1、考研数学三（微积分）模拟试卷 162 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设幂级数 的收敛半径分别为 R1,R2,且 R1R 2，设 (anb n)x1 的收敛半径为 R0，则有 ( )（A）R 1R 2（B） R0R 1（C） R0R 2（D）R 0R 22 在曲线 y(x1) 2 上的点(2，1) 处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0) ，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( )3 设 f(x)x 31g(x) ，其中 g(x)连续，则 g(1)0 是 f(x)在 x1 处可导的( )（A）充分条件（B）
2、必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件二、填空题4 _5 yx sin2(2x1) ，则 y_ 6 _7 z f(xy)yg(x 2y 2)，其中 f，g 二阶连续可导，则 _8 设 f(x) ，则 f(n)(0)_9 差分方程 yx1 y xx2 x 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 12 13 设 f(x) ，求 f(x)的间断点，并判断其类型14 证明曲线 上任一点的切线的横截距与纵截距之和为 215 证明：当 x0 时，x 2(1x)ln 2(1x) 16 设 0a 1，证明：方程 arctanxax 在(0，)内有且仅有一个实根17
3、 求 18 求 02sinxcosx dx 19 计算 20 求曲线 y3x 21与 x 轴围成的封闭图形绕 y3 旋转所得的旋转体的体积21 设 uf(z) ，其中 z 是由 zyx(z)确定的 x， y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明： 22 求 I dxdy，其中 D(x，y)x 2y 21，x0，y023 判断级数 的敛散性24 求幂级数 的和函数 S(x)及其极值25 求微分方程 yy6y0 的通解考研数学三（微积分）模拟试卷 162 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 选(B)【知识模块】 微积分
4、2 【正确答案】 D【试题解析】 过曲线 y(x1) 2 上点(2，1) 的法线方程为 y x2，该法线与x 轴的交点为(4，0) ，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为 ，选(D)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 设 g(1)0，f (1) (x2x1)g(x)0，f (1) (x2x1)g(x)0，因为 f (1)f (1)0，所以 f(x)在 x1 处可导设 f(x)在 x1 处可导，f (1) (x2x1)g(x)3g(1)，f (1) (x2x1)g(x)3g(1)，因为f (1)f (1)0，所以 g(1)0，故 g
5、(1)0 为 f(x)在 x1 处可导，选(C)【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 lny sin 2(2n1)lnz， 2sin(4x 2)lnx ，则 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 f(xy)y 2f(xy)2xg(x 2y 2)4xy 2g(x2y 2)【试题解析】 f(xy) 2xyg(x2y 2)， f(xy)y 2f(xy)2xg(x 2y 2)4xy 2g(x2y 2)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9
6、 【正确答案】 yC(x2)2 x【试题解析】 y x1 y x0 的通解为 yC(1) xC，令 yx1 y xx2 x 的特解为y0(ax b)2 x， 代入原方程得 y0(x2)2 x，原方程的通解为 yC (x2)2 x【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 显然 x0，x1 为 f(x)的间断点f(00) ，因为 f(00)f(00) ，所以 x0 为 f(x)的跳跃间断点f(10) ，因为 f(10)f(10)，所
7、以 x1 为 f(x)的跳跃间断点【知识模块】 微积分14 【正确答案】 对 两边关于 x 求导得 ，切线方程为 Yy (Xx)，令 Y0 得 Xx ；令 X0 得 Yy ，则XYx2 y 2【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 f(x)x 2(1 x)ln 2(1x)，f(0)0；f(x)2xln 2(1x)2ln(1x) ， f(0)0；f(x)2 0(x0) 得 f(x)0(x0)； 得 f(x)0(x 0)，即 x2(1x)ln 2(1x)(x0)【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 f(x)arctanxax，由 f(x) ，由 f(x) 为 f(x)的最大点，由 f(x
8、)，f(0)0 得方程 arctanxax 在(0，) 内有且仅有唯一实根，位于( ，) 内【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 取x，xdx 0，1 ，dv 13 2(x 21) 2dx(82x 2x 4)dx，V 2 01dv1 01(82x 2x 4)dx，x，xdx 1，2，dv 23 2(1x 2)2dx(82x 2x 4)dx，V 2 12dv2 12(82x 2x 4)dx，则所求体积为V2(V 1V 2)2 02(82x 2x 4)dx 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由对称性得【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 令 S(x)1 1 ln(1x)(1x1)令 S(x)0，得唯一驻点 x0，当 x0 时，S(x)0，当 x0 时，S(x)0，则x0 为 S(x)的极大值点，极大值为 S(0)1【知识模块】 微积分25 【正确答案】 特征方程为 2 60，特征值为 12, 23，则原方程的通解为 yC 1e2x C 2e3x【知识模块】 微积分
