1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 是任意两个事件，且 A B，P(B)0，则必有 ( )（A）P(A)P(A|B)（B） P(A)P(A|B)（C） P(A)P(A|B)（D）P(A)P(A|B)2 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)是正态分布 N(0， 2)的密度函数，f 2(x)是参数为 的指数分布的密度函数，已知，则 ( )3 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 12)，Y N(0 ， 12)，则概率 P|X-
2、Y|1 ( )（A）随 1 与 2 的减少而减少（B）随 1 与 2 的增加而增加（C）随 1 的增加而减少，随 2 的减少而增加（D）随 1 的增加而增加，随 2 的减少而减少4 设 X 是随机变量，EX0 且 E(X2)=07，DX=02，则以下各式成立的是 ( )5 设 X1，X 2，X n 是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，则统计量服从 ( )（A）Y 2(n-1)（B） Yt(n-1)（C） YF(n，1)（D）YF(1，n-1)二、填空题6 设事件 A，B，C 两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则P(A B C)的最大值为 _ 7 设 X 服从参数为 的指数
3、分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 ，则 = _ 8 设二维随机变量的分布律为 则随机变量 Z=Y.min X，Y) 的分布律为_ 9 设(X，Y) 的概率密度为 则 Coy(X，Y)= _ 10 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量 U=X+2Y，V=-X 的协方差 Cov(U，V)为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装统计资料表明，每箱最多有 2 只残品，且含 0，1，2 件残品的箱各占 80，15，5。现在随意抽取一箱，随意检验其中 4 只；若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更
4、换。试求11 一次通过验收的概率；12 通过验收的箱中确实无残品的概率13 甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为04，05，07设飞机中一弹而被击落的概率为 02，中两弹而被击落的概率为 06，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率14 某考生想借张宇编著的张宇高等数学 18 讲，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率15 设昆虫产 k 个卵的概率为 ，又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率为p，若卵的孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有 L 条的概率是多
5、少?16 盒子中有 n 个球，其编号分别为 1，2，n，先从盒子中任取一个球，如果是 1 号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中；然后，再任取一个球，若第二次取到的是 k(1kn)号球，求第一次取到 1 号球的概率17 甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得 1 分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 (+=1)，比赛进行到一人比另一人多 2 分为止，多 2 分者最终获胜求甲、乙最终获胜的概率比赛是否有可能无限地一直进行下去?18 向半径为 r 的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离 X 的分布函数 F(x)，并求19 随机地取两个正数 x 和 y，这两个数中的每一个都不超过
6、1，试求 x 与 y 之和不超过 1，积不小于 009 的概率20 一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 ，以 x 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布20 设随机变量 X 的概率密度为 求：21 常数 A；22 使 PXa)=PXa成立的 a22 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=A+Barctan x，一x+C+求：23 系数 A 与 B；24 P一 1X1；25 X 的概率密度26 设随机变量 X 的概率密度为 求 X 的分布函数27 假设 G=(x，y)
7、|x 2+y2r2是以原点为圆心，半径为 r 的圆形区域，而随机变量 X和 Y 的联合分布是在圆 G 上的均匀分布。试确定随机变量 X 和 Y 的独立性和相关性考研数学三（概率统计）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 故选(A)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由 XN(0， 12)，YN(0， 22)且独立知 XYN(0 ， 12+22)，从而【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 因此本题
8、选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 因此本题选(B) 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 记 A=X2)，Y=“对 X 作三次独立重复观察 A 发生的次数”，YB(3，p)，p=Px 2)= 2+ e-xdx=e-2，由题意【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 Z 全部可能取值为 0，1，2，3，且【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 0【试题解析】 由于 D：0|y|x1 是由 y=一 x，y=x，x=1 三条线围成的，关于
9、 x轴对称，所以 故 Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY=0【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 设 Ai=抽取的一箱中含有 i 件次品)(i=0，1，2，则 A0，A 1，A 2构成完备事件组，且 P(A0)=08，P(A 1)=015，P(A 2)=005设 B=一次通过验收，则【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 由贝叶斯公式得【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 设 A=飞机被击落 ，B i=飞机中 i
10、 弹，i=1 ，2，3则 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =02P(B 1)+06P(B 2)+P(B3)设 Ci=第i 个人命中) ，i=1，2，3，则【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 设 A=该生能借到此书 ，B i=从第 i 馆借到)，i=1 ，2，3则P(B1)=P(B2)=P(B3)=P第 i 馆有此书且能借到)=于是【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 设 A=下一代有 L 条 ，B k=产 k 个卵，k=L，L+1，则【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 设 A=第一次取到 1 号球
11、，B=第二次取到 k 号球 ，C=第一次取到 k 号球，则有 (1)当 k=1 时，因为(2)当k1时，因为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设 A=甲最终获胜 ，B= 乙最终获胜 在前两次比赛中，若“ 甲连胜两个回合” ，记为 C1，则 P(A|C1)=1；若“乙连胜两个回合” ，记为 C2，则P(A|C2)=0；若“甲、乙各胜一个回合”，记为 C3，则前两个回合打平，从第三回合起，比赛相当于从头开始一样，所以 P(A|C3)=P(A)显然 P(C 1)=2，P(C 2)=2，P(C 3)=2，由全概率公式 P(A)=P(A|C 1)P(C1)+P(A|C2)P(C2)+P(
12、A|C3)P(C3) =2+0+2P(A)得 P(A)= 同理有 PB=P(B|C1)P(C1)+P(B|C2)P(C2)+P(B|C3)P(C3) =0+2+2PB，所以以概率为 1 地相信：比赛不会无限地一直进行下去，或甲最终获胜，或乙最终获胜【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 如图 36，【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 如图 37 所示，有【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 PX=0)=P第一个路口即为红灯)= PX=1=P第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)= 以此类推，得 X 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与
13、数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由分布函数的性质【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 X 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 f(x)的图形如图 38 所示，则 X 的分布函数为 F(x)= -x f(u)du【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 (1)X 和 Y 的联合密度为 那么，X 的密度函数 f1(x)和 y 的密度函数 f2(y)相应为由于 f(x，y)f 1(x)f2(y)，可见随机变量 X 和 Y 不独立 (2)证明 X 和 Y 不相关，即X 和 Y 的相关系数 =0于是，X 和 Y 的相关系数 =0这样，X 和 Y 虽然不相关，但是不独立【知识模块】 概率论与数理统计
