1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 30 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。0 设 X，Y 的概率分布为 ，且P(XY=0)=11 求(X，Y) 的联合分布；2 X，Y 是否独立？2 设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0 p1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数3 求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；4 求(X，Y) 的概率分布4 袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1个，定义两个随机变量如下：就下列两种情况，求(X，Y)的联合分
2、布律：5 第一次抽取后放回；6 第一次抽取后不放回6 设(X，Y) 在区域 D:0x1，|y|x 内服从均匀分布7 求随机变量 X 的边缘密度函数；8 设 Z=2X+1，求 D(Z)8 设(X，Y) 的联合概率密度为f(x ，y)= 求：9 (X， Y)的边缘密度函数；10 Z=2X 一 Y 的密度函数10 随机变量(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)=11 求常数 A；12 求(x ，y) 落在区域 x2+y2 内的概率13 设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动，求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率
3、密度14 设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0 ，1)，求 Z=2X 一 Y+3 的密度14 设 X 在区间一 2，2 上服从均匀分布，令 Y=求：15 Y，Z 的联合分布律；16 D(Y+Z)17 设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为则在 Y=1 的条件下求随机变量 X 的条件概率分布17 设二维随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)=18 求 c；19 求 X，Y 的边缘密度，问 X，Y 是否独立？20 求 Z=max(X，Y)的密度20 设随机变量(X，Y) 的联合密度为 f(x，y)=求：21 X，Y 的边缘密度；22 23 设总体 X 在区间(0，)内服从均匀分
4、布，X 1，X 2，X 3 是来自总体的简单随机样本，证明： 都是参数 的无偏估计量，试比较其有效性考研数学三（概率统计）模拟试卷 30 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计1 【正确答案】 因为 P(XY=0)=1，所以 P(X=一 1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0 ，P(X=一 1，Y=0)=P(X= 一 1)= ，P(X=1，Y=0)=P(X=1)= ，P(X=0，Y=0)=0，P(X=0，Y=1)=P(Y=1)= (X，Y) 的联合分布律为：【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 因为 P(X=0，Y=0)=0P(X=0)P(Y=0)
5、= ，所以 X，Y 不相互独立【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 设 A=(发车时有 n 个乘客)，B=(中途有 m 个人下车) ，则 P(B(A)=P(Y=m|X=n)=Cnmpm(1 一 p)n 一 m(0mn)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 P(X=n ，Y=m) 一 P(AB)=P(B|A)P(A)=Cnmpm(1 一 p)n 一m (0m，2，n=0，1，2，)【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 (X，Y) 的可能取值为(0，0) ，(1，0)，(0 ，1)，(1，1)P(X=0，Y=0)= P(X=0，y=1)= P(X=
6、1，Y=0)= P(X=1， y=1)=【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 P(X=0 ，Y=0)= P(X=0，Y=1)= P(X=1， Y=0)= P(X=1，Y=)=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 (X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)= 则 fx(x)=一+f(x，y)dy=【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 因为 E(X)=01x2xdx= E(X2)=01x2x2xdx= ，所以 D(X)=E(X2)=E(X)2= D(Z)=D(2X+1)=4D(X)=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 当 0x1 时，f X(x
7、)=一 +f(x，y)dy= 02xdy=2x，当 x0或 x1时，fX(x)=0，所以 fX(x)= 同理 fY(y)=【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 当 z0时，F(z)=0；当 z2时，F(z)=1；当 0z 2 时，P(Zz)=F(z)=1 一 P(Zz)=z 一 所以fZ(z)=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 由 1=一 +dx一 +f(x，y)dy=【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 令区域 D:x2+y2 (X，Y) 落在区域 D 内的概率为【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 用 X，Y 分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的
8、时间，则T=X+Y，由已知条件得 X，y 的密度为 fX(x)=当 t0时， FT(t)=0；当 t0 时，F T(t)=P(X+Yt)= fX(x)f Y(y)dxdy=250te 一 5xdx0t 一xe_5ydy=50te 一 5x1 一 e 一 5(t 一 x)dx=50t(e 一 5x 一 e 一 5t)dx=(1 一 e 一 5t)一 5te 一 5tT 的密度函数为 f(t)=【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 因为 X，Y 相互独立且都服从正态分布，所以 X，Y 的线性组合仍服从正态分布，即 Z=2X 一 Y+3 服从正态分布，由 E(Z)=2E(X)一 E(Y)+3=5
9、，D(Z)=4D(X)+D(Y)=9，则 Z 的密度函数为 fZ(z)=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 因为 X 在区间一 2，2上服从均匀分布，所以 fX(x)=(Y，Z)的可能取值为( 一 1，一 1)，(一 1，1) ，(1，一 1)，(1，1)P(Y=一 1，Z=一 1)=P(X一 1，X1)=P(X一 1)=一 2 一 1 P(Y=一 1，Z=1)=P(X 一 1，X1)=0 ；P(Y=1，Z= 一 1)=P(X一 1，X1)=P( 一1X1)= 一 11 P(Y=1，Z=1)=P(X一 1，X 1)=P(X1)= 12(Y,Z)的联合分布律为【知识模
10、块】 概率统计16 【正确答案】 由 Y+Z ，得 E(Y+Z)=一 2=0E(Y+2) 2=(一 2)2 =2则 D(Y+Z)=2【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 因为 P(Y=1)=06，所以 P(X=0|Y=1)=P(X=1Y=1)=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 1=c 0+dx0+xe 一 x(y+1)dy=c c=1【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 当 x0时，f X(x)=0；当 x0 时， fX(x)=0+xe 一 x(y+1)dy=e 一 x当y0时，f Y(y)=0；当 y0 时，f Y(y)=0+xe 一 x(y+1)dy=
11、 显然当 x0，y0时，f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X，Y 不相互独立【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 当 z0时，F z(z)=0；当 z0 时，F Z(z)=P(Zz)=Pmax(X，Y)z)=P(Xz，Yz)= 0zdx0zxe 一 x(y+1)dy=1 一 e 一 z+ 则 fZ(z)=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 f X(x)=一 +f(x，y)dy=【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 因为总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，所以分布函数为FU(u)=P(Uu)一 Pmax(X1，X 2，X 3)u=P(X1u，X 2u，X 3)=P(X1u)P(X2u)P(X3u)= FV()=P(V)=Pmin(X1，X 2，X 3)=1 一 P(min(X1， X2，X 3)=1 一P(X1，X 2X 3)=1 一 P(X1)P(X 2)P(X 3)=1 一1 一 P(X1)1一P(X2)1一 P(X3) 则 U，V 的密度函数分别为 fU(x)= 所以都是参数 的无偏估计量，D(U)=E(U 2)一E(U) 2=0x2 D(V)=E(V2)一E(V) 2=0x2【知识模块】 概率统计
