[考研类试卷]考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编5及答案与解析.doc
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1、考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 (11 年 )设函数 f()在 0 处可导,且 f(0)0,则 【 】(A)2f(0)(B) f(0)(C) f(0)(D)02 (12 年 )曲线 y 渐近线的条数为 【 】(A)0(B) 1(C) 2(D)33 (12 年 )设函数 f()(e 1)(e 22)(e nn) ,其中 n 为正整数,则 f(0) 【 】(A)(1) n-1(n1)!(B) (1) n(n1)! (C) (1) n-1n!(D)(1) nn!4 (14 年 )下列曲线中有渐近线的是 【 】(A
2、)y sin(B) y 2sin(C) ysin(D)y 2 sin5 (14 年 )设函数 f()具有 2 阶导数,g()f(0)(1 )f(1),则在区间0,1上 【 】(A)当 f()0 时,f()g()(B)当 f()0 时,f()g()(C)当 f()0 时,f()g()(D)当 f()0 时,f()g()6 (15 年 )设函数 f()在(,) 内连续,其 2 阶导函数 f()的图形如图所示,则曲线 yf() 的拐点个数为 【 】(A)0(B) 1(C) 2(D)37 (16 年 )设函数 f()在(,) 内连续,其导函数的图形如图所示,则 【 】(A)函数 f()有 2 个极值点
3、,曲线 yf() 有 2 个拐点(B)函数 f()有 2 个极值点,曲线 yf() 有 3 个拐点(C)函数 f()有 3 个极值点,曲线 yf() 有 1 个拐点(D)函数 f()有 3 个极值点,曲线 yf() 有 2 个拐点8 (87 年 )下列广义积分收敛的是 【 】(A)(B)(C)(D)9 (89 年 )在下列等式中,正确的结果是 【 】(A)f()df()(B) df()f()(C) f()df()(D)df()df()二、填空题10 (11 年) 设 f() ,则 f()_11 (11 年) 曲线 tan(y )e y 在点(0,0) 处的切线方程为_12 (12 年) 设函数
4、 f() ,yf(f(),则 _13 (13 年) 设曲线 yf()与 y 2 在点(1,0)处有公共切线,则 _14 (14 年) 设某商品的需求函数为 Q402p(p 为商品的价格),则该商品的边际收益为_15 (88 年) 设 f() 0 dt, ,则 (1)f()_ (2)f()的单调性是_ (3)f(z)的奇偶性是_ (4) 其图形的拐点是_ (5) 凹凸区间是_ (6)水平渐近线是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (10 年) 求极限17 (10 年) 设函数 f()在0,3上连续,在(0,3) 内存在二阶导数,且 2f(0) 02f()df(2) f(3)
5、 ( )证明存在 (0,2) ,使 f()f(0); ()证明存在 (0,3),使 f()018 (11 年) 证明方程 4arctan 0 恰有两个实根19 (12 年) 证明: (1 1)20 (13 年) 设生产某商品的固定成本为 60000 元,可变成本为 20 元件,价格函数为 P60 ,(p 是单价,单位:元;Q 是销量,单位:件),已知产销平衡,求: ( )该商品的边际利润; () 当 P50 时的边际利润,并解释其经济意义。 ()使得利润最大的定价 P21 (13 年) 设函数 f()在0,)上可导,f(0)0,且 f()2证明: ()存在a0,使得 f(a)1; ()对()
6、中的 a,存在 (0a),使得 f() 22 (15 年) 为了实现利润最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型设 Q 为该商品的需求量,P 为价格, MC 为边际成本, 为需求弹性( 0) ( )证明定价模型为 p ; () 若该商品的成本函数为 C(Q)1600Q 2,需求函数为Q40P,试由()中的定价模型确定此商品的价格23 (15 年)()设函数 u(),v()可导,利用导数定义证明u()v()u()v()u()v(); () 设函数 u1(), u2(),u n()可导,f()u 1()u2()u n(),写出 f()的求导公式24 (16 年) 设某商品的最大需求量为 1200 件
7、,该商品的需求函数 QQ(p) ,需求弹性 (0),p 为单价 (万元) ()求需求函数的表达式; ()求 p100 万元时的边际收益,并说明其经济意义25 (87 年) 求26 (87 年) 设 ysin,0 ,问 t 为何值时,图 24 中阴影部分的面积 S1 与S2 之和 S 最小? 最大?27 (88 年) 求28 (88 年) 过曲线 y 2(0)上某点 A 作一切线使之与曲线及 轴围成图形的面积为 ,求: (1)切点 A 的坐标 (2) 过切点 A 的切线方程; (3)由上述图形绕 z轴旋转而成旋转体体积 V29 (89 年) 假设函数 f()在a,b 上连续在(a,b)内可导,且
8、 f()0记 F() 证明在(a,b)内 F()0考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1,则该曲线有水平渐近线 y1, 又 ,则 1为该曲线的一条垂直渐近线,故应选 C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 记 g()(e 22)(e 33)(e nn),则 f()(e 1)g() f()e g()(e 1)g() 则 f(0)g(0)(1)(2)( (n1) ( 1) n-1(n1)! 故应选 A【知识模块】
9、 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 所以曲线 ysin 有斜渐近线 y,故应选 C【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 g(0)f(0) ,g(1)f(1),则直线 yf(0)(1)f(1) 过点(0,f(0)和(1,f(1),当 f()0 时,曲线 yf()在区间0,1上是凹的,曲线yf()应位于过两个端点(0 ,f(0) 和(1,f(1)的弦 yf(0)(1)f(1) 的下方,即f()g()故应选 D【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 由图知 f( 1)f ( 2)0,f(0)不存在,其余点上二阶导数 f()存在且非零,则曲线 yf()最多三个
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