1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 32 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 Xi 的分布函数为 Fi(x)，且密度函数 fi(x)至多有有限个间断点，i=1，2 则( )（A）若 F1(x)F2(x)，则 f1(x)f2(x)（B）若 F1(x)F2(x)，则 f1(x)f2(x)（C）若 F1(x)F2(x)，则 f1(x)f2(x)（D）若 F1(x)F2(x)，则 f1(x)f2(x)2 设 A，B，C 为任意的三个事件，则与 A 一定互不相容的事件是( )3 设事件 A，B，C 满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则
2、( )（A）A，B 相互独立（B） AB 与 C 相互独立（C） A，B ， C 相互独立（D）以上结论均不正确4 设 A，B 为两个任意事件，则使减法公式 P(AC)=P(A)一 P(C)成立的 C 为( )（A）C=（B） C= B（C） C=(AB)(AB)（D）C=(AB)(BA)5 设事件 A 与 B 相互独立，且 C B，则 ( )（A）C 与 D 相互独立（B） C 与 D 不独立（C） C 与 D 互不相容（D）C 与 D 可能独立，也可能不独立6 甲、乙、丙 3 人依次从装有 7 个白球，3 个红球的袋中随机地摸 1 个球已知丙摸到了红球，则甲、乙摸到不同颜色球的概率为( )
3、7 5 个人以摸彩方式决定谁得一张电影票，今设 Ai 表示“第 i 个人摸到”，i=1，2 ，3， 4，5，则下列结论中不正确的是 ( )8 假设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)若 X 与一 X 有相同的分布函数，则对于任意实数 z，有( ) （A）F(x)=F( 一 x)（B） F(x)=一 F(一 x)（C） f(x)=f(一 x)（D）f(x)=一 f(x)9 设连续型随机变量 X 的密度函数和分布函数分别为 f(x)与 F(x)，则( )（A）f(x)可以是奇函数（B） f(x)可以是偶函数（C） F(x)可以是奇函数（D）F(x)可以是偶函数二、填空题10
4、已知事件 A 发生必导致事件 B 发生，且 0P(B)1，则 P(A )=_11 已知事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b如果事件 C 发生必然导致事件A 与 B 同时发生，则 A，B，C 都不发生的概率为_12 已知事件 A，B 满足 P(A)+P(B)=1，且 A 与 B 均不发生的概率等于 A 与 B 恰有一个发生的概率，则 A，B 同时发生的概率为_ 13 在 n 阶行列式 det(aij)nn 的展开式中任取一项，若此项不含元素 a11 的概率为，则此行列式的阶数 n=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设随机变量 X 服从参数为 0 的指数分
5、布，且 X 的取值于区间1，2上的概率达到最大，试求 的值15 假设目标出现在射程之内的概率为 07，这时一次射击命中目标的概率为06，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率16 已知 P(A)=x，P(B)=2x，P(C)=3x，且 P(AB)=P(BC)，试求 x 的最大值17 设 A，B 为两个任意事件，证明：P(AB)一 P(A)P(B) 18 12 个乒乓球中有 9 个新球，3 个旧球，第一次比赛时，从中任取 3 个球，用完后放回去，第二次比赛又从中任意取出 3 个球(1)求第二次取出的 3 个球中有 2 个是新球的概率；(2)若第二次取出的 3 个球中有 2 个是新球，求第一次取
6、到的 3 个球中恰有一个是新球的概率19 甲袋中有 4 个白球和 6 个黑球，乙袋中有 5 个白球和 5 个黑球，今从甲袋中任取 2 个球，从乙袋中任取一个球放在一起，再从这 3 个球中任取一球，求最后取到白球的概率20 袋中装有 4 枚正品均匀硬币，2 枚次品均匀硬币，次品硬币的两面均印有国徽在袋中任取一枚，将它投掷了 3 次，已知每次都得到国徽，求此硬币是正品的概率21 商店销售 10 台洗衣机，其中有 3 台次品，7 台正品若已知已售出洗衣机 4 台，求从剩下的洗衣机中任选一台是正品的概率22 设有 3 箱同型号产品，分别装有合格品 20 件，12 件和 15 件，不合格品 5 件，4
7、件和 5 件，现在任意打开一箱，并从箱内任取一件进行检验，由于检验误差，每件合格品被误验为不合格品的概率是 004，每件不合格品被误检为合格品的概率是 004，试求：(1)取到的一件产品经检验定为合格品的概率；(2)若已知取到的一件产品被检验定为合格品，则它确实真是合格品的概率23 设随机变量 X 服从参数为 0 的泊松分布，随机变量 Y 在 0 到 X 之间任取一个非负整数，试求概率 P(Y=2)24 设一个袋中共有 n 个黑球，现每次从中任意取出一球，然后放入一个白球若如此试验 n 次后，袋中自球数的数学期望为 a，试求第 n+1 次从袋中任取一球为白球的概率25 已知 x 的概率密度 f
8、(x)= ，试求： (1) 未知系数 a； (2)X 的分布函数 F(x)， (3)x 在区间(0， )内取值的概率26 向半径为 r 的圆内投掷一随机点，假设点一定落入圆内，而落入圆内的任何区域的概率只与该区域的面积有关且与之成正比试求：(1)落点到圆心距离 R 的分布函数 F(x)；(2)落点到圆心距离 R 的密度函数 f(x)27 设随机变量 X 的概率分布为 PX=1=PX=2= 在给定 X=i 的条件下，随机变量 Y 服从均匀分布 U(0，i)(i=1，2) (1)求 Y 的分布函数 Fy(y)； (2)求 E(Y)28 设随机变量 X 的概率分布为 P(X=k)= 的分布律29 设
9、随机变量 X 的概率密度为 试求 Y=X2+1 的密度函数30 设随机变量 X 的分布函数为 试求 Y=X2 的分布函数考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 32 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由积分的保号性即得。 因为 f1(x)f2(x)，故 xf1(t)dtxf2(t)dt， 即 F 1(x)F2(x)故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 根据事件相互独立的定义即得故选 D【知识模块】 概率论与数理统计4
10、 【正确答案】 C【试题解析】 因(AB)(AB)=A(AB)B(AB)=A(A B)=AB A，即此时C 是 A 的子事件，故有 P(AC)=P(A)P(C)故选 C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 令 C=A，D=B，显然 A 与 B 独立，即有 C 与 D 独立；另外，令P(C)0，P(D)0，且 ，则 C 与 D 一定不独立，因为此时 P(CD)P(C)P(D)故选 D【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 由于丙摸到了红球，故甲、乙可看成是在 7 个白球，2 个红球中各摸1 个球，由古典概率公式得所求概率为 C71C21C 92=
11、 故选 B【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X 与一 X 有相同的分布函数，故P(XX)=P(一 XX)，即 P(XX)=P(X一 X)，于是 F(X)=1 一 F(一 X)，两边求导得F(X)=F(一 X)故选 C【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 B【试题解析】 由分布函数 F(X)的非负性和单调增加性即可排除(C)，(D)；另外，由密度函数的性质可排除(A)故选 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计
12、11 【正确答案】 (1 一 a)(1b)【试题解析】 由于 C AB，P(AB)=P(A)P(B) ，故 A，B，C 都不发生的概率为 =1 一 P(ABC) =1 一 P(A)一 P(B)一 P(C)+P(AB)+P(BC)+(AC)一P(ABC) =1 一 abP(C)+ab+P(C)+P(C)一 P(C) =1 一 ab+ab=(1 一 a)(1b)【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 因为， 1 一 P(A)一 P(B)+P(AB)=P(A)一 P(AB)+P(B)一 P(AB)，即 3P(AB)=2P(A)+P(B)一 1故 P(AB)= 【知识模块】 概
13、率论与数理统计13 【正确答案】 2011【试题解析】 N 阶行列式的展开式中共有 N!项，而含有元素 a11 的项共有(n 1)!，故 即 n=2011【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 X 的分布函数为 F(x)= P(1X2)=F(2)一 F(1)=1一 e2一(1 一 e) =e一 e2记 g()=e 一 e2，则 g()=一 e+2e2令 g()=0 得 0=ln2，且 g“(0)0，故当 =0=ln2 时，P(1X2)达到最大【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 设 A=目标进入射程 ，B i=第 i 次射
14、击命中目标，i=1，2 ，B=两次独立射击至少有一次命中目标) 于是，所求概率 P(B)=P(AB)+=P(AB)=P(A)P(BA) =P(A)P(B 1B 2A) =P(A)P(B 1A)+P(B 2A)一P(B1B2A) =07(06+060606) =0588 =1 一 P( A)P(A)=(1 一04 2)07 =0588【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 因为 P(AB C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(BC)一 P(AC)+P(ABC) =x+2x+3xP(AB)一P(BC)+P(AC) 一 P(ABC) =6xP(AB)一P(AB)+P(AC
15、)一 P(ABC) =6xP(AB)一 P(ABAC) =6xP(AB)一 PA(BC)，而且 P(AB)P(A)=x，PA(B C)P(A)=x，故 1P(A BC)6x 一 xx=4x，即 x，图 33 表明 x 在 A=D1，B=D 1+D2，C=D 2+D3+D4 时取到最大值，其中 D1，D 2，D 3，D 4 将样本空间分成 4 等份：【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 不妨设 P(A)P(B)于是 P(AB)一 P(A)P(B)P(B)一 P(A)P(B)P(B)一 P(B)P(B) =P(B)1 一 P(B)【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 设 A
16、i=第一次比赛时取出 i 个新球，i=0，1，2，3， B=第二次比赛时取出的 3 个球中有 2 个是新球 (1)由全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设 B1=从甲袋中取到 2 个白球， B2=从甲袋中取到 1 个白球，1 个黑球 ，B 3=从甲袋中取到 2 个黑球，A 1=从乙袋中取到白球 ，A 2=从乙袋中取到黑球，A=最后取到白球由全概率公式得 P(A)=P(AB 1A1)P(B1A1)+P(AB 1A2)P(B1A2)+P(AB 2A1)P(B2A1) +P(AB 2A2)P(B2A2)+P(AB 3A1)P(B3A1)+P(AB 3A2)P(B3A2)【知
17、识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设 A1=取到正品硬币 ，A 2=取到次品硬币， B=将硬币投掷 3次，均得到国徽易知【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由古典概型得所求概率【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设 Ai=打开第 i 个箱子，i=1，2，3B 1=取到的一件产品确为合格品 ， B=取到的一件产品经检验定为合格品 (1)B 1 与 构成一个完备事件组，由全概率公式得 P(B)=P(B 1)P(BB 1)+ 由已知得 P(BB 1)=096 ， P(BB 1)=004 又 A1，A 2，A 3 构成一个完备事件组，于是再次利用全概率公式得【知
18、识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 P(X=k)= ，k=0 ，1，2，于是(X=0)，(X=1)，(X=k)，构成一个完备事件组由全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设 X 表示 n 次取球后袋中所含白球数，则 X 的可能取值为1，2，n，B=第 n+1 次从袋中取到白球 故由全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 试验为一个几何概型，样本空间为半径为 r 的圆域于是【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 (1)注意到X=1，X=2 构成一个完备事件组，由全概率公式得Y 的分布函数 F Y(y)=PYy=PX=1PYyX=1+PX=2PYyX=2【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 Y 的可能取值为一 1，0，1，且【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 先求 Y 的分布函数 F Y(y)=P(Yy)=P(X2+1y)=P(X2y 一 1)当y1 时，F Y(y)=0；【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 F Y(y)=P(Yy)=P(X2y)当 y0 时，F Y(y)=0；【知识模块】 概率论与数理统计
