1、考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 和 y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：（A）XY（B） PX Y0（C） PX Y（D）PXY12 设随机变量 X 的密度函数为 ()，且 ()()，F()为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有（A）F(a)1 0a()d（B） F(a) 0a()d（C） F(a)F(a)（D）F(a)2F(a) 13 设随机变量 XN(， 2)，则随着 的增大，概率 P(X )（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定4 设两个随机变
2、量 X 与 Y 相互独立且同分布。P(X1)P(Y1) P(X1)P(Y1) ，则下列各式成立的是（A）P(XY)（B） P(XY)1（C） P(XY0)（D）P(XY1)5 设 F1()与 F2()分别为随机变量 X1 与 X2 的分布函数为使 F()a 1F1()bF 2()是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（A）（B）（C）（D）6 设随机变量 Xi (i1，2)，且满足 PX1X201，则PX1X 2等于（A）0（B）（C）（D）17 设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1) ，数 ua 满足 PXu a，若 PX，则 等于（A）（B）（C）（
3、D）u 1-8 设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 12)，随机变量 Y 服从正态分布 N(2， 22)，且 PX 11PY 21 则必有（A） 1 2（B） 1 2（C） 1 2（D） 1 29 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F()，则 ZmaxX，Y的分布函数为（A）F 2()（B） F()F(y)（C） 11F() 2（D）1 F()1 F(y)10 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 PY0PY1 记 FZ(z)为随机变量 ZXY 的分布函数，则函数 FZ(z)的间断点个数为（A）0（B） 1（C） 2
4、（D）311 设随机变量 X 的分布函数 F() ，则 PX1（A）0（B） （C） e -1（D）1e -112 设 f1()为标准正态分布的概率密度，f 2()为 1，3上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则 a，b 应满足（A）2a3b 4（B） 3a2b4（C） ab1（D）ab 213 设 F1()与 F2()为两个分布函数，其相应的概率密度 f1()与 F2()是连续函数，则必为概率密度的是（A）f 1()， f2()（B） 2f2()F1()（C） f1()F2()（D）f 1()F2()f 2()F1()二、填空题14 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于 6_(填“是”
5、 或“不是”)15 设随机变量 X 的分布函数为 则A_，PX _16 设随机变最 X 的分布函数为则 X 的概率分布为_17 设随机变量 X 的概率密度为 以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件X 出现的次数，则 P(Y2_18 设随机变量 X 的概率密度为 若忌使得PXk ，则 k 的取值范围是_19 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为Y，则 PY2_20 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 若随机事件X 0与XY1相互独立，则 a_，b_21 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则Pmax(X，Y)1_。三
6、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 已知随机变是 X 的概率分布为 PX102，PX2 03，PX305试写出其分布函数 F()23 设随机变量 X 在区间(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量 Ye 2的概率密度f(y)24 设随机变量 X 在2，5上服从均匀分布现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率25 一电子仪器由两个部件构成，以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知 X 和 Y 的联合分布函数为：(1)问 X 和 Y是否独立? (2)求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率26 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩
7、(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 23，试求考生的外语成绩在 60 分至84 分之间的概率 附表：表中 ()是标准正态分布函数27 一辆汽车沿一街道行驶，要过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两种信号显示的时间相等以 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布28 设测量误差 XN(0，10 2)试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 ，并用泊松分布求出 的近似值(要求小数点后取两位有效数字) 附表：29 设二维随机变量(X，Y)的概率密
8、度为 (1)求 X 的概率密度 f()； (2)求 PXY130 设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布(1)求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 Q31 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立且同分布，P(X i0)06，P(X i1)04(i1，2，3，4) 求行列式的概率分布32 已知随机变量(X，Y) 的联合概率密度为求(X，Y) 的联合分布函数33 设随机变量 X 的绝对值不大于 1，P(X1) ，P(X 1) 在事件1 X1出现的条件下，X
9、 在区间(1，1) 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比试求 X 的分布函数 F()P(X) 34 设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G(，Y ：13，1y3上的均匀分布试求随机变量 UXY的概率密度 p(u)考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 P(X Y) P(X1，Y1)P(X1，Y1) P(X1)P(Y1)P(X 1)P(Y1) 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 由概率密度的性质和已知，可得 1 ()d2 0
10、()d， 0 ()d 而 F(a) a ()d a(t)(dt) a (t)dt 0 ()d 0a()d 0a()d 故选 B【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由已知 XN(， 2)，得 N(0，1) 故 PX(1)( 1) 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 P(X Y) P(X1，Y1)P(X1，Y1) P(X1)P(Y1)P(X 1)P(Y1) 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 F 1()和 F2()均为分布函数， F1()F 2()1 要使 F()为分布函数，也有 F()1对该式令 ， 即得
11、 ab 1，只有 A 符合【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 由 P(X1X2 0)1 可知 P(X11，X 21)P(X 11，X 21)P(X 11， X21)P(X 11，X 21)0 由联合、边缘分布列 (多维离散型)的性质和关系得(X 1，X 2)的联合、边缘分布列如下表得：P(X 1X 2)P(X 11 ，X 21) P(X10，X 20)P(X 11，X 21)0000 故选A【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 设 ()P(X)为服从标准正态分布的 X 的分布函数，有结果： ()()1 (，) (1) 又由 P( X)P(X
12、 )()( ) (显然 0) (2) 由(1)、(2)式得 2()1 得 ( )1() 1P(X)P(X) 与题目中 P(Xu )比较，注意 ()为严格单调增函数() 0， R)，这时 P(X)P(X )，故 ，选 C【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 PX 112()1 同理：PY 212( )1 由已知得：由分布函数的非降性得： 故 1 2【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 Z 的分布函数 FZ()PZPmax(X，Y)PXX，YPX.PYF 2()，故选 A【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 F Z(z
13、)P(Zz)P(XYz) P(XYzY0)PY0PXYzY1PY1 P0zY0 PXzY1 而 P0zY 0P0z PXzY1PXz 故 FZ(z) 在 z0 和 z0 上，F Z(z)显然连续；在 z0 上， 可见 FZ(z)只有1 个间断点(z0 处， )，故选 B【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 P(X 1)F(1) F(10)(1e -1) e -1，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 A【试题解析】 由题意知： f 1() ，所以 2a3b4，故选A【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 1()
14、f 1()，F 2()f 2()，且 F1()F2()为分布函数，那么F1()F2()f 1()F2()F 1()f2()为概率密度，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题14 【正确答案】 是【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 1； 【试题解析】 分布函数是右连续的，故 得1Asin A1 这时，F() 在(，) 上都连续，于是【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 F()为一阶梯状函数，则 X 可能取的值为 F()的跳跃点：1，1，3P(X1)F( 1) F(10)04P(X1)F(1)F(10)080404P(X3)F(3)F(30)108
15、02【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 由题意，YB(3，p)其中故 PY2【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 1，3【试题解析】 P(Xk) k f()d可见： 若 0k1，则 P(Xk)若 k6，则 P(Xk)0 若 3k6，则P(Xk) k6 (6k) 若 1k3，则 Pk)【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 由题意，X 的概率分布为 而P(2X1)0，P(Y 2X2) ，P(Y2X3) ，P(Y2X 4)，故 由全概率公式得 PY2 PXiPY2X i【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 a 0 4，b0
16、1【试题解析】 由题意知 04ab011，ab 05而 PX0 04a， PXY1P(X 0， Y1P(X1，Y 0ab0 5，PX0，XY1 PX0，Y1a由 PX0，XY1PX0PXY1a (04a)05，得 a04，从而 b01 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 由题意知 X 与 Y 的概率密度均为： 则 Px1PY1 1f()d 故 Pmax(X，Y)1PX1，Y1PX1Py1【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 F(X)PX 当 时，F() 0 当 12 时，F()PX 102 当 23 时，
17、F()PX 1 PX 2020305 当 3 时，F()PX 1PX 2PX 3 020 3051 故 F()【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 X 的概率密度为：f () 而 Y 的分布函数FY(y)PYyPe 2Xy 由 X 的取值范围，可见 当 Y0 时，F Y(y)0，f(y)F Y(y)0； 当 y0 时，F Y(y)PZXlnyPX lny fx()d， f(y)F Y(y) 故得 f(y)【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由题意，X 的概率密度为： 则pPX3 3 f()d 35 设在对 X 进行的三次独立观测中，有 Y次观测值大于 3，则 Y 服从
18、参数为 3，P(P )的二项分布故所求概率为 PY2PY2PY3 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (1)关于 X 的边缘分布函数为 F X() F(，y)1e 05 (0)(别处 FX()0) 同理，关于 Y 的边缘分布函数为 F Y(y) F(，y) 1e 05y (y0)(别处 FY(y)0) 故当 0，y0 时， F X().FY(y)(1 e05 )(1e 05y y) 1e 05 e 05y ye 05(y) F(，y) 而当 0或 y0 时，F().F Y(y)0F(，y) 故 (，y)R 2，均有 FX()FY(y)F(，y)，X 和 Y 独立 (2) X 与
19、Y 独立，故 P(X100，Y 100)P(X100)P(Y100)1 FX(100)1F Y(100) e 05100 .e05100 e100 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设该地考生的外语成绩为 X，由题意， X N(72， 2)，且P(X96)0023 0023 ( )0977 查表得 2， 12 故 P(60X84)2(1)12084110682【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 由题意，X 可能取的值为 0，1， 2，3【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 设在 100 次测量中，有 Y 次的测量误差的绝对值大于 196，则YB(100
20、，p) 其中 pP X196 1P196X1961P196 196 1(1 96)(196) 22(1 96)220 975 005 故 P(Y3) 1 P(Yi) 1C 1000.005 0.095 100C 1001.005 1.095 99C 1002.005 2.095 98 1095 1005095 99 005 2095 98 0962106973 用泊松分布逼近时，1000055 则 1 1e -518 51 000718 5087【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 (1)f X() f(，y)dy 当 0 时，f(，y)0，f X()0 当0 时，F X() e-
21、ydye - 故 fX() (2)P(XY1) f(，y)ddy e-yddy d1 ey dy (e e 1 )d 12e 05 e 1 (G 见图 41)【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 由题意，PN(t)k ，k0，1，2， (1)考虑PTt显然，t0 时，PT t1； t0 时，PTtPN(t)0 et e t 故 T 的分布函数 F(t)PTt1PTt (2)所求概率为 Q PT16T 8【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 由题意，XX 1X4X 2X3，可能取的值为 1，0，1 P(X1)P(X 1X4X 2X31)P(X 1X40，X 2X31) P
22、(X 1X40).P(X 2X31)1 P(X1X41).P(X 2X31) 1 P(X 11，X 41)P(X 21，X 31) 1 一P(Xl 一 1)P(X4=1)P(X21)P(X3：1)1 一104 2.04 201344 同理，P(X1)P(X 1X41，X 2X30)P(X 1X41)P(X 2X30)01344 而 P(X0)1P(X1)P(X1)10134 4207312【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 (X，Y) 的联合分布函数为 F(，y) du yf(u，v)dv 当 0 或y0 时，F(，y)0； 当 01，y1 时， F(， y) 4uvdudv 0
23、du014uv 2(G见图 42) 同理，当 1，0 y1 时， F(，y) 01du0y4uvdvy 2 当 0 1，0y1 时，F(，y) 0du0y4uvdv 2y2 当1，y1 时， F(，y) 01du014uvdv1 故得【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 由 F()P(X) ，以及 P(X1)1 所以，当 1 时，F()0； 而 F(1)P(X1)P(X1) ； 当 1 时，F()1 当11时，由题意知：P1X1X1 K( 1) 其中 K 为比例系数，为一常数 由已知可得 P(11)1P(X1)P(X1)1 P(1X1X1)得 P(1X) K(1)K(1)，其中 K K 为常数 故 F()P(X) P( 1X)P(X1)K(1) 而 P(X1)F(1)F(10)1(2K )，得K 故最终得：【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 G 的面积显然为 4，(X，Y)的联合概率密度为U 的分布函数 F(u)P(Uu)P(XYu) 显然，u0 时，F(u)0； 而 u0 时，F(u) f(，y)ddy 从图 43 中易见，当 u2 时，F(u) ddy1 当 0u2 时，F(u) 其中 D 为图 43 中阴影部分，其面积 SD42 (2u)24uu 2 即 0u2 时，F(u)u u2 故 F(u) 故P(u)F(u)【知识模块】 概率论与数理统计
