1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 50 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电。以 E 表示事件“电炉断电”，而 T1T2T3T4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E=( )（A）T 1t0（B） T2t0（C） T3t0（D）T 4t02 设 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 A，B 相互独立的充要条件是( )3 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第
2、二次出现正面 ， A3=正反面各出现一次，A 4=正面出现两次 ，则事件( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立4 假设 X 为随机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0 的充分必要条件是( )（A）X 是离散型随机变量（B） X 不是离散型随机变量（C） X 的分布函数是连续函数（D）X 的概率密度是连续函数5 设随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (一 x)=(x)，F(x)为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有 ( )（A）F(一 a)=1 一 0a(x)dx（
3、B） F(一 a)= 一 0a(x)dx（C） F(一 a)=F(a)（D）F(一 a)=2F(a)一 16 设随机变量(X，Y) 的分布函数为 F(x，y)，边缘分布为 FX(x)和 FY(y)，则概率PXx，Yy等于( )（A）1 一 F(x，y)（B） 1 一 FX(x)一 FY(y)（C） F(x，y)一 FX(x)一 FY(y)+1（D）F X(x)+FY(Y)+F(x， y)一 17 设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max(X，Y)2的值为( )8 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且方差 20，记 Xi，则 X1 一 的相关系数
4、为( )（A）一 1（B） 0（C）（D）19 已知随机变量 X 与 Y 的相关系数为 且 0，Z=aX+b，则 Y 与 Z 的相关系数仍为 的充要条件是( )（A）a=1 ，b 为任意实数（B） a0，b 为任意实数（C） a0，b 为任意实数（D）a0 ，b 为任意实数10 设随机变量 X1，X n，相互独立，记 Yn=X2n 一 X2n1(n1)，根据大数定律，当n时 依概率收敛到零，只要X n：n1( )（A）数学期望存在（B）有相同的数学期望与方差（C）服从同一离散型分布（D）服从同一连续型分布11 设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n(n2)为取自总体的
5、简单随机样本，则对应的统计量 T1= 有( )（A）E(T 1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)（B） E(T1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)（C） E(T1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)（D）E(T 1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)12 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， 是样本均值，记 S12= ，则可以作出服从自由度为 n 一 1 的 t 分布统计量( )二、填空题13 在区间(0 ，1) 中随机地取出两个数，则“ 两数之积小于 ”的概率为_。14 已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX0=PY0= ，
6、设A=max(X，Y)0，B=max(X，Y) 0，min(x， Y)0，C=max(X，Y)0，min(X，Y)0 ，则 P(A)=_，P(B)=_，P(C)=_ 。15 设随机变量 X 服从几何分布 G()，其中 01，若 PX2= ，则 PX=3=_。16 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，已知 PX2=0062，PX9=0025 ，则概率 P|X|4=_。(154)=0938，(196)=0975)17 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 则PX+Y1=_。18 设相互独立的两个随机变量 X 和 Y 均服从标准正态分布，则随机变量 X 一 Y的概率密度函数的最大值等于_。1
7、9 设随机变量 X1 的分布函数为 F1(x)，概率密度函数为 f1(x)，且 E(X1)=1，随机变量 X 的分布函数为 F(x)=04F 1(x)+06F 1(2x+1)，则 E(X)=_。20 已知随机变量 XN(2，9)，Y 服从参数为 05 的指数分布，且 XY=一025，则 D(2X 一 3Y)=_。21 设总体 X 的概率分布为 ，其中 (0 )为未知参数，对总体抽取容量为 10 的一组样本，其中五个取 1，三个取 2，一个取 0。则 的矩估计值为_，最大似然估计值为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设 P(A)0，P(B)0，将下列四个数：P(A)，
8、P(AB)，P(A B)，P(A)+P(B) ，按由小到大的顺序排列，用符号“”联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立。23 设随机变量 X 的概率密度为 求 X 的分布函数 F(x)。24 袋中有 1 个红球，2 个黑球和 3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。()求 PX=1 | Z=0；()求二维随机变量 (X， Y)的概率分布。25 设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X 取到 x(0x1)时，随机变量 Y 等可能地在(x，1) 上取值。试求：()(X，Y) 的联合概率密度；()关于 Y 的边
9、缘概率密度函数；()PX+Y1。26 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 PX=i= (i=一 1，0，1)，Y 的概率密度为 fY(y)= 记 Z=X+Y。() 求 PZ= |X=0；()求 Z 的概率密度 fZ(z)。27 设随机变量 X 和 Y 的概率分布分别为P(X2=Y2)=1。()求二维随机变量(X，Y) 的概率分布；() 求 Z=XY 的概率分布；()求 X 与 Y 的相关系数 XY。28 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本。()求 的矩估计量；()求 的最大似然估计量。考研数学三（概率论与数
10、理统计）模拟试卷 50 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 T1T2T3T4，所以T 1t0 T2t0 T3t0 T4t0。因此，当有两个温控器显示温度大于等于 t0 时，E 发生，即当T 3t0和T 4t0发生时，E发生。又因为T 3t0发生时，T 4t0必发生，故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 0P(A)1，0P(B) 1，所以 A 与 B 相互独立 P(A|B)=P(A| )=1 一 =1，正确选项是 C。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】
11、 显然 P(A1)=P(A2)= ，且 A1 与 A2 相互独立。由于 A3=A1 A2，A 4=A1A2，所以 P(A 3)=P(A1 )+P( A2)=P(A1)P(A2)= ； P(A4)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= 。从而 P(A1A2)= ，P(A 1A3)=P(A1 ；P(A 2A3)=P( A2)= ；P(A 2A4)=P(A1A2)= ，P(A 3A4)=0。故诜项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 对任意实数 a 有 PX=a=0 是连续型随机变量的必要条件但非充分条件，因此选项 B、D 不能选，又离散型随机变量必有 a 使
12、 PX=a0，选项 A 不能选，故正确选项是 C。事实上，PX=a=0 F(a)一 F(a 一 0)=0 对任意实数a，F(a)=F(a 一 0) F(x)是 x 的连续函数。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 如图 324 所示，F（一 a）= a（x）dx= 一 a0（x）dx ，而 a0（x）dx= 0a（x）dx，所以 F(一 a)= 一 0a(x)dx。故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 记事件 A=Xx，B=Yy ，则 PXx，Y y= =1 一P(AB)=1 一 P(A)一 P(B)+P(AB)=1 一 P
13、Xx一 PYy+PXx，Yy=1 一 FX(x)一 FY(Y)+F(x，y)，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 P1max(X，Y)2=Pmax(X ，Y)2一 Pmax(X，Y)1=PX2，Y2一 PX1，Y1=PX2PY2 一 PX1PY1故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xi 独立同分布，所以 D(Xi)=2， ，Cov(X 1，X i)=0(i1)，故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 B【试题解析】 直接计算 Y 与 Z 的相关系数来确定正确选项。由于 C
14、ov(Y，Z)=Coy(Y，aX+b)=aCov(X，Y)，D(Z)=D(aX+b)=a 2D(X)，所以选择 B。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 因为 Xn 相互独立，所以 Yn 相互独立。选项 A 缺少“同分布“ 条件；选项 C、D 缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以选择 B。事实上，若 E(Xn)=，D(X n)=2 存在，则根据切比雪夫大数定理：对任意 0 有即 依概率收敛到零。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 因为 X 服从参数为 (0)的泊松分布，那么 E(Xi)=A，D(X i)=，i=
15、1，2，n，则所以 E(T1)E(T 2)，D(T 1)D(T 2)，故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 B【试题解析】 由于 2(n 一 1)，且这两个随机变量相互独立，故 t(n 一 1)，因此选 B。而 t(n 一 1)，故选项A 不正确。因为 S3 或 S4 与 X 不独立，所以 C 和 D 也不正确。故选 B。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题13 【正确答案】 (1+ln2)【试题解析】 记(0，1) 中任取的两个数为 X，Y，则(x，Y) =(x，y)|0x 1，0 y1 ， 为基本事件全体，并且取 中任何一点的可能性都一样，故该试验是几何概型，如图
16、 312 所示，事件 A=“两数之积小于(X，Y) A=(x，y)|xy ，0x1，0y1，由几何概型可得【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 首先分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率性质计算概率。由于 A=max(X，Y)0=X，y 至少有一个大于等于 0=X0Y0，所以 P(A)=PX0+PY0一 PX0，Y0= 又max(X，Y)0 min(X，Y)0 ，则 B=max(X，Y)0，min(X ，Y)0=max(X，Y)0= 。从而 P(B)= =1 一 P(A)=1 一 根据全集分解式知：A=max(X，Y)0=max(X，Y)0，min(
17、X，Y)0+max(X，Y)0，rain(X，Y)0=C+X0，Y0 ，故 P(C)=P(A)一 PX0，Y0=【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 PX2=PX=1+PX=2=0(1 一 )11+(1一 )21=22= ，解得 (舍)，故 PX=3=(1一 )2=【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 0.2946【试题解析】 要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率，首先必须求出分布参数 与 。根据题意有由题意已知，可得 于是 P|X|4=P一 4X4=(一 054) 一 (一 454)=0294 6。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】
18、【试题解析】 已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，求满足一定条件的概率 Pg(X，Y)z 0，一般可转化为二重积分 Pg(X，Y)z 0= f(x，y)dxdy进行计算。 根据题设可得，如图331 所示，【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据题意可知，XYN(0，2)，其概率密度函数f(x)的最大值在 x=0 处，最大值为 。【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 0.4【试题解析】 已知随机变量 X1 的分布函数为 F1(x)，概率密度函数为 f1(x)，可以验证 F1(2x+1)为分布函数，记其对应的随机变量为 X2，其中 X2 为
19、随机变量 X1 的函数，且 X2= ，记随机变量 X2 的分布函数为 F2(x)，概率密度函数为 f2(x)，所以 X 的分布函数为 F(x)=04F 1(x)+06F 2(x)，两边同时对 x 求导得 f(x)=0 4f1(x)+06f 2(x)，于是 +xf(x)dx=04 +xf1(x)dx+06 +xf2(x)dx，即E(X)=04E(X 1)+06E(X 2)=04E(X 1)+ =04。【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 90【试题解析】 D(2X 一 3Y)=4D(X)+9D(Y)一 2Cov(2X，3Y)=4D(X)+9D(Y)一 12XY其中 D(X)=9，D(
20、Y)=4，代入得 D(2X 一 3Y)=90。【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 根据矩估计，最(极)大似然估计及经验分布函数定义，即可求得结果。事实上，设 E(X)= E(X)=2(1一 )+2(1一 )2=2(1 一 )。令2(1 一 ）= ，解得 的矩估计量 ，由样本值，可得 （ 51+32+20) = 故 矩估计值为 又样本似然函数 L()= p(xi；)=2(1 一 )5(1 一 )2322=259(1 一 )11，则有lnL=5ln2+9ln+1lln(1一 )，令 即 最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
21、或演算步骤。22 【正确答案】 A、AB、AB 之间的所属关系为 AB A AB，故有 P(AB)P(A)P(AB)，根据概率的加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)，得 P(AB)P(A)+P(B)，因此四个数由小到大排列为 P(AB)P(A)P(AB)P(A)+P(B)。P(AB)=P(A)成立的条件是 AB=A，即 A B。P(A)=P(AB)成立的条件是 A=AB，即 BA。P(AB)=P(A)+P(B)成立的条件是 P(AB)=0，即 AB= 。【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 当 x1 时，F(x)=0 ；当 1x2 时，则当 x2 时，F(x)=1
22、。综上所述，X 的分布函数 F(x)为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 在没有取白球的情况下取了一次红球，根据压缩样本空间原则，相当于只有 1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球。所以P(X=1|Z=0)= ()X ，Y 取值范围为 0，1，2，故【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 () 根据题设 X 在(0，1) 上服从均匀分布，因此其概率密度函数为 而变量 Y，在 X=x 的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度 f(x，y)= fX (x) fY|X (y|x)=()根据求得
23、的联合概率密度，不难求出关于 Y 的边缘概率密度当 0y1 时，f Y (y)= + f(x，y)dx= 0 y =一 ln(1 一 y)；当 y0或 y1 时，f Y (y)=0，所以 f Y (y)= ()如图 334 所示【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 () 由于 P(X2=Y2)=1，因此 P(X2Y2)=0。故 P(X=0，Y=1)=0，可知 P(X=1，Y=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=0，Y=1)=P(Y=1)= 再由 P(X=1，Y=0)=0 可知 P(X=0，Y=0)=P(x=1，Y=0)+P(X=0
24、，Y=0)=P(Y=0)= 同理，由 P(X=0，Y=一1)=0 可知 P(X=1，Y= 一 1)=P(X=1，Y= 一 1)+P(X=0，Y=一 1)=P(Y=一 1)= 这样，就可以写出(X，Y) 的联合分布如下：()Z=XY 可能的取值有一 1，0，1。其中 P(Z=一 1)=P(X=1，Y=一 1)= ，P(Z=1)=P(X=1 ，Y=1)= 则有 P(Z=0)= 。因此，Z=XY 的分布律为()E(X)= ，E(Y)=0，E(XY)=0，Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X).E(Y)=0，所以【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 令E(X)= ，得到矩估计量 ()对于总体 X 的样本值x1，x 2，x n，其似然函数为 L(x1，x 2，x n；)=f(x 1；)f(x 2；)f(x n；)=2n (x1 x2，x n) 3 lnL=2nln31n(x1 2，x n)一得到最大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计
