1、考研数学三（微积分）模拟试卷 135 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 y1(x)，y 2(x)，y3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)(62)的解，C 1，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2 一(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2 一(1C 1 一 C2)y3（D）C 1y1+C2y2+(1 一 C1 一 C2)y32 已知 sin2x，cos 2x 是方程 y“+P(x)y+Q(x)y=0 的解，C 1，C 2 为任意常
2、数，则该方程的通解不是（A）C 1sin2x+C2cos2x（B） C1+C2cos2x（C） C1sin22x+C2tan2x（D）C 1+C2cos2x二、填空题3 当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x 处的增量y=+，且 y(0)=，则 y(1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 求微分方程 x(y2 一 1)dx+y(x2 一 1)dy=0 的通解5 求微分方程(x 一 4)y4dxx3(y2 一 3)dy=0 的通解6 微分方程 ydx 一(x+ )dy=0 当 y0 时的通解是 y=_7 求微分方程 =x 的通解8 求微分方程 yd
3、x+(xy+x 一 ey)dy=0 的通解9 设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+0tf(s)sinsds，求 f(t)10 设 f(x)连续且 f(x)0，并满足 f(x)=0xf(t)dt+201tf2(t)dt，求 f(x)11 求下列微分方程的通解：() y“一 3y=26x； () y“+y=2cosx； () y“+4y+5y=40cos3x12 求微分方程 y“+2y一 3y=ex+x 的通解13 设某商品的需求量 D 和供给量 S 各自对价格 P 的函数为 D(P)= ，S(P)=6P ，且 P 是时间 t 的函数，并满足方程 =kD(P)一 s(P)，其中 a，b，
4、k 为正的常数求：()需求量与供给量相等时的均衡价格 P3；()当 t=0，P=1 时的价格函数P(t)；() P(t)。14 设( )函数 f(x)在0 ，+)上连续，且满足 0f(x)ex 一 1； ()平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线 y=f(x)和 y=ex 一 1 分别交于点 P2 和 P1； ()由曲线 y=f(x)与直线MN 及 x 轴围成的平面图形的面积 S 恒等于线段 P1P2 之长求函数 f(x)的表达式15 求 yt=tet+2t2 一 1 的一阶差分16 求差分方程 yt+1+7yt=16 满足 y0=5 的特解17 求下列微分方程的通解或特解：18 求微分方程 的
5、特解19 求下列微分方程的通解：()y+ =1； ()xy+2y=sinx；()ydx 一2(x+y4)dy=0； ()y+xsin2y=x 3cos2y20 给出满足下列条件的微分方程： ()方程有通解 y=(C1+C2x+x1)ex； ()方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解 y 1=cos2x 一xsin2x21 求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解：()2y“+y一 y=0； ()y“+8y+16y=0； ()y“一 2y+3y=022 ()求 y“一 7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= 的特解； ()求y“+a2y=8cosbx 的通解，其中 a0，b0 为常数；
6、()求 y“+4y+4y=ex 的通解，其中 a 为常数； ()求 y“+y=x3 一 x+2 的通解23 求微分方程 y“+4y+5y=8cosx 的当 x一时为有界函数的特解24 设 f(x)=sinx+0xetf(x 一 t)dt，其中 f(x)连续，求满足条件的 f(x)25 设当 x0 时 f(x)有一阶连续导数，且满足 f(x)= 一 1+x+20x(x 一 t)f(t)f(t)dt，求f(x)26 设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且其反函数为 g(x)若 0f(x)g(t)dt+0xf(t)dt=xex 一 ex+1， 求 f(x)27 已知 xy+p(x)y=x
7、 有解 y=ex，求方程满足 y x=ln 2=0 的解28 已知方程 y= ，求满足条件的 (x)29 设 f(x)在0，+)上连续，且满足方程 求 f(t)30 设 f(x)是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解，并求此特解，其中 k 为常数31 求下列一阶常系数线性差分方程的通解： ()4y t+1+16yt=20； ()2y t+1+10yt 一5t=0； ()y t+1 一 2yt=2t； ()y t+1yt=4cos32 求下列方程满足给定条件的特解： ()y t+1 一 yt=2t，y 0=3； ()y t+1+4yt=17co
8、s，y 0=1考研数学三（微积分）模拟试卷 135 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y3+C1(y1 一 y3)+C2(y2 一 y3)， 而且 y3 是非齐次方程(62)的一个特解，y 1 一 y3 与 y2y3 是(64)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(62)的通解故应选(D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 容易验证 sin2x 与 cos2x 是线性无关的两个函数，从而依题设sin2x，cos 2x 为该方程的两个线性无关的解，故 C1sin2
9、x+C2cos2x 为方程的通解而(B)，(D)中的解析式均可由 C1sin2x+C2cos2x 恒等变换得到，因此，由排除法，仅C1sin22x+C2tan2x 不能构成该方程的通解事实上，sin 22x，tan 2x 都未必是方程的解，故选(C) 【知识模块】 微积分二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 首先尝试从y 的表达式直接求 y(1)为此，设 x0=0，x=1，于是y=y(x0+x)一 y(x0=y(1)一 y(0)=y(1)一 ，代入 y 的表达式即得 y(1)一 =+ y(1)=2+由于仅仅知道当x0 时 是比 x 较高阶的无穷小，而不知道 的具体表达式，因而从上式无法求出
10、 y(1) 由此可见，为了求出 y(1)必须去掉y 的表达式中包含的 利用函数的增量 y 与其微分 dy 的关系可知，函数 y(x)在任意点x 处的微分 这是一个可分离变量方程，它满足初始条件 y x=0= 的特解正是本题中的函数 y(x)，解出 y(x)即可得到 y(1)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 用(x 2 一 1)(y2 一 1)除方程的两端，则原方程化为 由此可见这是一个变量可分离的方程两边同时积分，可求得其通解为 lny 21=一 lnx 21+lnC即(x 21)(y21)=C(C0 为任意常数)【知识模块】 微积分5 【
11、正确答案】 这是一个变量可分离型方程，当 xy0 时，原方程等价于这就是原方程的通解【知识模块】 微积分6 【正确答案】 (C0)【试题解析】 将原方程改写成 ，然后令 y=ux，则y=u+xu代入后将会发现该变形计算量较大于是可转换思维方式，将原方程改写成【知识模块】 微积分7 【正确答案】 这是一个一阶线性微分方程，解得 u= (x2+1)C+ln(x2+1)所以原微分方程的通解为 y=u2= (x2+1)(C+ln(x2+1)2(其中 C 为任意常数)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 将 y 看成自变量，x 看成是 y 的函数，则原方程是关于未知函数x=x(y)的一阶线性微分方程，化
12、为标准形式得其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分9 【正确答案】 因 f(t)连续，故 0tf(s)sinsds 可导，从而 f(t)可导于是，将题设等式两边求导并在题设等式中令 t=0，可得这是一阶线性微分方程的初值问题将方程两边同乘 =esintdt=ecost 可得 e costf(t)=一4sintcostecost积分得 e costf(t)=4costd(ecost)=4(cost 一 1)ecost+C由 f(0)=1 得 C=e因此所求函数 f(t)=e1cost+4(cost 一 1)【知识模块】 微积分10 【正确答案】 令 01tf2(t)dt=a，则 f(x)=0x
13、f(t)dt+2a，上式两边求导得 f(x)=f(x)，解得 f(x)=Cex由题设令 x=0 可得 f(0)=2a，所以 C=2a，从而 f(x)=2aex 再代入01tf2(t)dt=a，可得 401a2te2dt=a，于是 a= ，所以【知识模块】 微积分11 【正确答案】 () 先求对应齐次微分方程的通解，因其特征方程为 23=(一 3)=0，故通解为 (x)=C1+C2e3x 再求非齐次微分方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且 0 是特征方程的单根，所以特解应具形式 y*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 y *(x)“一 3y*(x)=2A 一 3(2Ax+B)=一 6A
14、x+2A 一 3B=26x比较方程两端的系数，得 解得 A=1，B=0 ，即特解为 y*(x)=x2从而，原方程的通解为 y(x)=x 2+C1+C2e3x，其中 C1，C 2 为任意常数 ()由于对应齐次微分方程的特征方程为 2+1=0，特征根为i，所以其通解应为 C，cosx+C 2sinx；从而y“+y=2cosx 的特解应具形式：y *(x)=Axcosx+Bxsinx代入原方程，可求得A=0，B=1 ，即 y*(x)=xsinx故原方程的通解为 y(x)=C 1cosx+C2sinx+xsinx，其中C1，C 2 为任意常数 ()由于对应齐次微分方程的特征方程为 2+4+5=0，特征
15、根为一 2i，所以其通解应为 e2x(C1cosx+C2sinx)又因 3i 不是特征根，所以方程y“+4y+5y=40cos3x 的特解应具有形式 y*(x)=Acos3x+Bsin3x代入原方程可得 A=一 1，B=3这样就得到原方程的通解为 y(x)=e 2x(C1cosx+C2sinx)+3sin3xcos3x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微积分12 【正确答案】 相应的齐次方程为 y“+2y一 3y=0，特征方程为 2+2 一 3=0，特征根为 1=1， 2=一 3，齐次方程的通解为 C1ex+C2e3x 为求得原方程的特解，分别考虑下列两个非齐次微分方程的特解： y
16、“+2y一 3y=ex 和 y“+2y一 3y=x 对于第一个方程，=1 是特征根，故设特解 y1(x)=Axex，将 y 1*(x)=Aex(x+1)，y“ 1*(x)=Aex(x+2)代入原方程，比较系数可得 A= ex 对于第二个方程，非齐次项 f(x)=x，0 不是特征根，故设特解 y2*(x)=Bx+C，将 y 2*(x)=B，y“ 2*=0 代入原方程，比较系数可得 B=一 利用解的叠加原理即得微分方程的通解为 y=C 1ex+C2e3x+ ，其中 C1，C 2为任意常数【知识模块】 微积分13 【正确答案】 () 令 D(P)=S(P)，即 ()把 D(P)和 S(P)的表达式代
17、入方程，得 分离变量，并求积分 a 一 6P3=kt+C 1，从而 a 一bP3= =Ce3bkt令 t=0，P=1，可确定常数 C=a 一 b， 将其代回并解出P，于是 () =Pe，这表明当t+时 P(t)将趋向于均衡价格 Pe【试题解析】 在方程中代入 D(P)和 S(P)即得 这是变量可分离的方程求 t=0，P=1 时的价格函数 P(t)就是求这个方程满足初始条件 P t=0=1 的特解【知识模块】 微积分14 【正确答案】 如图 61，设动直线 MN 上各点的横坐标为 x，由题设知 S=0xf(t)dt， P 1P2=e x 一 1 一 f(x)于是，函数 f(x)满足方程 0xf(
18、t)dt=ex 一 1 一f(x) 由 f(x)及 ex 连续知变上限定积分 0xf(t)dt 可导，从而 f(x)可导将上述方程两端对 x 求导并令 x=0，得 f(x)=e xf(x)，f(0)=0(与题设一致)又因 f(0)=0，于是 f(x)是一阶线性方程 y+y=ex 满足初始条件 y(0)=0 的特解解之即得 f(x)= (ex 一 ex)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 根据差分的性质有 y t=(tet)+2(t2)一 (1)=t(et)+et+1(t)+2(2t+1) =ett(e 一 1)+e+4z+2 也可以直接计算差 yt+1yt【知识模块】 微积分16 【正确答
19、案】 由于 f(t)=16，a=7 ，利用表中给出的特解形式，应设 yt*=B代入方程可得 B=2，于是，方程的通解为 yt=2+C(一 7)t再由初始条件 y0=5，即得 2+C=5，C=3，因此满足条件 y0=5 的特解为 yt=2+3(一 7)t【知识模块】 微积分17 【正确答案】 () 属变量可分离的方程，它可以改写为 =sin(lnx)+cos(lnx)+adx两端求积分，由于sin(lnx)dx=xsin(lnx)一xcos(lnx) dx=xsin(lnx)一cos(lnx)dx，所以 lny=xsin(lnx)+ax+C 1，即其通解为 y=Cexsin(lnx)+ax，其中
20、 C 是任意常数( )属齐次微分方程令 y=xu，当 x0 时，原方程可化为两端求积分，则得arcsinu=lnx+C，即其通解为 arcsin =lnx+C(其中 C 是任意常数) 当 x0 时，上面的方程变为 =一 lnx+C(其中 C 是任意常数) 所得的通解公式也可以统一为 y=xsin(ln x+C)此处还需注意，在上面作除法的过程中丢掉了两个特解 u=41，即 u=x ()属齐次微分方程，它可改写为于是，将 u= ，其中 C 是任意常数 () 由初始条件 y(1)=0 知可在 x0 上求解，即解方程 y= ，分离变量并求积分，可得 4y+ y3=x(lnx 一 1)+C (*)为其
21、通解再利用初始条件可确定C=1，于是所求特解为 12y+y3=3x(lnx 一 1)+3【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 () 这是一个典型的一阶线性非齐次微分方程，利用求解公式，可得其通解为 ()本题虽然是一阶线性微分方程，但不是用标准形式给出的为采用积分因子法求解，可先把它化为标准形式，以便得到系数 p(x)求解过程如下： 首先把方程化为标准形式 y+ =e2lnx=x2，用 x2 同乘标准形式方程的两端，得(x 2y)=xsinx，积分可得通解 y= (C+sinx 一xcosx)，其中 C 为任意常数()若将方程改写为 ，则此方程不是线性方
22、程但是，若将方程改写为则此方程为以 y 为自变量，x为未知函数的一阶线性方程利用求解公式可得 x= =y2(2y3y 2dy+C)=y2(y2+C)，即方程的通解为x=y4+Cy2，其中 C 为任意常数 ()将题设方程变形为线性微分方程的标准形式，可得 这是以 z 为未知函数的一阶线性微分方程，利用求解公式可得于是方程的通解为 y=arctan ，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分20 【正确答案】 (1)通解变形为 exy=C1+C2x+x1，求导得 e 2(y+y)=C2 一 x2，再求导得方程 ex(y“+2y+y)= ex ()由题设，根据方程解的结构知，方程的通解为 y=C 1
23、cos2x+C2Sin2x 一 xsin2x，从而知原方程的特征方程有两个共轭复根2i，且一 xsin2x 为其特解进而知原方程为 y“+4y=f(x)因此，所求方程为 y“+4y=一 cos2x【试题解析】 由已知解求原方程，首先要从解的结构确定所求方程的基本类型和特征从本题题设观察，所求方程均为二阶常系数线性微分方程在此基础上，或者直接对通解二次求导消去两个任意常数，从而得到方程；或者利用解的结构和性质与方程解的关系推导出方程【知识模块】 微积分21 【正确答案】 () 特征方程为 22+ 一 1=0，特征根为 1=一 1， 2= ，所以方程的通解为 y=C 1ex+C2 ，其中 C1 与
24、 C2 是两个任意常数 ()特征方程为2+8+16=0，特征根为 1=2=一 4，所以方程的通解为 y=(C 1+C2x)e4x，其中 C1与 C2 是两个任意常数 ()特征方程为 2 一 2+3=0，特征根为 1，2 =1 ，所以方程的通解为 y=e x(C1cos )，其中 C1 与 C2 是两个任意常数【知识模块】 微积分22 【正确答案】 () 对应齐次微分方程的特征方程为 2 一 7+12=0，它有两个互异的实根 1=3 与 2=4，所以其通解为 (x)=C1e3x+C2e4x，其中 C1 与 C2 是两个任意常数由于 0 不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式 y*(x)=
25、Ax+B代入方程可得A= +C1e3x+C2e4x()由于对应齐次微分方程的特征根为ai，所以其通解为 (x)=C1cosax+C2sinax求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论： 当 ab 时，特解的形式应为Aeosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得 A= ，B=0所以通解为 y(x)=cosbx+C1cosax+C2sinax，其中 C1 与 C2 是两个任意常数 当 a=b 时，特解的形式应为 Axeosax+Bxsinax，代入原方程可得 A=0B= 所以原方程的通解为 y(x)= xsinax+C1cosax+C2sinax，其中 C1 与 C2 是两个任意常数 ()特征方
26、程是 2+4+4=0，它有相等二实根 1=2=一 2，所以其对应齐次微分方程的通解为y(x)=(C1+C2x)e2x非齐次微分方程的特解的形式与 a 是不是特征根有关 若 a一 2，则应设特解为 y*(x)=Aeax，其中 A 是待定系数代入方程可得 A(a 2+4a+4)eax=eax ，所以，当 a一 2 时通解为 y(x)=(C1+C2x)e2x+ ，其中 C1 与 C2 是两个任意常数 若 a=一 2，由于它是重特征根，则应设特解为y*=Ax2e2x，其中 A 是待定系数代入方程可得 A(2 8x+4x2)+4(2x 一 2x2)+4x2e2x=e2x，即 2Ae 2x=e2x于是可得
27、出 A= 所以，当 a=一 2 时通解为 y(x)=(C1+C2x+ x2)e2x(其中 C1 与 C2 是两个任意常数) ()方程的自由项是三次多项式 f(x)=x3 一 x+2，方程的特征根满足 2+1=0，从而是共轭复根 =i 和 =一 i所以，对应齐次微分方程的通解是 (x)=C1cosx+C2sinx，而非齐次微分方程的特解可取为y*(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，代入方程可得待定常数 A，B，C，D 应满足 Ax3+Bx2+(6A+C)x+2B+D=x3 一 x+2，由此可确定 A=1，B=0，C= 一 7，D=2所以原方程的通解为 y(x)=C 1cosx+C2sinx+x3
28、一 7x+2，其中 C1 与 C2 是两个任意常数【知识模块】 微积分23 【正确答案】 题设方程对应的特征方程为 r2+4r+5=0， 特征根为 r=一 2i，从而对应齐次方程 y“+4y+5y=0 的通解为 (x)=e2x(C1cosx+C2sinx) 由非齐次项 8cosx知i 不是特征根，故可设原方程的一个特解为 y*=Aeosx+Bsinx将 y*代入原方程，比较系数得 A=B=1，因此 y*=cosx+sinx于是，原方程的通解为 y=e 2x(C1cosx+C2sinx)+cosx+sinx当 x一时，e 2x+，所以要使 y 有界，只有C1=C2=0故所求的特解为 y=cosx
29、+sinx【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设 u=x 一 t，则 0xetf(x 一 t)dt=ex0xeuf(u)du，故原方程整理后为 exf(x)=exsinx+0xeuf(u)du 在方程中令 x=0 得 f(0)=0，再将方程两边对 x 求导，得 e xf(x)一 exf(x)=excosxexsinx+exf(x) 化简得一阶线性微分方程 f(x)一2f(x)=cosxsinx (*) 由一阶线性微分方程的通解公式知方程(*)的通解为 f(x)=Ce2x+e2xe2x(cosxsinx)dx 分部积分两次可得e 2x(cosx 一 sinx)dx= e2x(3 sinx 一
30、 cosx)+C，其中 C 是任意常数故原微分方程的通解为【知识模块】 微积分25 【正确答案】 在原方程中，令 x=0，得 f(0)=一 1将原方程化为 f(x)=一1+x+2x0xf(t)f(t)dt 一 20xtf(t)f(t)dt，上式两边对 x 求导得 f(x)=1+2 0xf(t)f(t)dt+2xf(x)f(x)一 2xf(x)f(x)=1+20xf(t)f(t)dt从而有 f(x)=1+2 0xf(t)f(t)dt=1+0xdf2(t)=1+f2(x)一 f2(0)=f2(x)【知识模块】 微积分26 【正确答案】 将题设等式两边对 x 求导，得 gf(x)f(x)+f(x)=
31、xe x由于 gf(x)=x，于是，当 x0 时有又 f(x)在 x=0 处右连续且 f(0)=0，于是由【知识模块】 微积分27 【正确答案】 把已知解代入方程，得x+p(x)e x=x，由此可确定方程的待定系数p(x)=x(ex 一 1)，于二是原方程就是 y+(ex 一 1)y=1与它对应的齐次线性微分方程 y+(ex 一 1)y=0 的通解是 y= ；把这个通解加上非齐次方程的已知特解 y=ex 即得原方程的通解利用初始条件 yx=ln 2=0 可确定常数 C=一【试题解析】 首先把已知解代入方程，即可确定方程的待定系数 p(x)；其次，把得到的系数 p(x)代入原方程，并求对应的齐次
32、线性微分方程的通解；再把非齐次微分方程的已知特解 y=ex 与之相加，即得原方程的通解由此求满足给定初始条件的特解就容易了【知识模块】 微积分28 【正确答案】 设 u= ，分离变量并利用已知的通解即得【试题解析】 方程可以看成齐次方程，令 u= ，则 y=u+xu把方程和通解都作相应的改变【知识模块】 微积分29 【正确答案】 首先把右端的二重积分化为定积分设 x=rcos，y=rsin，引入极坐标(r，)，于是，在极坐标系(r，)中积分区域 x2+y24t2 可表为02，0r2t，面积元 dxdy=rdrd， =r，于是从而未知函数 f(t)满足积分方程 f(t)=80tsf(s)dx+
33、，令 t=0 得 f(0)=1；用变上限定积分求导公式得 f(t)=8tf(t)+8t 由此可知 f(t)是一阶线性微分方程 y一8ty=8t 满足初始条件 y(0)=1 的特解解出可得 f(t)=(1+4t 2) 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由于此线性微分方程的通解可表示为 y(x)=ekxC+0xf(t)ektdt，而为了使其以 为周期，就应该对任何 x 满足恒等式 y(x+)=e kxkC+0x+f(t)ektdt=y(x)，即 C+0xf(t)ektdt=ekC+0x+f(t)ektdt上式可改写为 e kC+0xf(t)ektdt=C+0x+f(t)ektdt (*) 又
34、因 0x+f(t)ektdt=0f(t)ektdt+x+f(t)ektdt，利用 f(x)以 为周期又可得 x+f(t)ektdt 0xf(s+)ek(s+)=ek0xf(s)eks=ek0xf(t)ktdt，故(*)又可写成 e kC+0xf(t)ektdt=C+0f(t)ektdt+ek0xf(t)ektdt即 e kC=C+0f(t)ektdt若令 C=0f(t)ektdt，则此特解就是以 为周期的函数，由于这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个【试题解析】 本题是求该方程满足某种要求的特解为此，我们先求通解，然后用确定常数 C 的办法来得到具有周期性的那个特解【知识模块】 微积分31
35、 【正确答案】 () 方程可化简为 yt+1+4yt=5由于 a=4，可得对应齐次方程的通解为 C(一 4)t，自由项 f(t)=5 是零次多项式，由于 a+10，应设非齐次方程的特解yt*=B，B 待定代入方程可得 B=1于是，方程的通解为 yt=1+C(一 4)t ()类似于()，可化简方程为 yt+1+5yt= ，对应齐次方程的通解为 C(一 5)t，非齐次方程的特解应具有形式 yt*=A+Bt，代入原方程可得 A=一。 于是，原方程的通解为 yt= +C(一 5)t ()由于 a=一2，f(t)=2 t，因此可设特解具有形式 yt*=At2t，代入方程可确定 A= 显然对应齐次方程的通解为 C2t，故原方程的通解为 yt=(C+ )2t ()由于其特解应具有形式yt=B0cos ，因此原方程的通解为 yt=一 2cos t+C【知识模块】 微积分32 【正确答案】 () 由于 yt+1 一 yt=2t 的特解为 2t，因此原方程的通解为yt=2t+C代入定解条件，则知所求之解为 yt=2t+2 ()如上题第( )小题，非齐次方程的特解应具有形式 yt*=Acos ，计算可得 A=4，B=1，即其通解为yt=4cos +C(一 4)t代入定解条件，即知所求之解为 y t=4cos一 3(一 4)t【知识模块】 微积分
