1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 34 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( )2 设 0P(C)1，且 P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)，则下列正确的是( )（A）（B） P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)（C） P(A+B)=P(A|C)+P(B|C)（D）P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|A)3 以下命题正确的是( )（A）若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立（B）设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥（C）设 P(A)0，
2、P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立（D）A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)=0 或 P(B)=04 设事件 A，C 独立，B ， C 也独立，且 A，B 不相容，则 ( )（A）A+B 与 C 独立（B） A+B 与 C 不相容（C） A+B 与 C 不独立（D）A+B 与 C 对立5 若事件 A1，A 2，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A1，A 2，A 3 两两独立（C） P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)（D）A 1，A 2，A 3 相互独立6 下列命题不正确的是( )（A）若 P(A)=0，则事
3、件 A 与任意事件 B 独立（B）常数与任何随机变量独立（C）若 P(A)=1，则事件 A 与任意事件 B 独立（D）若 P(A+B)=P(A)+P(B)，则事件 A，B 互不相容7 设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 A+B=B 不等价的是( )8 设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是 ( )（A）A 与 BC 相互独立（B） AB 与 A+C 相互独立（C） AB 与 AC 相互独立（D）A+B 与 A+C 相互独立9 连续独立地投两次硬币，令 A1=第一次出现正面)，A 2=第二次出现正面)，A3=两次中一次正面一次反面)，A 4=(两次都出现正
4、面 )，则( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A1，A 2，A 3 两两独立（C） A2，A 3，A 3 相互独立（D）A 2，A 3，A 3 两两独立二、填空题10 设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06，则=_11 设 A，B 是两个随机事件，P(A|B) 一 04，P(B|A)=04， =07，则P(A+B)=_12 设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=05，P(A|B)=_注解(1) 当 0P(B)1 时，P(A|B)=P(A|B)的充分必要条件是 A，B 独立；(2)A，B 独立的充分必要条件是事件A，B、A
5、，B、A，B 任意一对相互独立13 设 P(A)=06， =_14 独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 A=X+Y=10)，B=XY)，则P(A+B)=_15 设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 ，则 P(A)=_16 随机向区域 D：0y (a0内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 的概率为_17 一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为_18 三次独立试验中 A 发生的概率不变，若 A 至少发生一次的概率为 ，则一次试验中
6、 A 发生的概率为_19 设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设总体 x 的密度函数为 f(x，)= (一z +)，求参数 的矩估计量和最大似然估计量20 设总体 X 的概率密度为 f(x)= ，其中未知参数 0，设X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单样本21 求 的最大似然估计量；22 该估计量是否是无偏估计量？说明理由23 设总体 X 的概率密度为 f(x)= ，其中 一 1是未知参数，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，
7、分别用矩估计法和最大似然估计法求参数 的估计量24 设总体 X 的密度函数为 f(x)= ，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求参数 的最大似然估计量。24 设总体 X 的密度函数为 f(x)= ，(X 1，X 2，X n)为来自总体 X 的简单随机样本25 求 的矩估计量 ；26 求27 设某元件的使用寿命 X 的概率密度为 f(x；)= 其中 0 为未知参数又设(x 1，x 2，x n)是样本(X 1，X 2，X n)的观察值，求参数 的最大似然估计值28 将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率29 袋中有
8、口个黑球和 6 个白球，一个一个地取球，求第 k 次取到黑球的概率(1ka+b)30 甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候的概率考研数学三（概率统计）模拟试卷 34 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)=0，于是有=P(B)一 P(AB)=P(B)选(B)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 由 P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)，因为
9、P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)=P(AB|C)，所以 P(AB|C)=0，从而 P(ABC)=0，故 P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)一P(ABC)=P(AC)+P(BC)，选 (B)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 当 P(A)0，P(B) 0 时，事件 A， B 独立与互斥是不相容的，即若 A，B 独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0，则 A，B 不互斥；若 A，B 互斥，则P(AB)=0P(A)P(B)，即 A，B 不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选(D)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 A【试题解析】 因为事件 A，C 独
10、立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，独立，正确答案为(A) 【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A1，A 2，A 3 两两独立，所以 也两两独立，但不一相互独立，选(B)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 D【试题解析】 P(A)=0 时，因为 AB A，所以 P(AB)=0，于是 P(AB)=P(A)P(B)即 A， B 独立；常数与任何随机变量独立；若 P(A)=1则 P( )=0， ，B独立，则 A，B 也独立，因为 P(A+B)=P(A)+P(B)，得 P(AB)=0但 AB 不一定是不可能事件，故选(D) 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 D【
11、试题解析】 A+B=B 等价于 AB=A，AB=A 等价于A=AB，则 等价于 AB=A，所以选(D)【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 A【试题解析】 在 A，B，C 两两独立的情况下，A，B，C 相互独立 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC)，所以正确答案为(A) 【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 P(A3A4)=0，所以 A2，A 3，A 4 不两两独立，(C)、(D)不对；因为 P(A1A2A3)=0P(A1)P(A2)P(A3)所以 A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立，选(B)【知识模块】 概率统
12、计二、填空题10 【正确答案】 04【试题解析】 因为 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=0 6，所以 P(AB)=02又因为 P( B)=P(B)一 P(AB)，P(AB)=P(A)一 P(AB)，所以 P( B)+P(AB)=P(A)+P(B)一 2P(AB)=08 一 04=0 4【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 因为 P(A|B)=0 4， P(B|A)=04，所以 P(A)=P(B)且 P(AB)=04P(A)，于是 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=【知识模块】 概率统计12 【正确答案】
13、 02【试题解析】 因为 P(A|B)=P(A|B)，所以 A，B 相互独立，从而 A，B 相互独立，故 P(AB)=P(A)P(B)=P(A)1 一 P(B)=0405=02【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 【试题解析】 由 =P(A 一 B)=P(A)一 P(AB)=02 及 P(A)=06 得 P(AB)=0 4，再由 =P(BA)=P(B)一 P(AB)=03 得 P(B)=07，所以【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【试题解析】 P(A)=PX=4，Y=6+PX=5，Y=5+PX=6，Y=4=3 P(B)=PX=2，Y=1+PX=3 ， Y=1+PX=3，Y=2+PX
14、=4，Y=3+PX=4，Y=2+PX=4，Y=1+PX=5 ， Y=4+PX=5，Y=3+PX=5，Y=2+PX=5，Y=1+PX=6，Y=5+PX=6 ， Y=4+PX=6，Y=3+PX=6，Y=2+PX=6Y=1=P(AB)=PX=6，Y=4)= 则 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 【试题解析】 根据题意得 因为=P(B)一 P(AB)，所以 P(A)=P(B)，再由独立得 P(A)一 P2(A)= ，解得 P(A)= 【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 【试题解析】 半圆的面积为 S= a2，落点与原点的连线与 z 轴的夹角
15、小于 的区域记为 D1，所求概率为【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 【试题解析】 令 Ai=所取产品为 i 等品(i=1，2，3)，P(A 1)=06，P(A 2)=0 3， P(A3)=01，所求概率为 P(A1|A1+A2)=【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 【试题解析】 设一次试验中 A 发生的概率为 p，B=三次试验中 A 至少发生一次，则 P(B)= ，又 P(B)=1 一 =1 一(1 一 p)3，所以有 1 一(1 一 p)3= ，解得 p=，即一次试验中 A 发生的概率为 【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 【试题解析】 令 A=第一件产品合格，B=第二件
16、产品合格)，则所求概率为【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 显然 E(X)=0，E(X 2)=一 +x2f(x， )dx= =2(3)=22，由 E(X2)=A2= ，得 的矩估计量为L(x1，x 2，x n，)= ，则 lnL(x1，x 2，x n，)=一 nln(2)一 由 (x1，x 2，x n，)= |xi|=0，则参数 的最大似然估计量为【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 为样本值，似然函数为当 xi0(i=1 ，2，n) 时，lnL()=一 nln 一 =0，得 的最大似然
17、估计值为因此 的最大似然估计量为【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 由于 E(Xi)=E(X)，而 E(X)=，所以为参数 的无偏估计量【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 (1)由于总体的均值为 E(X)=一 +xf(x)dx=01(+1)x+1dx= ，令 E(X)= 则未知参数 的矩估计量为 (2)设(x 1，x 2，x n)为来自总体(X 1，X 2，X n)的观察值，则关于参数 的似然函数为令 =0，得参数 的最大似然估计值为参数 的最大似然估计量为【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 L()=f(x 1)f(x2)f(xn)= (xi0，i=1，2，n)，则参数 的最
18、大似然估计量为【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 E(X)= 一 +xf(x)dx=【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 因为 E(X2)=一 +x2f(x)dx= ，D(X)=E(X 2)=E(X)2=【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 参数 的似然函数为当 xi0(i=1 ，2，n) 时，lnL()=nln2 一 =2n0，所以 lnL()随 的增加而增加，因为 x i(i=1，2，n)，所以参数 的最大似然估计值为=minx1，x 2，x n【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 设 Ai=第 i 本书正好在第 i 个位置 ， B=至少有一本书从左
19、到右排列的序号与它的编号相同，则 B=A1+A2+A3，且故 P(B)=P(A1)+P(A2)+P(A3)一 P(A1A2)一 P(A1A3)一 P(A2A3)+P(A1A2A3)=【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 基本事件数 n=(a+b)!，设 Ak=第 k 次取到黑球则有利样本点数为 a(a+b 一 1)!，所以 P(Ak)=【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 设甲、乙两船到达的时刻分别为 x，y(0x24，0y24)，则两船不需要等待的充分必要条件是 令 D=(x，y)|0x24，0y24，则D1=(x，y)|y 一 xl，x 一 y2，(x，y) D则两船不需要等待的概率为【知识模块】 概率统计
