1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 P(B)0，A 1，A 2 互不相容，则下列各式中不一定正确的是 ( )（A）P(A 1A2|B)=0（B） P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)（C）（D）2 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，则 ( )（A）(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量（B） Z=X+Y 是服从均匀分布的随机变量（C） Z=XY 是服从均匀分布的随机变量（D）Z=X 2 是服从均匀分布的随机变量3 设随机向量(X，y) 的概率密度 f(x，y)满足 f(
2、x，y)=f(一 x，y)，且 XY 存在，则XY=( )（A）1（B） 0（C） -1（D）-1 或 14 设 X1，X 2，X n(01)是来自总体 N(0，1)的简单随机样本，记则 ( )5 设 X1，X 2，X 8 是来自总体 N(2，1)的简单随机样本，则统计量服从 ( )（A） 2(2)（B） 2(3)（C） t(2)（D）t(3)二、填空题6 设两个相互独立的事件 A 与 B 至少有一个发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 P(A)=_ 7 设对于事件 A，B，C 有 P(A)=P(B)=P(C)= ，P(AB)=P(BC)=0，P(A
3、C)=，则 A，B，C 三个事件至少出现一个的概率为_8 设二维随机变量(X，Y)在 上服从均匀分布，则条件概率 =_9 设随机变量 X1，X 2，X 100 独立同分布，且EXi=0，DX i=10，i=1 ，2，100，令10 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(0 ，3)，Y N(0 ，4) ，相关系数 XY= ，则(X，Y)的概率密度 f(x，y)为_11 设 X1，X 2，X 3 是来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，记 U=X1+X2 与V=X2+X3，则(U，V)的概率密度为_ 12 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 XN(， 2)的样本，则统
4、计量服从的分布是 _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 袋中有 5 只白球 6 只黑球，从袋中一次取出 3 个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率14 一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i 个零件是不合格品的概率(i=1，2，3)，以 X 表示三个零件中合格品的个数，求 X 的分布律15 设二次方程 x2 一 Xx+Y=0 的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求 X 与 y 的概率密度16 设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布，证明：Z=X+Y 服从参数为 2n， p 的二项分布17 设 X，Y 相互独
5、立同分布，均服从几何分布 PX=k=qk-1p，k=1，2，求E(maxX，Y)18 设 X 为随机变量，E|X| r(r0)存在，试证明：对任意 0 有19 设总体服从 U0， ，X 1，X 2，X n 为总体的样本，证明： 为 的一致估计20 独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为 p，假设前5 次试验每次的试验费用为 10 元，从第 6 次起每次的试验费用为 5 元试求这项试验的总费用的期望值 a20 将 n 个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入” 舍去小数位后化为整数。试利用中心极限定理估计：21 试当 n=1 500 时求舍位误差之和的绝对值大于 15 的
6、概率；22 估计数据个数 n 满足何条件时，以不小于 90的概率，使舍位误差之和的绝对值小于 10 的数据个数规23 设 X 是任一非负(离散型或连续型)随机变量，已知 的数学期望存在，而0 是任意实数，证明：不等式24 设事件 A 出现的概率为 p=05，试利用切比雪夫不等式，估计在 1 000 次独立重复试验中事件 A 出现的次数在 450 到 550 次之间的概率 24 设来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n，总体 X 的概率分布为其中 001分别以 1， 1 表示X1，X 2，X n 中 1，2 出现的次数，试求25 未知参数 的最大似然估计量；26 未知参数 的矩估计量
7、；27 当样本值为 1，1，2，1，3，2 时的最大似然估计值和矩估计值28 假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为 R(未知常数)现在按还原抽样方式随意抽取的 n 件中发现 k 件不合格品试求 R 的最大似然估计值考研数学三（概率统计）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 A1A2= ，得 P(A1A2)=0，于是P(A1 A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)一P(A1A2|B) =P(A1|B)+P(A2|B)，(B)正确；=1 一 P(A1|B)一 P(A2|B)1，(C) 错误； =1 一
8、P(A1A2|B)=10=1，(D)正确。故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 当 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布时，(X，y)的概率密度为 所以，(X，y)是服从均匀分布的二维随机变量因此本题选(A)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 =-+ ydy-+ (一 t)f(t，y)dt=一 -+ydy-+ xf(x，y)dx= 一 E(XY)，所以 E(XY)=0 同理，EX=-+ x-+ f(x，y)dy dx=0，所以 XY=0 同理，当 f(x，y)=f(x ，一 y)时，XY=0【知识模块】 概率论与数理统
9、计4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 1【试题解析】 G 如图 34 的OAB，它的面积 ，所以(X，Y) 的概率密度为由于关于 Y 的边缘概率密度【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 990【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析
10、】 由(X 1，X 2，X 3)服从三维正态分布知，X 1，X 2，X 3 的线性函数组成的二维随机变量(U，V) 也服从二维正态分布，记为 N(1， 2， 12， 22，)，其中 1=EU=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=0， 12=DU=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=22， 2=EV=E(X2X3)=E(X2)一 E(X3)=0， 22=DV=D(X2 一 X3)=D(X2)+D(X3)=22，【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 t(2)【试题解析】 因为 XN(， 2)，所以 X3 一 X4N(0 ，2 2)，【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解
11、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 设 A=发现是同一颜色)，B=全是白色)，C=全是黑色 ，则 A=B+C，所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 设 A=第 i 个零件是合格品)，i=1，2，3，则【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 设二次方程的两个根为 X1，X 2，则它们的概率密度都为记 X 的概率密度为 fX(x)，则由 X=X1+X2 得 fX(x)=-+f(t)f(x 一 t)dt，当 y0 或 y4 时，f Y(y)=0；当 0y4 时，【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 故Z=X+Y 服从参数为 2n， p
12、 的二项分布【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 若 X 为离散型，其概率分布为 PX=xi)=pi， i=1，2 0，则若 X 为连续型，其概率密度为 f(x)，则【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 以 X 表示试验的总次数，首先求 X 的概率分布设 Ak=第 k 次试验成功)(k=1，2，) ，则 P(Ak)=p，X 的概率分布为其中 q=1 一 p，于是试验的总次数 X 服从参数为 p 的几何分布 现在求试验的总费用的期望值 a由条件知，试验的总费用为例如，设 p
13、=08，q=0 2，得 a=12498 元；设 p=q=05，得 a=19687 5 元；设 p=02，q=08，得 a=41808 元；设 p=01，q=0 9，得 a=704755 元【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设 X 是第 i 个数据的舍位误差，由条件可以认为 Xi 独立且都在区间一 05，05 上服从均匀分布，从而 E(Xi)=0，D(X i)=112记 Sn=X1+X2+Xn 为 n 个数据的舍位误差之和，则 E(Sn)=0，D(S n)=n12根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时 Sn 近似服从 N(0，n12)记 (
14、x)为N(0，1)的分布函数。【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 数据个数 n 应满足条件：于是，当n721 时，才能使误差之和的绝对值小于 10 的概率不小于 90【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 (1)设 X 是离散型随机变量，其一切可能值为 xi)，则(2)设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，则【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设 n 是 1 000 次独立重复试验中事件 A 出现的次数，则 nB(1 000，05) ， EX=1 00005=500，DX=1 00005 2=250利用切比雪夫不等式，知【知识模块】 概率论与数
15、理统计【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 求参数 的最大似然估计量，样本 X1，X 2，X n 中 1，2 和 3出现的次数分别为 1， 2 和 n 一 1 一 2，则似然函数和似然方程为 L()= 212(1一 )2(1 一 )2(n-1-2)=2221+2(1 一 )2n-1-2， ln L()=ln 2 2+(21+2)ln+(2n21 一 2)ln(1一 )， 似然方程的唯一解就是参数 的最大似然估计量【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 求参数 的矩估计量，总体 X 的数学期望为 EX= 2+4(1)+3(1一 )2在上式中用样本均值 估计数学期望 EX，可得 的矩估计量【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 对于样本值 1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 设 a 是这批产品中不合格品的件数，6 是合格品的件数从而，a=Rb，合格品率为 设 X 是随意抽取的一件产品中不合格品的件数，则 X 服从参数为 p 的 0 一 1 分布，对于来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n，记 n=X1+X2+Xn，则似然函数和似然方程为由条件知n=X1，X 2，X n=k，于是似然方程的唯一解 即是 R 的最大似然估计值【知识模块】 概率论与数理统计
