1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若二事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)=0，则（A）A 和 B 不相容(互斥)（B） AB 是不可能事件（C） AB 未必是不可能事件（D）P(A)=0 或 P(B)=02 以 A 表示事件“ 甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则其对立事件 A 为：（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”（B） “甲、乙两种产品均畅销”（C） “甲种产品滞销”（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”3 设 A、B 为二随机事件，且 B A，则下列式子正确的是（A）P(A+B)=P(A)（B） P
2、(AB)=P(A)（C） P(B|A)=P(B)（D）P(BA)=P(B)一 P(A)4 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：（A）（B）（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)=P(A)5 设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则（A）P(C)P(A)+P(B)一 1（B） P(C)P(A)+P(B)一 1（C） P(C)=P(AB)（D）P(C)=P(A B)6 设 0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+ =1，则事件 A 和 B（A）互不相容（B）互相对立（C）不独立（D）独立7 已知 0P(B)1， 且 P(A1+
3、A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)，则下列选项成立的是（A）（B） P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)（C） P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B)（D）P(B)=P(A 1)P(B|A1)+P(A1)P(B|A2)8 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电。以 E 表示事件“电炉断电”，而 T(1)T(2)T(3)T(4)为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（A）T (1)t0（B） T(2)t0)（C） T(3)t0)（D）T (4)t09 某人
4、向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为（A）3p(1 一 p)2（B） 6p(1 一 p)2（C） 3p2(1p)2（D）6p 2(1 一 p)210 设事件 A 与事件 B 互不相容，则（A）（B） P(AB)=P(A)P(B)（C） P(A)=1 一 P(B)（D）11 设随机事件 A 与 B 相互独立。且 P(B)=05，P(AB)=03，则 P(BA)=（A）01（B） 02（C） 03（D）0412 若 A，B 为任意两个随机事件，则（A）P(AB)P(A)P(B)（B） P(AB)P(A)P(B)（C）（D
5、）二、填空题12 设 P(A)=04，P(AB)=07，那么13 若 A 与 B 互不相容，则 P(B)=_；14 若 A 与 B 相互独立，则 P(B)=_。15 一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，若至少命中一次的概率为 ，则该射手的命中率为_。16 将 C，C ， E，E，I，N，S 这七个字母随机地排成一行，则恰好排成 SCIENCE的概率为_。17 在区间(0 ，1) 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为_。18 设 A，B，C 是随机事件， A 与 C 互不相容，_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件
6、，其中 10 件一等品；第二箱内装 30 件，其中 18 件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回) 。试求(1)先取出的零件是一等品的概率 p；(2)在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率 q。20 若事件 A，B，C 满足等式 AC=BC，则_ 。21 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为08，01 和 01一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看 4 只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：(1)顾客买此箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买的此箱玻璃杯中，
7、确实没有残次品的概率。22 从 0，1，2，9 等 10 个数字中任意选出 3 个不同的数字，求下列事件的概率： A 1=三个数字中不含 0 和 5；A 2=三个数字中不含 0 或 5。22 某厂家生产的每台仪器，以概率 07 可以直接出厂，以概率 03 需进一步调试，经调试后以概率 08 可以出厂，以概率 02 定为不合格产品不能出厂，现该厂新生产了 n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求23 全部能出厂的概率 ；24 恰有两台不能出厂的概率 ；25 至少有两台不能出厂的概率 26 考虑一元二次方程 x2+Bx+C=0，其中 B、C 分别是将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求
8、该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q。27 设有来自三个地区的各 10 各、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份(1)求先抽到的一份是女生表的概率 p；(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q。28 设 A，B，C 为事件，用它们来表示下列事件：(1)仅 A 发生；(2)A，B ，C 不都发生；(3)A，B ，C 都不发生；(4)A，B ，C 恰一个发生。考研数学三（概率统计）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答
9、案】 C【试题解析】 由 P(AB)=0 不能推出 AB= 的结论，故(A)、(B)均排除。而(D)明显不对，应选(C) 。【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 若记 B=甲种产品畅销 ，C=(乙种产品滞销 ，则有 A=BC。=甲种产品滞销 )乙种产品畅销)。而“或”与“”是一个意思，故选(D)。【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 A B， A+B=A，故选(A)。【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 AB= ， AB=A，故选(D)。【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 AB C，而 P
10、(A)+P(B)一 P(AB)=P(AB)1，故 P(C)P(AB)P(A)+P(B)一 1。【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 化简得 P(AB)=P(A)P(B)，选(D)。【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 由已知得 ，化简得(B)。【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 故选(C)。【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 P第 4 次射击恰好第 2 次命中目标)=P前 3 次射击恰中 1 枪，第 4次射击命中目标 =P前 3 次射击恰中 1 枪)P 第 4 次射击命中目标)=C 31p(1-
11、p)2p=3p 2(1-p)2【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 由已知知【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 B【试题解析】 A 与 B 独立， P(AB)=P(A)P(B)。故 03=P(AB)=P(A)一 P(AB)=P(A)一 P(A)P(1B)=P(A)1 一 P(B)=P(A)(105)=0 5(P(A)得P(BA)=P(B)一 P(AB)=P(B)一 P(A)P(B)=05060 5=02【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 C【试题解析】 得 P(AB)P(A)，P(AB)P(B)，两式相加即得：【知识模块】 概率与数理统计二、填
12、空题【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 03【试题解析】 由 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)若 A、B 互不相容，则AB= ，P(AB)=0，代入上式得 07=04+P(B)一 0，故 P(B)=03【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 05【试题解析】 若 A、B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)，代入得07=0 4+P(B)一 04P(B)，故 P(B)=05。【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 设该射手的命中率为 p，则 4 次射击(独立重复) 中命中 k 次的概率为C44pk(1 一 p)4-k。由题意 =P(他至
13、少命中一次)=1 一 P(他命中 0 次)=1 一 C40p4-0(1一 p)4-0=1 一(1 一 p)4 解得【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 这 7 个字母排一行共有 7!种排法(第 1 位置有 7 种放法，第 2 位置有6 种放法，余类推，用乘法原则)，这是总样本点个数。而在有利场合下，第 1 位置有 1 种放法(1 个 S)，第 2 位置有 2 种放法(2 个 C 中选 1 个)，同理，第 3 位置有1 种放法(1 个 I)，第 4 位置有 2 种放法(2 个 E 中选 1 个)，后边都是 1 种选法(即使是 C 或 E，只剩 1 个了)，故有 12121
14、11=4 种放法，这是有利样本点个数。故所求概率为【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 设这两个数分别为 x，y，则二维点(x，y)可能取的点为图 43 中的正方形内部(面积为 1)，而符合要求(即题中“两数之差的绝对值【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 记 A=(取的是第 1 箱)，B 1=从该箱中先取出的是一等品，B2=从该箱后取出的是一等品。【试题解析】 本题主要考查全概率公式。引记号时，注意避免用诸如“A=取的是第 1 箱中的一等品”(2
15、个事件用 1 个字母表示) 、“B=取一个箱子”(不是随机事件)这类说法。解中 P(B1B2|A)= 可以从 P(B1B2|A)=P(B2|AB1)P(B1|A)这种推广的乘法公式得到，也可直接用古典概型求出(后者更简便些)。【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 AB【试题解析】 例如取 =1，2，3，A=1，2，B=2，3，C=。则AC=BC=，但 AB。【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 记 B=(顾客买下此箱玻璃杯)，A i=售货员取的是含 i 只残次品的一箱玻璃杯)，i=0，1，2 由题意知：A 0、A 1、A 2 构成互不相容完备事件组，且P(A0)=08，P(
16、A 1)=P(A2)=01，P(B|A 0)=1(1)由全概率公式得：【试题解析】 本题主要考查全概率公式(以及贝叶斯公式)的应用。应注意 分清P(A0)、P(A 0B)、P(A 0|B)等的含义区别； 引记号时意思要明确； 贝叶斯公式可由全概率公式、乘法公式推出，不一定要专门去记去套。【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 记 B=三个数字中不含 0，C=三个数字中不含 5。则【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 设 A=(1 台仪器可直接出厂)，B=1 台仪器最终能出厂。则A B=07+0803=094 由贝努里概型的计算式(p=094)：=P
17、(n 台仪器能出厂)=C nnpn(1 一 p)n-n=094 n。【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 =P(恰有 n 一 2 台仪器能出厂)=C nnpn-2(1 一 p)2= 094 n-2006 2。【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 =1 一 P(n 台仪器全能出厂)一 P(恰 n 一 1 台仪器能出厂) =1 一Cnnpnn(1 一 p)n-nCnn-1pn-1(1 一 p)n-(n-1)=1094 n-1。094 n-1006。【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 方程 x2+Bx+C=0 的判别式 =B2 一 4C 则 P(方程有实根)=P(A0
18、)=P(B24C)P(方程有重根)=P(=0)=P(B 2=4C)而(B，C)可能取的值为(1，1)，(1，2)，(1 ，6) ， (2，1)，(2， 2)，(2，6)，(6，1)，(6，2)，(6，6)共有 36个基本结果(样本点) 。其中符合 B24C 的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1) ，(4，2)，(4，3)，(4，4) ，(5，i)，(6，i)(i=1，2，6) 共 19 个结果；符合 B2=4C的有(2 ，1) ， (4，4)两个结果，故 P(方程有实根)=【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 设 Ai=(取的是 i 区的报名表)。i=1，2，3B 1=(从中先抽到的是女生表)， B2=(从中后抽到的是女生表) 。由题意，A 1、A 2、A 3、为互不相容完备事件组，且【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 (1) (若只写个“A”表示“A 发生”，题目中的一个“ 仅”字含义为“B、C 不发生”)。【知识模块】 概率与数理统计
