1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 27 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机事件 A 与 B 互不相容，则（ ）2 设 A，B 为随机事件，P（A）0，则 P（B|A ） =1 不等价于（ ）（A）P（AB ）=0（B） P（BA）=0（C） P（AB）0（D）P（BA）03 某射手的命中率为 p（0p1），该射手连续射击 n 次才命中 k 次（kn）的概率为（ ）（A）p k（1p） nk（B） Cnkpk（ 1p） nk（C） Cn1k1pk（1p nk（D）C n1k1pk1（1p） nk4 假设 X 是只可能取两个值的离散型随机变量
2、，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+Y 的分布函数（ ）（A）是连续函数（B）是阶梯函数（C）恰有一个间断点（D）至少有两个间断点5 设随机变量 X 的密度函数为 fX（x），Y=2X +3，则 Y 的密度函数为（ ）6 设随机变量（X，Y）的分布函数为 F（x，y），边缘分布为 FX（x）和 FY（y），则概率 PX x，Yy等于（ ）（A）1F（x，y）（B） 1FX（x）F Y（y）（C） F（x，y）F X（x）F Y（y）+1（D）F X（x） +FY（y）+F（x，y）17 设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则P1max（X，Y）2的值为（ ）8 设随机
3、变量 X1，X 2，X n（n1）独立同分布，且其方差 20，令 Y=则（ ）9 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于（ ）（A）1（B） 0（C）（D）110 设 X1，X 2，X m 是取自正态总体 N（0， 2）的简单随机样本，X 与 S2 分别是样本均值与样本方差，则（ ）二、填空题11 若在区间（0，1）上随机地取两个数 u，则关于 x 的一元二次方程 x22x+u=0 有实根的概率为_。12 每箱产品有 10 件，其中次品数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而
4、拒收。由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2 ，一件次品被误判为正品的概率为 10。则随机检验一箱产品，通过验收的概率 p=_。13 假设 X 服从参数 的指数分布，对 X 做三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 ，则 =_。14 设随机变量 XN（， 2），且二次方程 y2+4y +X=0 无实根的概率为 05，则 =_。15 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 则PX+Y1=_。16 设相互独立的两个随机变量 X 和 Y 均服从标准正态分布，则随机变量 XY 的概率密度函数的最大值等于_。17 某车间生产的圆盘其直径服从区间（a，b）上的均匀分布，
5、则圆盘面积的数学期望为_。18 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，其中 X服从区间0，6上的均匀分布，X 2服从正态分布 N（0，2 2），X 3 服从参数为 3 的泊松分布，则 D（X 12X2+3X3）=_。19 设 X1，X 2，X n 为取自总体 XN（， 2）的简单随机样本，记样本方差为S2，则 D（S 2）_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 已知 P（A）=0 5，P（B）=07，则（）在怎样的条件下，P（AB）取得最大值？最大值是多少？（）在怎样的条件下，P（AB）取得最小值？最小值是多少？21 随机地向圆 x2+ y2=2x 内投一点，该点落在
6、任何区域内的概率与该区域的面积成正比，令 X 表示该点与原点的连线与 x 轴正半轴的夹角，求 X 的分布函数和概率密度。22 袋中有 1 个红球，2 个黑球和 3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（）求 PX=1|Z=0；（）求二维随机变量（X，Y）的概率分布。23 设随机变量 X 在区间（0，1）上服从均匀分布，当 X 取到 x（0x1）时，随机变量 Y 等可能地在（x，1）上取值。试求：（）（X，Y）的联合概率密度；（）关 Y 的边缘概率密度函数；（）PX+Y 1。24 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率
7、分布为 PX=i= （i =1，0，1），Y的概率密度为 fY（y）= 记 Z=X+ Y。（）求（）求 Z 的概率密度 fZ（z）。25 某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10 件，现在从中随机抽取一件，记 试求：（）随机变量X1 与 X2 的联合分布；（）随机变量 X1 和 X2 的相关系数 。26 设各零件的质量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 05kg，均方差为 01kg，问 5 000 只零件的总质量超过 2 510kg 的概率是多少？27 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数（01），X 1，X 2，X n 为来自总体
8、 X 的简单随机样本，记 N 为样本值X1，X 2，X n 中小于 1 的个数，求 的最大似然估计。28 设总体 X 服从几何分布： p（x；p）=p（1 一 p） x1（x=1，2，3，）， 如果取得样本观测值为 x1，x 2，x n，求参数 p 的矩估计值与最大似然估计值。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 27 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 P（B|A）= P（AB）=P（A ），然而 P（BA ）=P（B ）P（AB），所以选项 B 正确。容易验证其余三个选
9、项与已知条件是等价的，事实上：【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 n 次射击视为 n 次重复独立试验，每次射击命中概率为 p，没有命中的概率为 1p，设事件 A=“ 射击 n 次命中 k 次”=“前 n1 次有 k1 次击中，且第 n 次也击中 ”，则 P （A）=C k1n1pk1（1p） n1（k1） p=C k1n1pk（1p） nk。 应选 C。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 对任意实数 t，根据概率性质得 0PX+Y=t=PX+Y=t，X=a+JPX+Y=t，X=b=PY=ta，X=a+PY=tb， X=bPY=ta+PY=
10、tb，又 Y 是连续型随机变量，所以对任意实数 c，有 PY=c=0。故对任意实数t，PX+Y=t=0 X+Y 的分布函数是连续函数，因此选 A。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 y=2x+3 是 x 的单调可导函数，其反函数 x=h（y）=根据随机变量函数的公式：故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 记事件 A=Xx，B=Yy ，则 PX x，Y y =P（ ）=1P（A B ）=1P（A）P（B）+P（AB）=1 PXxPYy+PXx，Yy=1FX（x）F Y（y）+F（x，y），故选项 C 正确。【知识模块】 概率
11、论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 P1max（X，Y）2=Pmax（X，Y ）2Pmax （X，Y）1=PX2，Y2PX1 ，Y1=PX2Py2一 PX1Py1故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 Cov（X 1，Y）= Cov（X 1 ，X i） 。而由X1，X 2，X n 相互独立，可得 Cov（X 1，X i）=0，i=2，3，n 。所以Cov（X 1，Y）= ，故选 A。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意，Y=nX，故 XY=1。应选 A。一般来说，两个随机变量 X 与 y 的相关系数
12、XY 满足| XY|1。若 Y=aX+b（a，b 为常数），则当 a0 时，XY=1，当 a0 时， XY=1。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 根据正态总体抽样分布公式知应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A=“方程 x22x+u=0 有实根”，因 u， 是从（0， 1）中任意取的两个数，因此点（u，）与正方形区域 D 内的点一一对应（如图 313所示）， 其中 D=（u，）|0u 1，01。事件 A=（u， ）|（2） 24u0，（u，）D，阴影 D1 满足事件 A，其中D1=（ u，） |2u，0 u
13、，1 。利用几何型概率公式，有【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 0892【试题解析】 设事件 A=“一件产品能够通过验收”，则 P（A）=p。事件 B=“任取一件产品为正品”， =“任取一件产品为次品”，则 A= 根据题设可知=098P（B）+1 P（B）0 1=01+088P（B）。显然 P（B ）与该箱产品中有几件次品有关，利用全概率公式计算 P（B）。设 Ci=“每箱产品含 i 件次品 ”（i=0，1，2），则C0，C 1，C 2 是一完备事件组，P（C 1）= ，故 B=C0B C1BC2B，且 P（B）=P（C 0）P（B| C 0）+P（C 1）P（B|C 1）+P
14、（C 2）P（B|C 2）故 p =01 + 0880 9 =0892。【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 根据独立试验序列概型，可求得结果。事实上，已知记 A=X2，Y 为对 X 做三次独立重复观察事件A 发生的次数，则 YB（3，p），其中 p=PX2= 2+exdx=e2，依题意PY1=1PY=0=1 一（1 一 p） 3=【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 4【试题解析】 设事件 A 表示“二次方程 y2+4y +X=0 无实根”，则 A=164X0=X 4，依题意，有 P（A）=Px4= 。而【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】
15、【试题解析】 已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y），求满足一定条件的概率 Pg（X，Y） z0，一般可转化为二重积分 Pg（X ，【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 根据题意可知，XYN（0，2），其概率密度函数f（x）的最大值在 x=0 处，最大值为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 设圆盘直径为 X，其概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 46【试题解析】 根据题设可知，D（X 1）= =3，D（X 2）=2 2=4，D（X 3）=3，于是 D（X 12X2+3X3）=D（X 1）+4D （X 2
16、）+9D（X 3）=3 +44 +93=46。【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 根据性质 2（n1）及 D2（n1）=2（n1），【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 （）由于 B。（）根据概率运算的加法原理，P（AB）=P（A）+P（B ）P（AB）=05+07P （AB）=12P（AB），因此可得 P（AB）=1 2P （AB）。因为 P（A B）1，所以P（AB）=12P （A B）121=0 2，即 P（AB）取得的最小值是 02，故 P（AB）=02 成立的条件是 P（A B）=1 。【知识模
17、块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 令 F（x ）为 X 的分布函数，则 F（x）=PXx ，由于 F（x）=0的取值范围为0， ，因此当 x0 时，F（x）=0；当 x 时，F（x）=1。当0x ，Xx 所代表的区域如图 325 中阴影部分。现计算它的面积，如图所示，阴影部分可分为两个三角形和两个扇形。其中每个三角形的面积均为每个扇形的面积均为S2= 2x12=z，则阴影部分的总面积 S（x）=sin2x+2x，所以【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 （）在没有取白球的情况下取了一次红球，根据压缩样本空间原则，相当于只有 1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球
18、。所以【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 （）根据题设 X 在（0，1）上服从均匀分布，因此其概率密度函数为 而变量 Y，在 X=x 的条件下，在区间（x，1）上服从均匀分布，所以其条件概率密度为再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度 f（x，y）=f X（x）f Y|X（y|x）= （）根据求得的联合概率密度，不难求出关于 Y 的边缘概率密度 fY（y）=f（x，y）dx=ln（1y）。（ ）如图 334 所示【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 （）（X 1，X 2）是二维离散型随机变量，其可能的取值为（0，0
19、），（0，1），（1，0），（1，1）。当（X 1，X 2）=（0，0）时，说明随机抽取的一件不是一等品，也不是二等品，则必为三等品，故 PX1=0，X 2=0=PX3=1=01。类似地 PX 1=0，X 2=1=PX2=1=01，PX 1=1，X 2=0=PX1=1=08，PX 1=1，X 2=1=P =0，故 X1 与 X2 的联合分布：（）由（）知，X 1 和 X2 的边缘分布均为 01 分布。由 01 分布的期望和方差公式得 E（X 1）=PX 1=1=0 8，D（X 1）=PX 1=1PX1=0=0802=016，E（X 2）=PX 2=1=01，D（X 2）=PX 2=lPX2=0
20、=0109=009，E（X 1X2）=000 1 +0101 +1008 +11 x0=0 Cov（X 1，X 2）=E（X 1X2）E（X 1）E（X 2）=008，则相关系数【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 根据独立同分布中心极限定理，设 Xi 表示第 i 只零件的质量（i=1， 2， ，5 000），且 E（X i）=05，D（X i）=0 1 2。设总质量为 Y=则有 E（Y） =5 00005 =2 500，D（Y） =5 00001 2=50，根据独立同分布中心极限定理可知 Y 近似服从正态分布 N（2 500，50），而 近似服从标准正态分布 N（0，1）所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 记似然函数为 L（），则两边取对数得 lnL（ ）=Nln+ （nN ）ln （l ），【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 已知总体 X 的概率函数的未知参数为 p，且总体 X 的一阶原点矩为 用样本一阶原点矩的观测值 作为 1（X）的估计值，则可得参数 p 的估计值为 所以可得参数 p 的矩估计值为参数 p 的似然函数为 两边同时取对数，并对参数 p 求导，令导函数取值为 0，解上述含参数 p 的方程，即得到 p 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计
