1、考研数学三（微积分）模拟试卷 143 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 xa 时， f（x）与 g（x）分别是 xa 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是（ ）f（ x）g（x）是 xa 的 n+m 阶无穷小。若 nm ，则是 xa 的 nm 阶无穷小。 若 nm，则 f（x）+g（x）是 xa 的 n 阶无穷小。（A）1（B） 2（C） 3（D）02 函数 f（x）=（x 2+x 一 2）|sin2x|在区间 上不可导点的个数是（ ）（A）3（B） 2（C） 1（D）03 （A） ln（1+ lnx） 21n （1+2x ）（
2、B） ln（1+lnx） ln（1+2x）（C） ln（1+lnx） ln（1+2x）（D）ln（1+lnx） 21n （1+2x ）4 设函数 f（x），g（x）具有二阶导数，且 g“（x ）0。若 g（x 0）=a 是 g（x）的极值，则 fg（x）在 x0 取极大值的一个充分条件是（ ）（A）f（a）0（B） f（a）0（C） f“（a）0（D）f“（a）05 设函数 f（x）连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是（ ）（A） 0xtf（t）一 f（一 t）dt（B） 0xtf（ t）+f（一 t） dt（C） 0xf（t 2）dt（D） 0xf（t） 2dt6 二元函数
3、f（x，y）在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ）7 设函数 f（u）连续，区域 D=（x，y）|x 2+ y22y，则 f（xy） dxdy 等于（ ）（A）（B）（C） 0d02sinf（r 2sincos） dr（D） 0d02sinf（r 2sincos） rdr8 已知 （一 1） n1an=2， a2n1=5，则 an 等于（ ）（A）3（B） 7（C） 8（D）99 已知，y 1=x，y 2=x2，y 3=ex 为方程 y“+p（x）y+q（x）y=f （x）的三个特解，则该方程的通解为（ ）（A）y=C 1x+C2x2+ex（B） y=C1x2+C2ex+x（C） Y=C1
4、（x 一 x2）+C 2（x 一 ex）+x（D）y=C 1（x 一 x2）+C 2（x 2 一 ex）二、填空题10 11 g（x）为奇函数且在 x=0 处可导，则 f（0）=_。12 曲线 tan（x+y+ ）= e y 在点（0，0）处的切线方程为_。13 若曲线 y=x3+ax2+bx+1 有拐点（1，0），则 b=_。14 15 16 设 f（x，y）= 在点（0，0）处连续，则 a=_。17 设 z= +y（x+y），f， 具有二阶连续导数，则 =_。18 设函数 z=f（x，y）（xy0）满足 = y2（x 21），则 dz=_。19 已知幂级数 anxn 在 x=1 处条件收敛
5、，则幂级数 an（x 一 1） n 的收敛半径为_。20 微分方程 y+y=excosx 满足条件 y（0）=0 的特解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 求极限22 设函数 y= y（x）由方程 ylny x +y=0 确定，试判断曲线 y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性。23 己知函数 f（x）在0 ，1上连续，在（0，1）内可导，且 f（0）=0，f （1）=1。证明：（）存在 （0，1），使得 f（）=1 一 ；（）存在两个不同的点 ， （0，1），使得 f（）f （）=1。24 设函数 f（x）在0 ，上连续，且 0f（x）dx= 0f（x）cosxdx
6、=0 。试证明：在（0，）内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f（ 1）=f （ 2）=0。25 设函数 f（u）具有二阶连续导数，而 z= f（e xsin y）满足方程 =e2xz，求 f（u ）。26 计算二重积分 其中 D=（r， ）|0rsec，0。27 设函数 f（x）在区间0，1上连续，且 01f（x）dx=A，求 01dxx1f（x）f（y）dy。28 求幂级数 的收敛域及和函数 S（x）。29 已知函数 f（x）满足方程 f“（x）+f（x）一 2f（x）=0 及 f“（x）+f （x）=2ex。 （）求 f（x）的表达式； （）求曲线 y=f（x 2） 0xf（一 t2）
7、dt 的拐点。考研数学三（微积分）模拟试卷 143 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 此类问题要逐一进行分析，按无穷小阶的定义：关于：故xa 时，f（x）g（x）是 xa 的 n+m 阶无穷小；关于：若 nm，故 xa 时，f（x）/g（x）是 xa 的 nm 阶无穷小；关于：例如，x0 时，sinx 与x 均是 x 的一阶无穷小，但 即 sinx+（x）是 x 的三阶无穷小。因此， 正确， 错误。故选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 设 g（x）=x 2+x2，（x）=|sin2x|，显然 g（
8、x）处处可导，（ x）处处连续，有不可导点。形如 f（x）=g （x ）|（x）|，其中 g（x）在 x0 的某邻域内连续，（x）在 x=x0 处可导，则 f（x）在 x0 处可导 g（x 0）=0。根据上述结论，只须验证 （x）在不可导点处 g（x）是否为零。（x）=|sin2x|的图形如图 123 所示，在 内只有不可导点 x=0， ，1，其余均可导。因为 g（0）=20 ， 0，g（1）=0 ，所以 f（x）=g（x）p （x）在 x=0， 处不可导，在 x=1 可导，其余点均可导。故选 B。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 故选A。【知识模块】 微积分4 【正确答案
9、】 B【试题解析】 fg（x）=fg（x）g（x），fg（x）“=fg（x）g（x）=f“g（x） g （x） 2+fg（x）g“（x）， 由于 g（x 0）=a 是g（x）的极值，所以 g（x 0）=0。 所以fg（x 0）“=fg（x 0）g“（x 0）=f（a）g“（x 0），由于 g“（x 0）0，要使fg（x）“0，必须有 f（a）0。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 取 f（x）=x，则相应的 0xtf（t）一 f（一 t）dt=0x2t2dt= x3， 0xf（t 2）dt= t 2dt= x3， 0xf（t） 2dt=0xt2dt= x3，均为奇函数，故不选
10、 A、C、D。应选 B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 按可微性定义，f（x，y）在（0，0）处可微题中的C 项即 A=B =0 的情形。故选 C。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 积分区域 D=（x，y）|x 2+y22y（如图 143）。在直角坐标系下， 故排除 A、B 两个选项。在极坐标系下f（xy）dxdy= 0d02sinf（r 2 sincos） rdr ，因此正确答案为 D。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 （一 1） n1an=252=8，故选 C。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 方程 f“+p
11、(x)y+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x-x 2)和(x一 ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为 y=C1(x 一 x2)+C2(x-ex)+x，故选 C。【知识模块】 微积分二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 将分子化简后，应用等价无穷小因子代换。易知【知识模块】 微积分11 【正确答案】 2g（0）【试题解析】 由 g（x）在 x=0 处可导可知，g（x）在 x=0 处连续。又因为 g（x）是奇函数，所以 g（0） =0。根据导数的定义可得【知识模块】 微积分12 【正确答案】 y=2x【试题解析】 方程两边对 x 求导，可得 sec2（
12、x+y+ ）（1+y ）=e yy ，因此，点（0，0）处的切线方程为 y0=（2）（x0），即 y= 2x。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 3【试题解析】 本题考查已知拐点坐标来确定曲线方程中的一个参数。已知y=x3+ax2+bx+1，则 y=3x2+ 2ax+b，y“= 6x+2a。令 y“=0，得 x= =1，所以a=3。又因为曲线过点（一 1，0），代入曲线方程，得 b=3。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 4【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 0【试题解析】 因为 利用夹逼定理知，=0。又知
13、f（0，0）=a，则 a=0。【知识模块】 微积分17 【正确答案】 yf“ （xy ）+（x+y）+y“（x+y）【试题解析】 由题干可得：【知识模块】 微积分18 【正确答案】 （2x y）dx xdy【试题解析】 利用变量替换，设 xy =u， =，则有即 f（x，y）=x 2 一 xy，因此dz=（2x y）dx xdy。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 1【试题解析】 由题干已知幂级数 anxn 在 x=1 处条件收敛，那么 x=1 为该幂级数收敛区间的端点，其收敛半径为 1，因此幂级数 an（x 一 1） n 收敛半径也为 1。【知识模块】 微积分20 【正确答案】 y=e
14、xsinx【试题解析】 原方程的通解为 y=e 1dx（e xcosxe 1dxdx+C）=e x（cosxdx+C）=ex（sinx+C）。 由 y（ 0）=0 得 C=0，故所求解为 y=exsinx。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 要判断曲线 y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性，只需判断y“（ x）在点（1，1）附近的正负。在方程 ylny x +y=0 两边对 x 求导得ylny+y1+y=0，上式两边对 x 求导得 y“lny+ （y ） 2+2y“=0，解得 y“=显然（y） 20
15、，在点（1，1）附近，可选择一个合适的范围，如ye 2，使得 y（2+lny ） 0，则在点（1，1）附近有 y“0，所以曲线 y=y（x）在点（1，1）附近是凸的。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 （）令 F（x）=f （x）1 +x ，则 F（x）在0，1上连续，且F（0） =10，F（1）=10，于是由零点定理知，存在 （0，1），使得F（） =0，即 f（）=1 。（）在0， 和，1上对 f（）分别应用拉格朗日中值定理知，存在两个不同的点 （0，），（，1），使得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 令 F（x ）= 0xf（t）dt，0x，则有 F（0）=0，F（）=0。又因
16、为 0= 0f（x）cosxdx = 0cosxdF（x）= F（x）cosx| 0+0F（x）sinxdx = 0F（x）sinxdx， 所以存在 （0，），使 F（）sin=0，不然，则在（0，）内 F（x）sinx 恒为正或恒为负，与 0F（x）sinxdx=0 矛盾，但当 （0， ）时 sin0，故F（） =0。 由以上证得，存在满足 0 的 ，使得 F（0）=F （）=F（）=0。 再对 F（x）在区间0， ，上分别应用罗尔定理知，至少存在1（0，）， 2（，）， 使得 F（ 1）=F（ 2）=0，即 f（ 1）=f（ 2）=0。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由题意 = f
17、（u）e xsiny， = f（u）e xcos y， = f（u）e xsin y+f“（ u）e 2xsin2y， = f（u） e xsin y+f “（u） e 2xcos2y，代入方程=e2xz 中，得到 f“（u）f（u）=0 ，解得 f（u）=C 1eu+C2eu，其中C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 将极坐标转化为直角坐标，可得积分区域如图 14 17 所示。D=（x，y）|0x1，0yx，利用换元法，记 x= sint，则上式【知识模块】 微积分27 【正确答案】 应用分部积分法。 01dx01f（y）dy= 01（ x1f（y）dy）f（x）
18、dx=01（ x1f（y）dy）d（ 1xf（t）dt）=A 2 一 01（ x1f（t）dt）d（ x1f（y）dy）【知识模块】 微积分28 【正确答案】 记 un（x）= ，则所以当|x| 21 时，即|x|1 时，所给幂级数收敛；当|x|1 时，所给幂级数发散；当 x=1 时，所给幂级数为均收敛。故所给幂级数的收敛域为一 1，1。在（一1，1）内，又S1（0） =0，于是 S1（x）=arctanx。同理 S1（x）一 S1（0）= 0xS1（t ）dt=S0xarctantdt 又 S1（0）=0，所以 S1（x） =xarctanx ln（1+x 2）。故 S（x）=2x 2arc
19、tanxxln（1+x 2），x（一 1，1 ）。由于所给幂级数在 x=1 处都收敛，且 S（x）在 x=1 处都连续，所以 S（x）在 x=1 成立，即 S（x）=2x 2arctanxxln（1+x 2），x一 1，1。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 （）齐次微分方程 f“（x）+f（ x）一 2f（x）=0 的特征方程为r2+r 一 2=0，特征根为 r1=1，r 2=一 2，因此该齐次微分方程的通解为 f（x）=C1ex+C2e2x。再由 f“（ x）+f（x）=2e x 得 2C1ex 一 3C2e2x=2ex，因此可知C1=1，C 2=0。所以 f（x）的表达式为 f（x）=e x。（）曲线方程为 y=ex20xet2dt，则 令 y“=0 得 x=0。下面证明 x=0 是 y“=0 唯一的解，当 x0 时，2x0， 2（1+2x 2）e x20xet2dt0，可得y“ 0；当 x 0 时， 可得 y“0。可知 z=0 是y“=0 唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线 y=f（x 2） 0xf（t 2）dt 在 x=0 左、右两边的凹凸性相反，因此（0，0）点是曲线 y=f（x 2） 0xf（一 t2）dt 唯一的拐点。【知识模块】 微积分
