1、考研数学三（微积分）模拟试卷 46 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数，则下列函数( 假设都有意义 )中，是奇函数的是( )（A）f(x)（B） f(f(x)（C） (f(x)（D）(x)2 设 则 f(一 x)等于( )3 函数 f(x)一 xsin x ( )（A）在(一 ，+)内无界（B）在 (一，+)内有界（C）当 x 时为无穷大（D）当 x时极限存在4 设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（A）设当 xx 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小（B）设当 x
2、x 0 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小（C）设在 x=x0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x) 必是无穷大（D）设在 x=x0 的某邻域 g(x)有界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大5 设当 x0 时，e tan x 一 ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n 为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设当 x0 时，f(x)=ln(1+x 2)一 ln(1+sin2x)是 x 的 n 阶无穷小，则正整数 n 等于 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设 f(x)= ，则 f(x)有 ( )（A）1 个可去间
3、断点，1 个跳跃间断点（B） 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点（C） 2 个可去间断点（D）2 个无穷间断点二、填空题8 = _ 9 = _ 10 极限 = _ 11 当 x0 时，若有 ，则 A= _ ，k= _ 12 若 是(-，+) 上的连续函数，则 a= _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 求 fg(x)14 求极限15 求极限16 求极限17 求极限18 设 f(x)是三次多项式，且有19 确定常数 a 和 b 的值，使20 已知 =D0求常数 A，B，C，D21 设 a1=2，a n+1= 存在并求其极限值22 分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之
4、；若不正确，试说明它们之间的关系?23 利用夹逼准则证明：24 设 a0， x10，x n+1=25 求函数 的间断点并指出其类型26 设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0，F(x)= 0xtn-1f(xn 一 tn)dt，求 27 求 的连续区间、间断点并判别其类型28 设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=xsin x，其他的 x 满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k 使极限 存在考研数学三（微积分）模拟试卷 46 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 令 g(x)=(x)，注意 (x)是奇函数
5、，有 g(-x)一 (一 x)=(一(x)=-(x)=-g(x)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 对于任意给定的正数 M，总存在着点，故 f(x)在(一，+)内无界(C) 错，对于任意给定的正数 M，无论 x 取多么大的正数，总有,xn=|2n|x(只要|n| )，使 f(x)=xnsin xn0M，故当 x时 f(x)不是无穷大千万不要将无穷大与无界混为一谈【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 设 ，当 x0 时为无界变量，不是无穷大。令 g(x)=x，当 x0 时为无穷小，可排除(A)。设 x0 时，
6、令 f(x)=x2，g(x)= 可排除(B)，(C)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 因此，n=4【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 x=0 和 x=1 为 f(x)的间断点，其余点连续则x=0 为可去间断点因 x1 时，ln x=n(1+x 一 1)x 一 1，则 x=1 为跳跃间断点，答案选择(A) 【知识模块】 微积分二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确
7、答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 本题同样考查分段函数的复合方法下面用解析法求解首先，广义化为 由 g(x)的表达式知，(1)当 g(x)0，即2e 2 一 10x0或x 2 一 10x0 ，而 2e x 一 10z0=x一 ln 2x0=x一 ln 2， x 2 一 10x0=一 1x1x0=0 x1 (2)当g(x)0，即2e x 一 10x0 或x 2 一 10x0，而 2e x 一 10x0=x一 ln 2x0)=一 ln 2x0，x 2 一 10x 0
8、)=x 1 或 x一 1x 0)=x 1综上，得【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 不正确初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函
9、数，也可能不是初等函数，如 (x)=|x|，通常写成分段函数的形式但也可以写成一个表达式 ，所以函数 (x)=|x|是初等函数而 则不是初等函数【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 显然 f(0)无意义则 x=1 为跳跃间断点 由于 f(x)是偶函数，则 x=-1 也是跳跃间断点【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 f(x)无定义的点是使 1 一 x=0 和 1 一 =0 的点，即 x=1 和x=0，所以 f(x)的连续区间为(一，0) (0，1) (1，+)当 x0 时，1 一0，所以 =，所以 x=0 是无穷间断点1，所以 f(1+)=1所以 x=1 是跳跃间断点【知识模块】 微积分28 【正确答案】 因求“0 0”型未定式极限的常用方法是将该类幂指数函数 u(x)(x)化为复合函数 e(x)lnu(x)，故 其中，通过等价无穷小替换与洛必达法则求得：根据题设的关系式 f(x)=2f(x+1)一 k，得， 由上述结果 f(x)在x=0 处右极限 f(0+)=1；而其左极限 由于极限 是存在的，故 2 一 k=f(0-)=f(0+)=1，则常数 k=1【知识模块】 微积分
