1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2008 年) 已知 f(x，y)= 则( )（A）f x(0，0)，f y(0，0)都存在。（B） fx(0， 0)不存在，f y(0，0)存在（C） fx(0， 0)存在，f y(0，0)不存在。（D）f x(0，0)，f y(0，0)都不存在。2 (2016 年) 已知函数 f(x， y)= 则( )（A）f x-fy=0。（B） fx+fy=0。（C） fx-fy=f。（D）f x+fy=f。3 (2003 年) 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得
2、极小值，则下列结论正确的是( )（A）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数等于零。（B） f(x0，y)在 y=y0 处的导数大于零。（C） f(x0，y)在 y=y0 处的导数小于零。（D）f(x 0，y)在 y=y0 处的导数不存在。4 (2017 年) 二元函数 z=xy(3 一 xy)的极值点是( )（A）(0 ，0)。（B） (0，3) 。（C） (3，0) 。（D）(1 ，1)。5 (2006 年) 设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y(x，y)0，已知(x 0，y 0)是f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A）若 fx(
3、x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0。（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0。（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0。（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0。6 (2005 年) 设 其中D=(x，y)|x 2+y21，则( )（A）I 3I 2 I1。（B） I1I 2I 3。（C） I2I 1I 3。（D）I 3I 1 I2。7 (2016 年) 设 (i=1，2，3)，其中 D1=(x，y)|0x1，0y1，D2=(x，y)|0x1，0y ，D 3=(x，y)|0x1 ，x 2y1)。则( )（A）J 1J
4、 2J 3。（B） J3J 1J 2。（C） J2J 3J 1。（D）J 2J 1J 3。8 (1999 年) 设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ 其中 D 是由y=0，y=x 2， x=1 所围成的区域，则 f(x，y)等于( )（A）xy。（B） 2xy。（C）（D）xy+1。二、填空题9 (2012 年) 设连续函数 z=f(x，y)满足 则 dz|(0,1)=_。10 (2016 年) 设函数 f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(z+1)zy 2=x2f(xz，y) 确定，则dz|(0,1)=_。11 (2000 年) 设 其中 f，g 均可微，则 =_。12 (20
5、04 年) 设函数 f(u，v)由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 =_。13 (2005 年) 设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz|(1,0)=_。14 (2006 年) 设函数 f(u)可微，且 f(0)= ，则 z=f(4x2 一 y2)在点(1，2) 处的全微分dz|(1,2)=_。15 (2007 年) 设 f(u，v)是二元可微函数， =_。16 (2009 年) 设 z=(x+ey)x，则 =_。17 (2011 年) 设函数 则 dz|(1,1)=_。18 (2013 年) 设函数 z=z(x，y
6、)由方程(z+y) x=xy 确定，则 =_。19 (2015 年) 若函数 z=z(x，y)由方程 ex+2y+3z+xyz=1 确定，则 dz|(0,0)=_。20 (2003 年) 设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示全平面，则 I= f(x)g(yx)dxdy=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 (1998 年) 设函数 f(x)在 a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(x)0.试证存在， (a，b)，使得22 (1998 年) 设 z=23 (2001 年) 设 u=f(x，y，z)有连续的一阶偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(z)分别由下
7、列两式确定：e xy 一 xy=2 和 ex=24 (2002 年) 设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xex 一 yey=zez所确定，求 du。25 (2003 年) 设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 又 g(x，y)=26 (2005 年) 设 f(u)具有二阶连续导数，且 g(x，y)=27 (2008 年) 设 z=z(x，y)是由方程 x2+y2 一 z=(x+y+z)所确定的函数，其中 具有2 阶导数且 一 1。(I)求 dz；( )记 u(x，y)=28 (2011 年) 已知函数 f(u， v)具有连续的二阶偏导数， f(1，1)
8、=2 是 f(u，v)的极值，z=f(x+y)，f(x，y) 。求29 (2012 年) 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 1 0000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 x(件)和 y(件)，且这两种产品的边际成本分别为 (万元件)与 6+y(万元件)。(I)求生产甲、乙两种产品的总成本函数 C(x，y)(万元)；()当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本； () 求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。30 (2009 年) 求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值
9、。31 (1999 年) 设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量；若生产函数为 Q=2x1x2，其中 ， 为正常数，且 +=1。假设两种要素的价格分别为 p1 和 p2，试问：当产出量为 12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?32 (2000 年) 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 P 1=182Q1，P 2=12 一 Q2，其中 P1 和 P2 分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元吨) ，Q 1 和 Q2 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成
10、本函数是 C=2Q+5，其中 Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即 Q=Q1+Q2。 (I)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润； ()如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。33 (2010 年) 求函数 u=xy+2yz 在约束条件 x2+y2+z2=10 下的最大值和最小值。34 (1999 年) 计算二重积分 其中 D 是由直线 x=一 2，y=0，y=2 以及曲线所围成的平面区域。35 (2006 年) 计算二重积分 ，其中 D 是由直线
11、y=x，y=1，x=0 围成的平面区域。考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 故fx(0，0)不存在。所以fy(0，0)存在。故选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 由复合函数求导法则 故fx+fy=f。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，根据取极值的必要条件知fy(x0，y 0)=0，即 f(x0，y)在 y=y0 处的导数等于零，故应选 A。 本题也可用排除法分析，取 f(x，y)=
12、x 2+y2，在(0，0)处可微且取得极小值，并且有 f(0，y)=y 2，可排除 B， C，D，故正确选项为 A。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 根据二元函数极值点的条件 z x=y(3 一 xy)一 xy=y(32xy)， z y=x(3 一 xy)一 xyx(3 一 x 一 2y)， z xx“=一 2y，z xy“=32x 一 2y，z yy“=一 2x。验证可得 A、B、C、D 四个选项均满足 其中 D 选项对应 A=z xx“(1，1)=一 2，B=z xy“(1，1)= 一 1，C=z yy“(1，1)=一 2，满足 ACB2=30，所以该点为极值点。【知识
13、模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 构造拉格朗日函数 F(x，y，)=f(x，y)+(x，y)，并记对应点(x0，y 0)的参数 的值为 0，则若 fx(x0，y 0)0，则 00，从而fy(x0，y 0)0。故选 D。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 在区域 D=(x，y)|x 2+y21上，有 0x2+y21，从而有由于 cosx 在 上为单调减函数，于是【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 D 1，D 2，D 3 的区域如下图所示易知在 D1 一 D2 中可知 J1J 2，J 1J 3，故选 B。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试
14、题解析】 因为 则 f(x，y)=xy+a，【知识模块】 微积分二、填空题9 【正确答案】 2dxdy【试题解析】 根据 以及函数 z 的连续性可知 f(0，1)=1 ，从而已知极限可以转化为 或者 f(x，y)一f(0，1)=2x-(y1)+ 由可微的定义知， f(x，y)在点(0 ，1)处是可微的，且有 f x(0，1)=2， fy(0，1)=一 1，所以 dz|(0,1)=2dxdy。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 2dydx【试题解析】 当 x=0，y=1 时，z=1。由一阶微分形式不变性可得 zdx+(x+1)dz 一2ydy =2xf(xz，y)dx+x 2f1(xz，y)
15、(dxdz)+x 2f2(x 一 z，y)dy ，将x=0，y=1，z=1 代入上式得 dx+dz 一 2dy=0，所以 dz|(0,1)=2dydx。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 根据复合函数的求导公式，有【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 令 u=xg(y)，v=y，则 f(u，v)=【知识模块】 微积分13 【正确答案】 2edx+(e+2)dy【试题解析】 于是 dz| (1,0)=2edx+(e+2)dy。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 4dx 一 2dy【试题解析】 对 z=f(4x2 一 y2)微分得 dz=f(4x 2 一 y2
16、)d(4x2 一 y2)=f(4x2 一 y2)(8xdx一 2ydy)，故 dz|(1,2)=f(0)(8dx 一 2dy)=4dx 一 2dy。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 利用求导公式可得【知识模块】 微积分16 【正确答案】 2ln2+1【试题解析】 由 z=(x+ey)x，故 z(x，0)=(x+1) x。代入 x=1 得，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 (1+2ln2)dx 一(1+2ln2)dy【试题解析】 因为=1+2ln2。又因为【知识模块】 微积分18 【正确答案】 22ln2【试题解析】 把点(1，2)代入(x+y) x=xy，得到 z(1
17、，2)=0 。 在(z+y) x=xy 两边同时对 x 求偏导数，有 将 x=1，y=2 ，z(1，2)=0 代入得【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 直接在方程两端对 x，y 求偏导数有【知识模块】 微积分20 【正确答案】 a 2【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 函数 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，满足拉格朗日中值定理的条件，对函数 f(x)在a ，b上用拉格朗日中值定理，有 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)，a b。 又函数 f(x)与 ex 满足柯西中值定理的条件，将函数
18、f(x)与 ex 在a ，b上用柯西中值定理，有【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由全微分与偏微分的关系可知，其中 dx 的系数就是 再对 y 求偏导数，得【知识模块】 微积分23 【正确答案】 根据复合函数求导公式，有在 exy 一 xy=2 两边分别对 x 求导，得将其代入(*)式，得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设 F(x，y，z)=xe x 一 yey 一 zez，则 F x=(x+1)ex，F y=一(y+1)ey，F z=一(z+1)e z。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由已知条件可得【知识模块】 微积分27 【正确
19、答案】 (I)等式 x2+y2 一 z=(x+y+z)两边同时求微分，得 2xdx+2ydydz=(x+y+z).(dx+dy+dz)，整理得 (+1)dz=(一 +2x)dx+(一 +2y)dy，【知识模块】 微积分28 【正确答案】 因为 =f1(x+y)，f(x ，y)+f 2(x+y)，f(x，y).f 1(x，y)，=f11“(x+y)，f(x，y)+f 12“(x+y)，f(x ，y).f 2(x，y)+f 21“(x+y)，f(x，y).f1(x，y)+f 22“(x+y)，f(x，y).f 2(x，y).f 1(x，y)+f 2(x+y)，f(x，y).f 12“(x，y)。又
20、因为 f(1，1)=2 是 f(u，v)的极值，故 f1(1，1)=0 ，f 2(1，1)=0。因此=f11“(2，2)+f 12“(2，2).f 2(1，1)+f 21“(2，2).f 1(1，1)+f 22“(22).f 2(1，1).f1(1，1)+f 2(2，2)f 12“(1，1)=f 11“(2，2)+f 2(2，2).f 12“(1，1)。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 (I)设成本函数为 C(x，y) ，则 Cx(x，y)=20+ 对 x 积分得，再对 y 求导有， C y(x，y)=(y)=6+y，再对 y 积分有，又 C(0，0)=10 000，因此 C=10 00
21、0，于是 ()若 x+y=50，则y=50 一 x(2x50)，代入到成本函数得令 C(x)= 一 36=0，得x=24， y=26，所以总成本最小为 C(24，26)=11 118(万元)。()总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本为 Cx(24，26)=32，即在总产量为 50 件时，在甲产品为 24 件时，改变一个单位的产量，成本会发生 32 万元的改变。【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由 得驻点(0，e -1)，计算二阶偏导数fxx“(x，y)=2(2+y 2)，f xy“(x，y)=4xy，f yy“(x，y)= 则得 A=fxx“(0，e -1)=B=fxy“(0
22、，e -1)=0，C=f yy“(0，e -1)=e，又得 ACB20，A0，故在(0，e -1)处 f(x，y)取得极小值，极小值为【知识模块】 微积分31 【正确答案】 设两种要素的总投入费用为 P，则由题意得 P=p1x1+p2x2，题目问产出量为 12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小，即求函数P=p1x1+p2x2 在约束条件 Q=2x1x2一 12=0 下的条件最值。按拉格朗日乘数法，作函数 F(x 1，x 2，)=p 1x1+p2x2+(2x1x2一 12)，为求驻点求偏导并令其为零，即由前两式可得 ，解出 x2 代入第三个式子，得因为驻点唯一，且实际问题在 x10，x
23、 20 的范围内存在最小值，故 时 P 为最小。【知识模块】 微积分32 【正确答案】 记总利润函数为 L，总收益函数为 R，则总利润= 总收益一总成本。L=RC=P1Q1+P2Q2 一(2Q+5)=P 1Q1+P2Q2 一2(Q 1+Q2)+5 =(182Q1)Q1+(12 一 Q2)Q2 一2(Q 1+Q2)+5 =18Q1 一 2Q12+12Q2 一 Q22 一 2Q1 一 2Q2 一 5=一 2Q12Q22+16Q1+10Q2 一 5，其中，Q 10，Q 20，Q=Q 1+Q2 为销售总量。(I)令=一 2Q2+10=0，解得 Q1=4，Q 2=5。而 P1=182Q1，P 2=12一
24、 Q2，故相应地 P1=10，P 2=7。 在 Q10，Q 20 的范围内驻点唯一，且实际问题在 Q10，Q 20 范围内必有最大值，故在 Q1=4，Q 2=5 处 L 为最大值。 maxL=一242 一 52+164+1055=52(万元)。 ( )若两地的销售单价无差别，即 P1=P2，于是 182Q1=12 一 Q2，得 2Q1 一 Q2=6，若求函数=ff(x，y)在条件 (x，y)=0 的最大值或最小值，用拉格朗日乘数法：先构造辅助函数 F(x，y，)=f(x ，y)+(x，y)，然后解方程组 所有满足此方程组的解(x，y，)中的(x，y)是z=f(x，y)在条件 (x，y)=0 的
25、可能极值点，在可能极值点中求得最大值点或最小值点。 故用拉格朗日乘数法，其中 (Q1，Q 2)=2Q1 一 Q26=0，构造函数 F(Q1，Q 2，)=一 2Q12 一 Q22+16Q1+10Q25+(2Q1 一 Q26)，令解得 Q1=5，Q 2=4，在 Q10，Q 20 的范围内驻点唯一，且实际问题在 Q10，Q 20 范围内必有最大值，故在 Q1=4，Q 2=5 处 L 取最大值。得 maxL=-252 一 42+165+1045=49(万元 )。【知识模块】 微积分33 【正确答案】 令 F(x，y，z，)=xy+2yz+(x 2+y2+z2 一 10)，由【知识模块】 微积分34 【正确答案】 区域 D 和 D1 如图所示，有在极坐标系下，有【知识模块】 微积分35 【正确答案】 根号下的函数为关于 x 的一次函数，采用“先 x 后 y”的积分次序较容易，所以【知识模块】 微积分
