1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1991 年) 下列各式中正确的是( )2 (2013 年) 当 x0 时，用“o(x)” 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是( )（A）x.o(x 2)=o(x2)（B） o(x).o(x2)=o(x3)（C） o(x2)+o(x2)=o(x2)（D）o(x)+o(x 2)=o(x2)3 (2001 年) 设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 ，则( )（A）x=a 是 f(x)的极小值点（B） x=a 是 f(x)的极大值点（C） (a，f(a)是曲线
2、 y=f(x)的拐点（D）(a，f(a) 是曲线 y=f(x)的拐点4 (2010 年) 设函数 f(x)，g(x)具有二阶导数，且 g(x)0若 g(x0)=a 是 g(x)的极值，则 f(g(x)在 x0 取极大值的一个充分条件是 ( )（A）f(a) 0 （B） f(a)0（C） f(a) 0（D）f(a)05 (1989 年) 在下列等式中，正确的结果是( )（A）f(x)dx=f(x)（B） df(x)=f(x)（C）（D）df(x)dx=f(x)6 (2018 年) 设则( )（A）MNK（B） MKN（C） KM N（D）KNM7 (2007 年) 设函数 f(x，y)连续，则二
3、次积分 等于( )（A） 01dy+arcsinyf(x，y)dx（B） 01dy arcsinyf(x，y)dx（C）（D）8 (1991 年) 设 (n=1，2，)，则下列级数中肯定收敛的是( )9 (2017 年) 若级数 收敛，则 k=( )（A）1（B） 2（C）一 1（D）一 210 (2006 年) 设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是（A）Cy 1(x)一 y2(x)（B） y1(x)+Cy1(x)一 y2(x)（C） Cy1(x)+y2(x)（D）y 1(x)+Cy1(x)+y1(x)二、填空题
4、11 (2008 年) 设函数 在(一，+)内连续，则c=_12 (1991 年) 设曲线 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 都通过点 (一 1，0)，且在点(一 1，0)有公共切线，则 a=_，b=_，c=_13 (2006 年) 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)(，f(2)=1 ，则 f(2)=_14 (2010 年) 设位于曲线 下方，x 轴上方的无界区域为 G，则 G 绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_15 (2001 年) 设生产函数为 Q=AL.K，其中 Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而 A， 均为大于零的
5、参数，则当 Q=1 时 K 关于 L 的弹性为_16 (2015 年) 若函数 z=z(x，y)由方程 ex+2y+3z+xyz=1 确定，则 dz (0，0) =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (2014 年) 求极限18 (1987 年) 设 求 y19 (1997 年)一商家销售某种商品的价格满足关系 P=702x( 万元吨)，x 为销售量(单位：吨) ，商品的成本函数是 C=3x+1(万元 )1)若每销售一吨商品，政府要征税 t(万元)，求该商家获最大利润时的销售量；2)t 为何值时，政府税收总额最大20 (2007 年)设函数 f(x)， g(x)在a，b
6、上连续，在 (a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，又 f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：)存在 (a，b)，使得 f()=g()；)存在 (a，b)，使得 f()=g()21 (1989 年) 假设函数 f(x)在a，b上连续在(a ，b)内可导，且 f(x)0记证明在(a，b) 内 F(x)022 (1999 年) 设函数 f(x)连续，且 已知 f(1)=1，求12f(x)dx 的值23 (2009 年) 计算不定积分24 (1992 年) 设 其中 (u，v)有二阶连续偏导数25 (2001 年) 求二重积分 的值，其中 D 是由直线y=x，y=一 1 及 x=1 围成
7、的平面区域26 (2009 年) 计算二重积分 其中 D=(x，y)(x 一 1)2+(y 一 1)22，yx)27 (1998 年) 设有两条抛物线 记它们交点的横坐标的绝对值为 an。(1) 求两条抛物线所围成的平面图形的面积 Sn；(2)求级数 的和28 (1988 年) 设某商品的需求量 D 和供给量 s，各自对价格 P 的函数为 ，S(p)=bp，且 p 是时间 x 的函数并满足方程 =kD(p)一 S(p)(a、b、k 为正常数)，求：(1)需求量与供给量相等时的均衡价格 Pe；(2) 当 t=0，p=1 时的价格函数 p(t)；(3) 29 (2002 年)(1)验证函数满足微分
8、方程 y+y+y=e x(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 所以，不能选 C又 所以，也不能选 D而则应选 A，不能选 B2 【正确答案】 D【试题解析】 若取 o(x)=x2，则故应选 D3 【正确答案】 B【试题解析】 排除法取 易验证此 f(x)满足题目条件但x=a 是 f(x)的极大值点而不是极小值点则 A 不正确，又(a，f(a) 也不是曲线y=f(x)的拐点则 C 也不正确由于 x=a 是 f(x)的极大值点，则 D 也不正确所以
9、应选 B4 【正确答案】 B【试题解析】 令 (x)=fg(x)，则 (x)=fg(x)g(x) (x0)=fg(x0)g(x0)=0 (x)=fg(x)g2(z)+fg(x)g(x) (x0)=fg(x0)g(x0)=f(a)g(x0) 若 f(a)0，则 (0)0，故 (x)在 0 处取极大值5 【正确答案】 C【试题解析】 故应选 C。6 【正确答案】 C【试题解析】 =+0=由不等式 ex 1+x(x0)可知 则KMN，故应选 C7 【正确答案】 B【试题解析】 二次积分 对应的二重积分的积分域 D 如右图所示 交换二次积分次序得故应选 B8 【正确答案】 D【试题解析】 由 而绝对收
10、敛，因此应选 D9 【正确答案】 C【试题解析】 直接法当 k=一 1 时，级数 收敛，则原级数收敛10 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y1(x)与 y2(x)是非齐次线性方程 y+P(x)y=Q(x)的两个不同的解，则 y1(x)一 y2(x)是齐次方程 Yy+P(x)y=0 的非零解，从而 Cy1(x)一 y2(x)为齐次通解，故非齐次方程通解为 y 1(x)+Cy1(x)一 y2(x) 故应选 B二、填空题11 【正确答案】 应填 1【试题解析】 显然 f(x)是偶函数，可能的间断点是 X=c，只要在 x=c 处连续则处处连续，令解得 c=1 则 c=1 时 f(x)在(一，+)上
11、处处连续12 【正确答案】 应填一 1，一 1，1【试题解析】 由于曲线 f(x)和 g(x)都通过点(一 1，0) ，则 0=一 1 一 a，0=b+c 又曲线 f(x)和 g(x)在点( 一 1，0)有公共切线，则 f(一 1)=3x2+a x=1 =3+a=g(一 1)=2bx x=1 =一 2b 即 3+a=一 2b，又 0=一 1 一 a，0=b+c 则 a=一 1，b=一 1，c=113 【正确答案】 应填 2e3【试题解析】 由 f(x)=ef(x)及 f(2)=1 知，f(2)=e f(x)=e3f(x)f(x)=f(x)2，从而有f(2)=e2 f(x)=2f(x)f(x)，
12、 则 f(2)=2e314 【正确答案】 应填【试题解析】 15 【正确答案】 应填【试题解析】 当 Q=1 时 1=AL K等式两边对 L 求导，得由弹性计算公式知，K 关于 L 的弹性为16 【正确答案】 应填【试题解析】 将 x=0，y=0 代入 ex+2y+3z+xyz=1 中得 e3z=1，则 z=0 方程ex+2y+3z+xyz=1 两端微分得 e x+2y+3z(dx+2dy+3dz)+yzdx+xzdy+xydz=0 将x=0，y=0，z=0 代入上式得 dx+2dy+3dz=0 则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 18 【正确答案】 19
13、【正确答案】 (1)设 T 为总税额，则 T=tx；商品销售总收入为 R=px=(702x)x=7x 一 02x 2 利润函数为 =RC 一 T=7x02x 23x1tx=一 02x 2+(4 一t)x 一 1 即为利润最大时的销售量(2)得唯一驻点 t=2；由于 可见当 t=2 时 T 有极大值，这时也为最大值，此时政府税收总额最大20 【正确答案】 令 (x)=f(x)一 g(x)，以下分两种情况讨论： 1)若 f(x)和 g(x)在(a， b)内的同一点处 c(a，b)取到其最大值，则 (c)=f(c)一 g(c)=0，又 (a)=(b)=0，由罗尔定理知 1(a，c) ，使 (1)=0
14、； 2(c，b)，使 (2)=0 对 (x)在1， 2上用罗尔定理得， (1， 2)，使 ()=0 2)若 f(x)和 g(x)在(a ，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设 f(x)和 g(x)分别在 x1 和 x2(x1x 2)取到其在(a ，b)内的最大值，则 (x 1)=f(x1)一 g(x1)0， (x 2)=f(x2)一 g(x2)0 由连续函数的介值定理知， c(x1，x 2)，使 (c)=0以下证明与 1)相同21 【正确答案】 由于 f(x)0，x(a ，b) ，则 f(c)f()，从而 F(x)0 x(a，b)22 【正确答案】 令 u=2xt，则 0xtf(2x 一 t
15、)dt=一 2xx(2xu)f(u)du=2xx2xf(u)dux2xuf(u)du 于是 2xx2xf(u)du 一 x2xuf(u)du= arctanx2 上式两边对 x 求导得 2 x2xf(u)du+2x2f(2x)一 f(x)一2xf(2x).2 一 xf(x)=23 【正确答案】 24 【正确答案】 由复合函数求导法知25 【正确答案】 画积分域如图 21426 【正确答案】 如图所示， 令 则27 【正确答案】 由由于图形关于y 轴对称，则28 【正确答案】 (1)当需求量等于供给量时 因此均衡价格为 (2)由条件知两边积分得 p 3=pe3+ce3kbt 由条件 p(0)=1，可得 c=1 一 pe3，于是价格函数为(3)29 【正确答案】 (1)因为 所以 y+y+y=ex(2)与 y+y+y=ex 相应的齐次微分方程为 y+y+y=0 其特征方程为 2+1=0特征根为 因此齐次微分方程的通解为设非齐次微分方程的特解为 y *=Aex 将 y*代入方程 y+y+y=ex 得 于是当 x=0 时，有
