函数 f(x)在 0，3上
5、连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1试证必存在 (0，3)使 f()=018 (2013 年) 设函数 f(x)在 0，+)上可导，f(0)=0，且 证明： )存在 a0，使得 f(A)=1； )对() 中的 a，存在 (0，a)，使得 19 (1994 年) 已知曲线 与曲线 在点(x 0，y 0)处有公共切线求(1)常数 a 及切点(x 0，y 0)；(2)两曲线与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体体积 Ux20 (2002 年) 设 D1 是由抛物线 y=2x2 和直线 x=a，x=2 及 y=0 所围成的平面区域；D2 是由抛物线 y
6、=2x2 和直线 y=0，x=a 所围成的平面区域，其中 0a 2 (1)试求D1 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 V1；D 2 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积 V2； 2)问当 a 为何值时， V1+V2 取得最大值?试求此最大值21 (2017 年) 求22 (1988 年) 求23 (1998 年) 设 D=(x，y)x 2+y2x，求24 (2006 年) 设 x0，y0求25 (2013 年) 设平面区域 D 由直线 z=3y，y=3y 及 x+y=8 围成，计算26 (1988 年) 讨论级数 的敛散性27 (2007 年) 将函数 展开成 x 一 1 的幂级数，并指出其收敛区间2
7、8 (1995 年) 已知连续函数 f(x)满足条件 求 f(x)考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 直接法 则 x=0 为 g(x)的可去间断点2 【正确答案】 C【试题解析】 由于当 x0 时，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处连续但不存在，则 f(x)在 x=0 处不可导3 【正确答案】 C【试题解析】 (直接法) 由于 f(x)在(0，1)内有界，则存在 M0，使对任意x(0，1)，f(x)M，对任意的 x(0，1)，由拉格朗日中值定理知则 f(x)在(0，1)内
8、有界4 【正确答案】 B【试题解析】 x 1，x 3，x 5 为驻点，而在 x1 和 x3 两侧一阶导数 f(x)变号，则为极值点，在 x5 两侧一阶导数 f(x)不变号，则不是极值点，在 x2 处一阶导数不存在，但在 x2 两侧 f(x)不变号，则不是极值点在 x2 处二阶导数不存在，在 x4 和 x5 处二阶导数为零，在这三个点两侧一阶导函数的增减性发生变化，则都为拐点，故应选B5 【正确答案】 C【试题解析】 根据定积分的几何意义知，6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 D1 关于 y=x 对称，则在 D2 上，xy可正，可负如图(2)在 D2 中作曲线 y=x2 将区域 D2 分为两
9、部分( 1)和( 2)，同 J1 的思想知故 J3J 1J 2，选B7 【正确答案】 D【试题解析】 直接法由于收敛，故应选 D二、填空题8 【正确答案】 应填【试题解析】 原式=9 【正确答案】 应填【试题解析】 方程 x=yy 两边取对数得：lnx=ylny 上式两边求微分得10 【正确答案】 应填【试题解析】 y=f(f(x) 可看作 y=f(u)，与 u=f(x)的复合，当 x=e 时由复合函数求导法则知11 【正确答案】 应填【试题解析】 12 【正确答案】 应填 sinl 一 cosl【试题解析】 =01xsinxdx=(sinxxcosx) 01=sin1 一 cos113 【正
10、确答案】 应填【试题解析】 14 【正确答案】 应填【试题解析】 方程 xy+y=0 是一个变量可分离方程，原方程可改写为由 y(1)=1 知 C=1，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 则 原式=e16 【正确答案】 过 A，B 两点的直线方程为 y=f(1)一 f(0)x+f(0) 令 G(x)=f(x)f(1)一 f(0)x 一 f(0)则 G(0)=G(c)=G(1)=0 由罗尔定理知 (0，1)，使 G()=0，而 G(x)=f(x)故 (0，1)使 f()=017 【正确答案】 由于 f(x)在0 ，3上连续，则 d(x)在0，2上连续，且在0，
11、2上必有最大值 M 和最小值 m，于是 由介值定理知，至少存在一点 c0，2 ，使 显然 f(x)在c ，3上满足罗尔定理条件，故存在 (c，3) (0，3) ，使 f()=018 【正确答案】 () 因为 ，所以存在 x00，使得 f(x0)1 因为f(x)在0，+上可导，所以 f(x)在0，+)上连续 又 f(0)=0，根据连续函数的介值定理，存在 a(0，x 0)，使得 f(a)=1 ()因为函数 f(x)在区间0，a上可导，根据微分中值定理，存在 (0，a)，使得 f(a)一 f(0)=af()又因为 f(0)=0，f(a)=1，所以19 【正确答案】 (1)由 由于两曲线在(x 0，
12、y 0)点处有公切线，可见从而切点为(e2， 1)(2)旋转体体积为20 【正确答案】 (1)根据条件作图 28， 则V1=a2(2x2)2dx= (32 一 a5)V2=a2.2a2 一 =2a4a 4=a4(2)设 V=V1+V2= (32 一 a5)+a4 由 V=47a 3(1 一 a)=0 得区间(0，2) 内的唯一驻点 a=1 当 0a1 时， V0；当 a1 时，V0因此 a=1 是极大值点即最大值点此时 V1+V2 取得最大值，等于21 【正确答案】 22 【正确答案】 交换积分次序得23 【正确答案】 24 【正确答案】 25 【正确答案】 26 【正确答案】 则原级数收敛27 【正确答案】 28 【正确答案】 原式两边对 x 求导得 f(x)=3f(x)+2e 2x 即 f(x)一 3f(x)=2e2x 由一阶线性方程求解公式得 f(x)=e 3dx2e2xe3dx dx+C=e3x2e2xe3x dx+C=e3x2exdx+C 由于 f(0)=1，可得 C=3于是 f(x)=3e3x 一 2e2x
