1、考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若二事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)0，则（A）A 和 B 不相容(互斥)（B） AB 是不可能事件（C） AB 未必是不可能事件（D）P(A)一 O 或 P(B) 02 以 A 表示事件“ 甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则其对立事件 为：（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销” （B） “甲、乙两种产品均畅销”（C） “甲种产品滞销” （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 3 设 A、B 为二随机事件，且 B A，则下列式子正确的是（A）P(AB)P(A
2、)（B） P(AB)P(A)（C） P(BA) P(B) （D）P(BA)P(B)P(A)4 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：（A） 与 不相容（B） 与 相容（C） P(AB)P(A)P(B) （D）P(AB)P(A)5 设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则（A）P(C)P(A)P(B) 1（B） P(C)P(A)P(B)1（C） P(C) P(AB)（D）P(C)P(A B)6 设 0P(A)1，0P(B)1，P(AB)P( )一 1，则事件 A 和 B（A）互不相容（B）互相对立（C）不独立（D）独立7 已知 0P(B)1，
3、且 P(A1A 2)BP(A 1B)P(A 2B)，则下列选项成立的是（A）P(A 1A 2) P(A 1 )P(A 2 )（B） P(A1BA 2B)P(A 1B)P(A 2B)（C） P(A1A 2)P(A 1B)P(A 2B)（D）P(B)P(A 1)P(BA 1)P(A 2)P(BA 2)8 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电以 E 表示事件“电炉断电”，而 T(1)T(2)T(3)T(4)为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（A）T (1)t0（B） T(2)t0（C）
4、 T(3)t0（D）T (4)t09 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1掷第一次出现正面，A 2掷第二次出现正面，A 3 正、反面各出现一次，A 4正面出现两次 ，则事件（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立10 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为（A）3p(1 p) 2（B） 6p(1p) 2（C） 3p2(1p) 2（D）6p 2(1p) 211 设事件 A 与事件 B 互不相容，则（A）
5、P( )0（B） P(AB)P(A)P(B) （C） P(A)1P(B)（D）P( )112 设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B)05，P(AB)03，则 P(BA)（A）01（B） 02（C） 03（D）0413 若 A，B 为任意两个随机事件，则（A）P(AB)P(A)P(B) （B） P(AB)P(A)P(B)（C） P(AB) （D）P(AB) 14 设 A，B 为两个随机事件，且 0P(A)1，0P(B) 1，如果 P(AB)1，则（A）P( )1（B） P(A )0（C） P(AB)1（D）P(BA)115 设 A，B，C 为三个随机事件，且 A 与 C 相互独立，B 与
6、 C 相互独立，则AB 与 C 相互独立的充分必要条件是（A）A 与 B 相互独立（B） A 与 B 互不相容（C） AB 与 C 相互独立（D）AB 与 C 互不相容二、填空题16 设 P(A)04，P(AB)07，那么(1)若 A 与 B 互不相容，则 P(B)_；(2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B)_17 若事件 A，B，C 满足等式 ACBC，则 AB_(填“是” 或“非”)18 一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，若至少命中一次的概率为 ，则该射手的命中率为_19 将 C，C ， E，E，I，N，S 这七个字母随机地排成一行，则恰好排成 SCIENCE的概率为_20 在区
7、间(0 ，1) 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为_21 设 A，B，C 是随机事件， A 与 C 互不相容，P(AB) ，P(C) ，则 P(AB)_22 设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 4 的概率为_23 随机事件 A，B，C 相互独立，且 P(A)P(B)P(C) ，则 P(ACAB)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装 30 件，其中 18 件一等品现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取
8、出两个零件(取出的零件均不放回) 试求(1)先取出的零件是一等品的概率 p；(2)在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率 q25 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为08，01 和 01一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看 4 只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：(1)顾客买此箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率26 从 0，1，2，9 等 10 个数字中任意选出 3 个不同的数字，求下列事件的概率： A 1 三个数字中不含 0 和 5；A 2三个数字中不含 0 或
9、 527 某厂家生产的每台仪器，以概率 07 可以直接出厂，以概率 03 需进一步调试，经调试后以概率 08 可以出厂，以概率 02 定为不合格产品不能出厂现该厂新生产了 n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求(1)全部能出厂的概率 ；(2)恰有两台不能出厂的概率 ；(3)至少有两台不能出厂的概率 28 考虑一元二次方程 2 BC0，其中 B、C 分别是将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q29 设有来自三个地区的各 10 各、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份随机地取一个地区的报名表，从中
10、先后抽出两份(1)求先抽到的一份是女生表的概率户；(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 P(AB)0 不能推出 AB 的结论，故选项 A、B 均排除而 D明显不对，应选 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 若记 B甲种产品畅销，C 乙种产品滞销，则有 ABC 故甲种产品滞销 乙种产品畅销而“或”与“”是一个意思，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析
11、】 A B AB A，故选 A【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 AB ， AB A，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 AB C，而 P(A)P(B) P(AB)P(AB)1， 故 P(C)P(AB)P(A)P(B)1【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 由已知，得 P(AB)1P( )P(A ) 所以化简得 P(AB)P(A)P(B)，选 D【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 由已知得 ，化简得选项 B【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】
12、由题意知T (1)t0 T(2)t0 E 一T (3)t0 T(4)t0 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 由题意易见： P(A 1)P(A 2) ，且 A1 与 A2 相互独立，而 A 3A 1A2，A 4A 1A2，A 1A2A3 ，A 2A3A4 P(A3)P(A 1 )P( A2)P(A 1)P( )P( )P(A2) 故 P(A1A3)P(A 1)P(A3) P(A2A3)P(A 2)P(A3) 可见 A1，A 2，A 3 两两独立，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 P第 4 次射击恰好第 2 次命中目标P
13、前 3 次射击恰中 1 枪，第 4次射击命中目标 P 前 3 次射击恰中 1 枪.P第 4 次射击命中目标 C 31p(1p)2.P 一 3p2(1p) 2【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 由已知知 AB ， ， 故 P( )P()1，选 D【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 B【试题解析】 A 与 B 独立， P(AB)P(A)P(B) 故 03P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B) P(A)1 P(B)P(A)(105) 05(P(A) 得 P(A)06， P(BA) P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B)05060502【知
14、识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 C【试题解析】 由 AB A，AB B 得 P(AB)P(A)，P(AB)P(B) ，两式相加即得： P(AB) 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 A【试题解析】 由 1P(A B) ，有 P(B)P(AB) 于是1【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 C【试题解析】 AB 与 C 独立 P(ABB)CP(A BB)P(C) P(ACBC)P(AB)P(C) P(AC)P(BC)P(ABC) P(A)P(B) P(AB)P(C) 由题目条件知：P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C) 所以 AB 与 C 独
15、立 P(ABC)P(AB)P(C) AB 与 C 独立，故选 C【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题16 【正确答案】 03；05【试题解析】 由 P(AB)P(A)P(B) P(AB) (1)若 A、B 互不相容，则AB ，P(AB)0，代入上式得 0704 P(B)0，故 P(B)03 (2)若A、B 相互独立，则 P(AB)P(A)P(B)，代入得 0704P(B)04P(B)，故 P(B)0 5【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 “ 非”【试题解析】 例如取 1，2，3，A1，2，B2，3，C 则 ACB C，但 AB【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】
16、【试题解析】 设该射手的命中率为 p，则 4 次射击(独立重复) 中命中 k 次的概率为C4kPk(1p) 4-k 由题意 P( 他至少命中一次)1P( 他命中 0 次)1C 40p0(1p) 4-01(1p) 4 解得 p 【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 这 7 个字母排一行共有 71 种排法(第 1 位置有 7 种放法，第 2 位置有 6 种放法，余类推，用乘法原则)，这是总样本点个数而在有利场合下，第 1位置有 1 种放法(1 个 S)，第 2 位置有 2 种放法(2 个 C 中选 1 个)，同理，第 3 位置有 1 种放法(1 个 I)，第 4 位置有
17、2 种放法(2 个 E 中选 1 个)，后边都是 1 种选法(即使是 C 或 E，只剩 1 个了)，故有 12121114 种放法，这是有利样本点个数 故所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 设这两个数分别为 ，y，则二维点(，y)可能取的点为图 43 中的正方形内部(面积为 1)，而符合要求(即题中“两数之差的绝对值 ”)的点集合(，y)：01，0y1，y 为图中阴影部分 G，而 G 的面积为12 ， 故所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 AC ，A ，得 P(AB )P(AB) ， 又 P( )1P(C) ， 故【知
18、识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 用古典概型，4 次取球共有 34 种取法；而“第 1 次取红球，第 2、3次至少取得 1 白球且未取得黑球，第 4 次取黑球”共有 3 种取法：(按顺序)“红红白黑，红白红黑，红白白黑”，故上述事件(引号内的事件)的概率为 而红、白、黑 3 种颜色排列有 31 种，故本题所求概率为 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 记 A(取的是第 1 箱)，B 1从该箱中先取出的是一等品，B2从该箱后取出的是一等品 则由
19、已知知：(1)由全概率公式，得 pP(B 1)P(A)P(B 1A) 04 (2)仍由全概率公式得 P(B 182)P(A)P(B 1B2A)P( )P(B1B2 ) 0194229415 故 qP(B 2B 1)0485573539【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 记 B(顾客买下此箱玻璃杯)，A i 售货员取的是含 i 只残次品的一箱玻璃杯，i0，1，2 由题意知：A 0、A 1、A 2 构成互不相容完备事件组，且 P(A 0)08，P(A 1)P(A 2)01，P(BA 0)1(1)由全概率公式得： P(B) P(A)p(BA i)08101 0943157894 (2)
20、P(A 0B)0848214286【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 记 B 三个数字中不含。，C 三个数字中不含 5则故 P(A2)P(BC)P(B)P(C) P(BC) P(A1)P(BC)【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 设 A(1 台仪器可直接出厂)，B 1 台仪器最终能出厂则 AB P(B)P(A)P( B)P(A)P(B )P( ) 070803094 由贝努里概型的计算式(p094)： (1)P(n 台仪器能出厂 )C nnpn(1p) n-n094 n (2)P( 恰有 n2 台仪器能出厂)C nn-2p(1p) 2 094 n-2006 2 (3
21、) 1P(n 台仪器全能出厂)P(恰 n1 台仪器能出厂 ) 1C nnpnn(1p) n-nC nn-1pn-1(1p) n(n-1)1094 nn.094 n-1006【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 方程 2 BC0 的判别式 B 24C 则 P(方程有实根)P( 0)P(B 24C) P(方程有重根)P(0)P(B 24C) 而(B，C)可能取的值为(1，1) ，(1，2)， (1，6)，(2， 1)，(2，2)，(2，6)， ，(6，1)，(6，2)，(6 ，6) 共有 36 个基本结果(样本点) 其中符合 B24C 的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2) ，(4，3)，(4，4)，(5 ，i)，(6，i)(i 1，2，6)共 19 个结果；符合 B24C 的有(2，1)，(4，4)两个结果，故 P(方程有实根) ，P(方程有重根) 【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设 Ai(取的是 i 区的报名表)，i1，2，3 B 1(从中先抽到的是女生表)，B 2(从中后抽到的是女生表)由题意，A 1、A 2、A 3、为互不相容完备事件组，且 由全概率公式得： (1)p P(B 1) P(Ai)P(BiA i) (2)q故 q【知识模块】 概率论与数理统计
