1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (11 年 )设函数 f()在 0 处可导，且 f(0)0，则 【 】（A）2f(0)（B） f(0)（C） f(0)（D）02 (12 年 )曲线 y 渐近线的条数为 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）33 (12 年 )设函数 f()(e 1)(e 22)(e nn) ，其中 n 为正整数，则 f(0) 【 】（A）(1) n-1(n1)!（B） (1) n(n1)! （C） (1) n-1n!（D）(1) nn!4 (14 年 )下列曲线中有渐近线的是 【 】（A
2、）y sin（B） y 2sin（C） ysin（D）y 2 sin5 (14 年 )设函数 f()具有 2 阶导数，g()f(0)(1 )f(1)，则在区间0，1上 【 】（A）当 f()0 时，f()g()（B）当 f()0 时，f()g()（C）当 f()0 时，f()g()（D）当 f()0 时，f()g()6 (15 年 )设函数 f()在(，) 内连续，其 2 阶导函数 f()的图形如图所示，则曲线 yf() 的拐点个数为 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）37 (16 年 )设函数 f()在(，) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 【 】（A）函数 f()有 2 个极值点
3、，曲线 yf() 有 2 个拐点（B）函数 f()有 2 个极值点，曲线 yf() 有 3 个拐点（C）函数 f()有 3 个极值点，曲线 yf() 有 1 个拐点（D）函数 f()有 3 个极值点，曲线 yf() 有 2 个拐点8 (87 年 )下列广义积分收敛的是 【 】（A）（B）（C）（D）9 (89 年 )在下列等式中，正确的结果是 【 】（A）f()df()（B） df()f()（C） f()df()（D）df()df()二、填空题10 (11 年) 设 f() ，则 f()_11 (11 年) 曲线 tan(y )e y 在点(0，0) 处的切线方程为_12 (12 年) 设函数
4、 f() ，yf(f()，则 _13 (13 年) 设曲线 yf()与 y 2 在点(1，0)处有公共切线，则 _14 (14 年) 设某商品的需求函数为 Q402p(p 为商品的价格)，则该商品的边际收益为_15 (88 年) 设 f() 0 dt， ，则 (1)f()_ (2)f()的单调性是_ (3)f(z)的奇偶性是_ (4) 其图形的拐点是_ (5) 凹凸区间是_ (6)水平渐近线是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (10 年) 求极限17 (10 年) 设函数 f()在0，3上连续，在(0，3) 内存在二阶导数，且 2f(0) 02f()df(2) f(3)
5、 ( )证明存在 (0，2) ，使 f()f(0)； ()证明存在 (0，3)，使 f()018 (11 年) 证明方程 4arctan 0 恰有两个实根19 (12 年) 证明： (1 1)20 (13 年) 设生产某商品的固定成本为 60000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为 P60 ，(p 是单价，单位：元；Q 是销量，单位：件)，已知产销平衡，求： ( )该商品的边际利润； () 当 P50 时的边际利润，并解释其经济意义。 ()使得利润最大的定价 P21 (13 年) 设函数 f()在0，)上可导，f(0)0，且 f()2证明： ()存在a0，使得 f(a)1； ()对()
6、中的 a，存在 (0a)，使得 f() 22 (15 年) 为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型设 Q 为该商品的需求量，P 为价格， MC 为边际成本， 为需求弹性( 0) ( )证明定价模型为 p ； () 若该商品的成本函数为 C(Q)1600Q 2，需求函数为Q40P，试由()中的定价模型确定此商品的价格23 (15 年)()设函数 u()，v()可导，利用导数定义证明u()v()u()v()u()v()； () 设函数 u1()， u2()，u n()可导，f()u 1()u2()u n()，写出 f()的求导公式24 (16 年) 设某商品的最大需求量为 1200 件
7、，该商品的需求函数 QQ(p) ，需求弹性 (0)，p 为单价 (万元) ()求需求函数的表达式； ()求 p100 万元时的边际收益，并说明其经济意义25 (87 年) 求26 (87 年) 设 ysin，0 ，问 t 为何值时，图 24 中阴影部分的面积 S1 与S2 之和 S 最小? 最大?27 (88 年) 求28 (88 年) 过曲线 y 2(0)上某点 A 作一切线使之与曲线及 轴围成图形的面积为 ，求： (1)切点 A 的坐标 (2) 过切点 A 的切线方程； (3)由上述图形绕 z轴旋转而成旋转体体积 V29 (89 年) 假设函数 f()在a，b 上连续在(a，b)内可导，且
8、 f()0记 F() 证明在(a，b)内 F()0考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1，则该曲线有水平渐近线 y1， 又 ，则 1为该曲线的一条垂直渐近线，故应选 C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 记 g()(e 22)(e 33)(e nn)，则 f()(e 1)g() f()e g()(e 1)g() 则 f(0)g(0)(1)(2)( (n1) ( 1) n-1(n1)! 故应选 A【知识模块】
9、 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 所以曲线 ysin 有斜渐近线 y，故应选 C【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 g(0)f(0) ，g(1)f(1)，则直线 yf(0)(1)f(1) 过点(0，f(0)和(1，f(1)，当 f()0 时，曲线 yf()在区间0，1上是凹的，曲线yf()应位于过两个端点(0 ，f(0) 和(1，f(1)的弦 yf(0)(1)f(1) 的下方，即f()g()故应选 D【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 由图知 f( 1)f ( 2)0，f(0)不存在，其余点上二阶导数 f()存在且非零，则曲线 yf()最多三个
10、拐点，但在 1 两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点而在 0 和 2 两侧的二阶导数变号，则曲线 yf()有两个拐点，故应选 C【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 1， 3， 5 为驻点，而在 1 和 3 两侧一阶导数 f()变号，则为极值点，在 5 两侧一阶导数 f()不变号，则不是极值点，在 2 处一阶导数不存在，但在 2 两侧 f()不变号，则不是极值点在 2 处二阶导数不存在，在 4 和 5 处二阶导数为零，在这三个点两侧一阶导函数的增减性发生变化，则都为拐点，故应选B【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1 则 收敛，所以，应选 C【知识模块】
11、微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 f()d(f()d)f()故应选 C【知识模块】 微积分二、填空题10 【正确答案】 e 3(13)【试题解析】 f()e 3，f()e 33e 3e 3(13)【知识模块】 微积分11 【正确答案】 y2【试题解析】 等式 tan(y )e y 两端对 求导得 sec 2(y )(1y)e yy 将 0，y0 代入上式得 21y(0) y(0) y(0)2 故所求切线方程为y2【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 yf(f() 可看作 yf(u)，与 uf()的复合，当 e 时 u f(e)由复合函数求导法则知【知识模块】 微积分13
12、【正确答案】 2【试题解析】 由题设知 f(1)0，f(1) 1【知识模块】 微积分14 【正确答案】 404p【试题解析】 由题设知收益函数为 RpQp(402p)，则边际收益为 404p【知识模块】 微积分15 【正确答案】 (1) ； (2) 在(，)上单调增； (3)奇函数； (4)(0，0)； (5)在(，0)上凹，在(0，)下凹； (6)【试题解析】 (1)f() ； (2)因为 f() 0，则 f()在(，)上单调增； (3)因为 f() 则 f()是奇函数 (4)因为 f() ，f(0)0，且在0 两侧 f() 变号，则(0，0) 为拐点； (5)因为当 0 时，f ()0曲线
13、yf()上凹，当 0 时，f() 0，曲线 yf()下凹； (6) 则曲线 yf()有两条水平渐近线【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 因为 而当 时， 0 ，故 所以【知识模块】 微积分17 【正确答案】 () 设 F() 0f(t)dt (02)，则 02f()dF(2)F(0) 根据拉格朗日中值定理，存在 (0，2)，使 F(2)F(0)2F()2f()， 即 02f()d2f() 由题设知 02f()d2f(0)，故 f()f(0) () 介于 f()在2，3上的最小值与最大值之间，根据连续函数的介值定理，存在 2， 3，使 f()
14、 由题设知f(0)，故 f()f(0) 由于 f(0)f()f()，且 03，根据罗尔定理，存在 1(0，) ， 2(，)，使 f(1)0，f( 2)0，从而存在 (1， 2) (0，3)，使得 f ()0【知识模块】 微积分18 【正确答案】 设 f()4arctan 令 f()0，解得驻点1 ， 2 由单调性判别法知 f()在(， 上单调减少，在上单调增加，在 ，)上单调减少 因为 f( )0，且由上述单调性可知 f( )是 f()在(， 上的最小值，所以 是函数 f()在(， ，上唯一的零点 又因为 0，且 f()， 所以由连续函数的介值定理知 f()在( ，)内存在零点，且由 f()的
15、单调性知零点唯一 综上可知，f() 在( ， )内恰有两个零点，即原方程恰有两个实根【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 f()ln ，11显然 f()为偶函数，因此，只要证明 f()0 0，1) 由于 f() sin 当 (0，1)时， 0， 又 则2sin 从而有 f()0 (0 ，1) 又 f(0)0 则 f()0 0，1) 故原不等式成立【知识模块】 微积分20 【正确答案】 () 成本函数 C(Q)6000020Q， 收益函数 R(Q)pQ60Q ， 利润函数 L(Q)R(Q)C(Q) 40Q60000， 故该商品的边际利润 L(Q) 40 ( )当 p50 时，销量 Q100
16、00，L(10000)20 其经济意义为：销售第 10001 件商品时所得的利润为 20 元 ()令 L(Q) 400，得 Q20000，且 L(20000)0，故当 Q20000 件时利润最大，此时 p40(元) 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 () 因为 f()2，所以存在 00，使得 f(0)1 因为 f()在0， 上可导，所以 f()在0，) 上连续 又 f(0)0，根据连续函数的介值定理，存在 a(0， 0)，使得 f(a)1 ()因为函数 f()在区间0，a上可导，根据微分中值定理，存在 (0，a)，使得 f(a)f(0)af() 又因为 f(0)0，f(a)1，所以 f(
17、) 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 () 由收益 RpQ，得边际收益 欲使利润最大，应有MRMC，即 p(1 )MC 所以定价模型为 ()由题设 MC2Q， 由() 知，p ，解得 p30 所以此商品的价格为 P30【知识模块】 微积分23 【正确答案】 () 令 f()u()v()，由导数定义得 ()若 f()u 1()u2()u n()，则 f()u 1()u2()u n()u 1()u2()u n()u 1()u2()u n()【知识模块】 微积分24 【正确答案】 () 由题设 所以 ，可得 lnQln(120p)lnC，即QC(120p) 又最大需求量为 1200，故 C10
18、 ，所以需求函数 Q120010p ()由() 知，收益函数 R120Q Q2，边际收益 R(Q)120 Q 当p100 时，Q200，故当 p100 万元时的边际收益 R(200)80，其经济意义为：销售第 201 件商品所得的收益为 80 万元【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 S(t)S 1S 2 0t(sintsin)d (sinsint)d 2tsint2cost sint1 令 S(t)2sint2tcost 2sint cost(2t )cost0 得 t ，又在区间0， 上有 S(0) 1， ，可见当 t 时，S取最小值；当 t0 时，S 取最大值【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 设切点 A 为( 0， 02)，由 f()2 知，过 A 点的切线方程为 y 022 0( 0) 即 y 20 02，令 y0，得切线与 轴的交点为( ，0)，由题设 则 01，即切点 A 的坐标为(1，1) ，切线方程为 y12(1) 所求旋转体的体积为【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由于 f()0，(a ，b)，则 f()f()，从而 F()0 (a，b)【知识模块】 微积分
