1、考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2016 年) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(1，2)，Y N(1 ，4) ，则 D(XY)=( )（A）6。（B） 8。（C） 14。（D）15。2 (2001 年) 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于( )（A）-1 。（B） 0。（C）（D）1。3 (2008 年) 设随机变量 X N(0，1) ，YN(1，4)，且相关系数 XY=1，则( )（A）PY=-2X-1=1。（
2、B） PY=2X-1=1。（C） PY=-2X+1=1。（D）PY=2X+1=1。4 (2011 年) 设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n(n2)为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量 T1= Xi，T 2= Xi+ Xn( )（A）E(T 1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)。 （B） E(T1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)。（C） E(T1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)。（D）E(T 1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)。5 (2015 年) 设总体 XB(m，) ，X 1，X 2，X n 为来自该总体的简单随机样本，为样本均
3、值，则 =( )（A）(m-1)n(1-)。（B） m(n-1)(1-)。（C） (m-1)(n-1)0(1-)。（D）mn(1-)。6 (2012 年) 设 X1，X 2，X 3，X 4 为来自总体 N(1， 2)(0)的简单随机样本，则统计量(X 1-X2)(X 3+X4-2)的分布为( )（A）N(0 ，1)。（B） t(1)。（C） 2(1)。（D）F(1，1)。7 (2014 年) 设 X1，X 2，X 3 为来自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，则统计量 S=服从的分布为( )（A）F(1，1)。（B） F(2，1)。（C） t(1)。（D）t(2)。8 (2017 年) 设
4、 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(，1)的简单随机样本，记Xi，则下列结论中不正确的是( )（A） (Xi-)2 服从 2 分布。（B） 2(Xn-X1)2 服从 2 分布。（C） 服从 2 分布。（D） -)2 服从 2 分布。二、填空题9 (2011 年) 设二维随机变量(X，Y) 服从 N(， ； 2， 2；0)，则 E(XY2)=_。10 (2003 年)设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 Z=X-04，则 Y 与 Z 的相关系数为_。11 (2001 年)设随机变量 X，Y 的数学期望分别是-2 和 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为-0 5。则根据切比
5、雪夫不等式 PX+Y6_。12 (2003 年) 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，Y n= Xi2 依概率收敛于_。13 (2006 年) 设总体 X 的概率密度为 f(x)= e-x (-x) ，X 1，X 2，X n 为总体 X 的简单随机样本，其样本方差为 S2，则 E(S2)=_。14 (2009 年) 设 X1，X 2，X n 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本，和 S2 分别为样本均值和样本方差，记统计量 T= -S2，则 E(T)=_。15 (2010 年) 设 X1，X 2，X n 为来自总
6、体 N(， 2)(0)的简单随机样本，记统计量 T= Xi2，则 E(T)=_。16 (2014 年) 设总体 X 的概率密度为 f(x；)= 其中 是未知参数，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，若 E(c Xi2)=2，则C=_。17 (1998 年) 设 X1，X 2，X 3，X n 是来自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本，X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2。则当 a=_，b=_时，统计量 X 服从 2 分布，其自由度为_。18 (2001 年) 设总体 X 服从正态分布 N(0，2 2)，而 X1，X 2，X 15 是来自总体 X的简单随机样本
7、，则随机变量 Y=(X12+X102)2(X 112+X152)服从_分布，参数为_。19 (2002 年) 设总体 X 的概率密度为 f(x；)= 而X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 的矩估计量为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 (2000 年) 设 A，B 是两个随机事件，随机变量试证明随机变量 X 和Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立。21 (2000 年)生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50 千克，标准差为 5 千克。若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可
8、以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0977。(2)=0977 ，其中 (x)是标准正态分布函数。)22 (2004 年) 设总体 X 服从正态分布 N(1， 2)，总体 Y 服从正态分布 N(2， 2)，X1，X 2，X n1 和 Y1，Y 2，Y n2 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则23 (2005 年) 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0， 2)的简单随机样本， 为样本均值，记 Yi=Xi- ， i=1，2，n。()求 Yi 的方差 D(Yi)，i=1，2 ， n；()求 Y1 与 Yn 的协方差 Cov(Y1， Yn)；()若 c(Y1+Yn)2 是
9、2 的无偏估计量，求常数 c。24 (2008 年)X 1，X 2，X n 是总体为 N(， 2)的简单随机样本。记 Xi，S 2= S2。()证明 T 是 2 的无偏估计量；()当 =0，=1 时，求 D(T)。25 (1999 年) 设 X1，X 2，X 9 是来自正态总体 X 的简单随机样本，Y1= (X1+X2+X6)，Y 2= (X7+X8+X9)，S 2= (Xi-Y2)2，Z= ，证明统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布。26 (2004 年) 设随机变量 X 的分布函数为 F(x；，)= 其中参数 0，1。设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本。 ()当
10、 =1时，求未知参数 的矩估计量； ()当 =1时，求未知参数 的最大似然估计量；()当 =2时，求未知参数 的最大似然估计量。27 (2006 年) 设总体 X 的概率密度为 f(x；)= 其中 是未知参数(0 1)，X 1，X 2， ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值x1，x 2，x n 中小于 1 的个数。 ()求 的矩估计； ()求 的最大似然估计。28 (2007 年) 设总体 X 的概率密度为 其中参数(01)未知，X 1，X 2，X n，是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值。()求参数 的矩估计量 ；( )判断 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由
11、。29 (2013 年) 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本。 ()求 的矩估计量； ( )求 的最大似然估计量。30 (2015 年) 设总体 X 的概率密度为： 其中 为未知参数，x 1，x 2，x n 为来自该总体的简单随机样本。 ()求 的矩估计量； ()求 的最大似然估计量。31 (2016 年) 设总体 X 的概率密度为 其中(0，+)为未知参数，X 1，X 2，X 3 为来自总体 X 的简单随机样本， T=maxX1，X 2，X 3。 ()求 T 的概率密度； ( )确定 a，使得 E(aT)=。32 (20
12、17 年) 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量 是已知的，设 n 次测量结果 X1，X 2，X n 相互独立且均服从正态分布 N(， 2)。该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 Zi=X i-(i=1 ，2，n)，利用 Z1，Z 2，Z n 估计 。 (I)求 Zi 的概率密度； ( )利用一阶矩求 的矩估计量； ()求 的最大似然估计量。考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 利用方差和期望的关系公式计算，即 D(X)=E(X2
13、)-E(X)2。 根据方差和期望之间的关系 D(XY)=E(X 2Y2)-E(XY)2，E(XY)=E(X)E(Y)=1， E(X 2Y2)=E(X2)E(Y2)=35=15， 则 D(XY)=14。 故选 C。2 【正确答案】 A【试题解析】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以 X+Y=n，从而 Y=n-X。由方差的定义：D(X)=E(X 2)-E(X)2，所以 D(Y)=D(n-X)=E(n-X)2-E(n-X)2=E(n2-2nX+X2)-(n-E(X)2=n2-2nE(X)+E(X2)-n2+2nE(X)-E(X)2=E(X2)-E(X)2=D(X)。由协方差的性质： Cov(X
14、，c)=0(c 为常数)；Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)； Cov(X 1+X2，Y)=Cov(X 1，Y)+Cov(X 2，Y) ，所以 Cov(X，Y)=Cov(X，n-X)=Cov(X，n)-Cov(X，X)=0-D(X)=-D(X)，由相关系数的定义，得3 【正确答案】 D【试题解析】 由 XY=1 可知，存在实数 a(a0)，b ，使得 Y=aX+b，则可排除A、C。 由 X，Y 的分布可知，E(Y)=1，E(aX+b)=b，所以 b=1。故选 D。4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 X 服从参数为 (0)的泊松分布，则有 E(Xi)=，D(X i)=，i=1，2，n
15、，则 E(T1)= D(T1)=而且 E(T2)= E(Xn)同时 可得 E(T1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)，因此选 D。5 【正确答案】 B【试题解析】 故选择 B。6 【正确答案】 B【试题解析】 X 1，X 2，X 3，X 4 为来自总体 N(1， 2)(0)的简单随机样本，所以X1-X2N(0 ， 22)，标准化得 N(0，1)， X3+X4-2N(0，2 2)，标准化得N(0，1)。同时即(X1-X2)X 3+X4-2t(1)，选 B。7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，X 1-X2N(0，2 2)，则 N(0，1)，X 3N(0， 2)，进而 X3N(0，1)
16、，那么 X32 2 2(1)，因此应选 C。8 【正确答案】 B【试题解析】 A 项，因为 Xi-N(0，1) ，所以 (Xi-)2 2(n)。B 项，因为 Xn-X1N(0 ，2)，所以 2(1)。C 项，因为样本方差 S2= ，且(n-1)S 2 2(n-1)，所以 2(n-1)。D 项，因为 2(1)。综上所述，选 B。二、填空题9 【正确答案】 ( 2+2)【试题解析】 由(X，Y) 服从二维正态分布，且 =XY=0，则 X，Y 相互独立。又根据已知可得 E(X)=，E(Y 2)=2+2，因此，E(XY 2)=E(X)E(Y2)=E(X)D(Y)+E2(Y)=(2+2)。10 【正确答
17、案】 09【试题解析】 因为 Cov(Y，Z)=Cov(Y，X-04)=Cov(X，Y)-Cov(Y，04)=Cov(Y，X)，且 D(Z)=D(X)。于是有 YZ=XY=09。11 【正确答案】 【试题解析】 把 X+Y 看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差。故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0。又相关系数的定义：则D(X+Y)=D(X)+2Cov(X，Y)+D(Y)=1+2 X(1)+4=3，所以由切比雪夫不等式：PX+Y6=PX+Y-E(X+Y)612 【正确答案】 【试题解析】 这里 X12，X 22，X n2 满足辛钦和切比雪夫大数定律的：条件，且E(Xi2)=
18、D(Xi)+E(Xi)2= 因此根据大数定律 Yn= Xi2 依概率收敛于 E(Xi2)=13 【正确答案】 2【试题解析】 因为 E(x)=-+xf(x)dx=-+ e-x dx=0E(X 2)=-+x2f(c)dx=-+e-x dx=-2xe-x 0+20+e-xdx=-2e-x 0+=2，故 D(X)=E(X2)-E(X)32=2-0=2。所以 E(S2)=D(X)=2。14 【正确答案】 np 2【试题解析】 由 E(T)- -S2)= -E(S2)=np-np(1-p)=np2。15 【正确答案】 2+2【试题解析】 E(T)= nE(X2)=E(X2)=2+2。16 【正确答案】
19、【试题解析】 若 Xi2 是 2 的无偏估计，则 E( Xi2)=2，也就是 E(Xi2)=，其中 E(X2)=2x2. .2x2dx= 2，故 E(Xi2)=c.n. 2=2，因此 c= 。17 【正确答案】 【试题解析】 由于 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立，均服从 N(0，2 2)，所以由数学期望和方差的性质，得 E(X 1-2X2)=0，D(X 1-2X2)=122+2222=20，所以(X 1-2X2) N(0， 20)，同理(3X 3-4X4)N(0，100)。 又因为(X 1-2X2)与(3X 3-4X4)相互独立，且 (X1-2X2)N(0，1)； (3X3-4X4)N
20、(0，1)，由 2 分布的定义，当a= 时，X= (X1-2X2)2+ (3X3-4X4)2 2(2)。即当 a=时，X 服从 2 分布，其自由度为 2。18 【正确答案】 F ；(10 ，5)【试题解析】 因为 XiN(0，2 2)i=1，2，15，将其标准化有(X i-0)2=X i2 N(0，1)，从而根据卡方分布的定义 (X12) 2+(X102) 2 2(10)，(X112) 2+(X152) 2 2(5)由样本的独立性可知，(X 12) 2+(X102) 2与(X 112) 2+(X15 2)2 相互独立。故根据 F 分布的定义故 Y 服从第一个自由度为 10，第二个自由度为 5
21、的 F 分布。19 【正确答案】 【试题解析】 因为 E(X)=+xe-(x-)dx=+1，所以，由得参数 的矩估计量为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 E(X)=1.PA+(=1). =2PA-1，同理，E(Y)=2PB-1。 现在求 E(XY)，由于 XY 只有两个可能值 1 和-1，所以 E(XY)=1.PXY=1+(-1).PXY=-1，其中 PXY=1=PX=1，Y=1+PX=-1，Y=-1=PAB+ =PAB+1-PAB=2PAB-PA-PB+1，和 PXY=-1=PX=1，Y=-1+PX=-1，Y=1=PA+PB-2PAB。 (或者 PXY=-
22、1=1-PXY=1=PA+PB-2PAB)。 所以 E(XY)=PXY=1-PXY=-1=4PAB-2PA-2PB+1。 由协方差公式， Cov(XY)=E(XY)=E(X)E(Y) =4PAB-2PA-2PB+1-2PA-1.2PB-1 =4PAB-PAPB，因此，Cov(XY)=0 当且仅当 PAB=PAPB，即 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立。21 【正确答案】 设 Xi(i=1，2，2)是装运的第 i 箱的重量(单位：千克)，n 是所求箱数。由题设可以将 X1，X i，X n 视为独立同分布的随机变量，而 n 箱的总重量 Sn=X1+X2+Xn 是独立同分布随
23、机变量之和。由题设，有 E(Xi)=50，=5(单位：千克)。所以 E(S n)=E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn)=50n， D(Sn)=D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)=25n，则根据列维一林德伯格中心极限定理，知 Sn 近似服从正态分布 N(50n，25n)，箱数 n 根据下述条件确定PSn5000= (将 Sn 标准化)由此得 从而n980199，即最多可以装 98 箱。22 【正确答案】 2【试题解析】 因为样本方差 S12= ，S 22=，则 E(S12)= =2，E(S 22)=2，E(n 1-1)S12+(n2-1)S22(n
24、1+n2-2)=(n1-1)2+(n2-1)2 (n1+n2-2)=2。23 【正确答案】 由题设，知 X1，X 2，X n(n 2)相互独立，且 E(Xi)=0，D(X i)=2(i=1，2，n)， =0。( )Y i=Xi- Xj，()Cov(Y 1，Y n)=Cov(X1-，X n- )=Cov(X1，X n)-Cov(X1， 而Cov(X1，X n)=0，Cov(X 1， Cov(X1，X 1)+Cov(X1，X 2)+Cov(X1，X n)=D(X1)=2n，同理 Cov(Xn， )=2n。 故 Cov(Y1，Y n)=-22n+ 2n=- 2n( )Ec(Y 1+Yn)2=cD(Y
25、1+Yn) =cD(Y1)+D(Yn)+2Cov(Y1，Y n) 故24 【正确答案】 () 首先 T 是统计量，其次：E(T)= E(S2)=E(S2)= 2+2- 2=2 对一切 ， 成立。因此 T 是 2 的无偏估计量。() 根据题意，有 2(1)，(n-1)S 2 2(n-1)。于是 D(nX2)=2，D(n-1)S 2=2(n-1)。所以25 【正确答案】 由于 X2，X 9 是来自总体 X 的简单随机样本，故 X1，X 9独立。设 XN(u， 2)，则 X1，X 9N(u， 2)，又因为服从正态分布的独立随机变量其线性组合也服从正态分布，则 Y1= (X1+X2+X6)N(u， 2
26、6)，其中 u=E(Y1)=E (X1+X2+X6)= E(X1)+E(X2)+E(X6)= =u， 2=D(Y1)=D (X1+X2+X6)= (X1+X2+X6)故 Y 1N(u ， 26)同理，因为Y2= (X7+X8+X9)，所以 Y2N(u ， 23)。又由于 Y1，Y 2 独立，且都服从正态分布，故 Y1-Y2 也服从正态分布，其期望方差分别为：E(Y 1-Y2)=E(Y1)-E(Y2)=u-u=0，D(Y 1-Y2)=D(Y1)+D(Y2)=26+ 23= 22，得 Y 1Y 2N(0 ， 22)，将Y1-Y2 标准化得 由正态总体样本方差的性质：(n-1)S2 2 2(n-1)
27、 2(2)，因 S2 与 Y2 独立(由于样本方差与样本均值独立)。而 Y1与 S2 独立，故 U= 独立。所以由 t 分布的定义有：化简上式26 【正确答案】 X 的概率密度 f(x；)=F(x ；，)= ()故当 =1时，X 的概率密度为 f(x； )= 由于 E(X)=-+xf(x，)dx=1+x.(x +1)dx=-1 令 ，所以参数 的矩估计量为 = () 对于总体 X 的样本值 x1，x 2，x n，似然函数为当xi1(i=1，2，n)时，L()0，取对数得 lnL()=nln-(+1) lnx，对 求导数，得()当 =2时， X 的概率密度为 f(x；)= 对于总体 X 的样本值
28、x1，x 2，x n，似然函数为当xi(i=1，2，n) 时， 越大，L()越大，即 的最大似然估计值为=minx1，x 2，x n，于是 的最大似然估计量为 =minX1，X 2，X n。27 【正确答案】 () 因为 E(X)=-+xf(x；)dx= 01xdx+12x(1-)dx= -，令，可得 的矩估计为 ()记似然函数为 L()，则两边取对数得 lnL()=Nln+(n-N)ln(1-)，令 为 的最大似然估计。28 【正确答案】 () 记 E(X)=，则 =E(X)=-+xf(x；)dx解出 =2- ，因此参数 的矩估计量为() 只须验证 是否等于 2 即可，而并且E(X2)= (
29、1+22)，D(X)=E(X 2)-E(X)2= 2，于是因此 不是 2 的无偏估计量。29 【正确答案】 ()E(X)= 0+xf(x)dx=0+ =，令E(X)=，得到矩估计量 ()对于总体 X 的样本观测值x1，x 2，x n，其似然函数为 l()=f(x 1；)f(x 2；)(x n；)= 2n(x1x2xn)-3L=lnl()=2nln-3ln(x1x2xn)- ，今得到 ，即最大似然估计量为30 【正确答案】 ()E(X)= -+xf(x；)dx= 1x. ，解得 =2E(X)-1，令 Xi，则 的矩估计量，为 ()设 x1，x 2，x n 为X1，X 2，X n 的观测值，构造似
30、然函数 L()= 则 InL()=-nln(1-)，故 ，故 L 是关于 的单调递增函数，要使得 L 最大， 应取可能的最大值，又由于 x i，i=1， ，n，可知 的最大似然估计值为=minx1，x n，因此 =minX1，X 2，X n为 的最大似然估计量。31 【正确答案】 () 设 X 的分布函数为 F(x)。当 0x 时，F(x)=0x =x3 3，所以 则 T 的分布函数为 F T(x)=PTx=PX1x，X 2x，X 3x= PXix=F(x)3，于是 T 的概率密度为 f(x)=3F(x)2f(x)= () E(aT)=a.E(T)=a -+xfT(x)dx=a0令 E(aT)=，则 a= 。32 【正确答案】 () 因为 XiN( ， 2)，所以 Yi=Xi-N(0， 2)，则随机变量 Yi的概率密度为 设 Zi 的分布函数为 FZi(z)，则当 z0 时，FZi(z)=0；当 z0时，F Zi(z)=PZiz=PY iz=P-zY iz=-zz 所以 ZI 的概率密度为 fZi(z)= ()E(Z i)=0+，则 的矩估计量 ()设Z1，Z 2，Z n 的观测值为 z1，z 2，z n，则似然函数为 L(z1，z 2，z n；)=取对数得 令，故 的最大似然估计量为
