1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 56 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 XN(，4 2)，YN(，5 2)，令 pP(X4)，qP(Y 5)，则( )（A）Pq（B） Pq（C） pq（D）p，q 的大小由 的取值确定2 设 X 为随机变量，E(X) ，D(X) 2，则对任意常数 C 有( )（A）E(XC) 2E(X) 2（B） E(X C)2E(X) 2（C） E(XC)2E(X 2)C 2（D）E(XC) 2E(X) 23 设 X，Y 都服从标准正态分布，则( )（A）XY 服从正态分布（B） X2Y2 服从 2 分布（C） X2，
2、Y 2 都服从 2 分布（D）X 2Y 2 服从 F 分布4 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有 ( )（A）F(a)1 0af(x)dx（B） F(a) 0af(x)dx（C） F(a)F(a)（D）F(a)2F(a) 15 设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（A）1（B） 0（C）（D）1二、填空题6 设事件 A，B 相互独立，P(A)03，且 P(A )07，则 P(B)_7 设随机变量 XN(， 2)，且方程 x24xX0 无实根的概率为 ，则_8 设 X
3、P(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(XY2)_9 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且 X1U0，6，X 2N(0，2 3)，X 3P(3) ，记 YX 12X 23X 3，则 D(Y)_10 设随机变量 X 方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 PXE(X)2_11 设 X 为总体，(X 1，X 2，X n)为来自总体 X 的样本，且总体的方差DX 2，令 S02 ，则 E(S02)_12 三次独立试验中 A 发生的概率不变，若 A 至少发生一次的概率为 ，则一次试验中 A 发生的概率为_13 设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 ，且 E(X)0，E(Y)1，E
4、(X 2)4，E(Y 2)10，则 E(XY) 2_ 14 设 XN(1， 2)，YN(2， 2)为两个相互独立的总体，X 1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 分别为来自两个总体的简单样本，服从_分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 一批产品有 10 个正品 2 个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率16 设 XN(0，1) ，YX 2，求 Y 的概率密度函数17 设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为则在 Y1 的条件下求随机变量 X的条件概率分布18 设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 f(x) 设AXa与 BYa相互独立
5、，且 P(AB) 求：(1)a；(2)E 19 设 XU(1，1) ，Y X2，判断 X，Y 的独立性与相关性20 设总体 X 的概率密度为 f(x) ，其中未知参数 0，设X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单样本(1)求 的最大似然估计量； (2)该估计量是否是无偏估计量? 说明理由21 设事件 A，B 独立证明：事件 A， 都是独立的事件组22 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 独立同分布，且 Xi (i1，2，3，4)，求 X 的概率分布23 设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)_ 24 设随机变量 X
6、1，X 2，X mn (mn)独立同分布，其方差为 2，令求：(1)D(y)，D(z)； (2) YZ25 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，所服从的分布考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 56 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 pP(X 4)P(X4) P，qP(Y5)P(Y5)P，得 pq ，选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 E(XC) 2一 E(X) 2E(X 2)一 2CE(X)C 2E(X 2)2E(X) 2 C 22
7、E(X)E(X) CE(X) 2CE(X) 20，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X，Y 不一定相互独立，所以 XY 不一定服从正态分布，同理(B)， (D)也不对，选(C)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 F( a) a f(x)dx a f(t)dt a f(t)dt1 af(t)dt1( a f(t)dt a af(t)dt)1F(a)2 0af(t)dt 则 F(a) 0af(x)dx，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 设正面出现的概率为 P，则 XB(n，p) ，Y n
8、XB(n ，1p)，E(X) np，D(X)np(1 p)，E(Y) n(1p) ，D(Y)np(1p) ，Coy(X，Y)Cov(X，nX)Cov(X，n)Cov(X，X) ，因为 Cov(X，n) E(nX)E(n)E(X)nE(X)nE(X)0，Cov(X，X)D(X) np(1 p)，所以 XY1，选(A)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 4【试题解析】 因为方程 x24xX0 无实根，所以 164X 0，即 X4由XN(， 2)且 P(X4) ，得 4【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】
9、【试题解析】 P(X Y2) P(X 0，Y2)P(X1，Y1)P(X2，Y0)，由 X，Y 相互独立得 P(XY2) P(X0)P(Y2)P(X1)P(Y 1)P(X2)P(Y0)【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 46【试题解析】 由 D(X1) 3，D(X 2)4，D(X 3)3 得 D(Y)D(X 12X 23X 3)D(X 1)4D(X 2)9D(X 3)3162746【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 PXE(X)2 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 2【试题解析】 E(S 02) 2【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确
10、答案】 【试题解析】 设一次试验中 A 发生的概率为 p，B三次试验中 A 至少发生一次 ，则 P(B) ，又 P(B)1 1(1p) 3，所以有 1(1P) 3 解得 p，即第一次试验中 A 发生的概率为 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 18【试题解析】 D(X)E(X 2)E(X) 24，D(Y)E(Y 2)E(Y) 29，Cov(X，Y) XY 2，D(X Y)D(X)D(Y)2Cov(X，Y)49417，则 E(XY) 2D(XY) E(X Y)217118【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写
11、出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 A1第一次抽取正品 ，A 2第一次抽取次品，B 第二次抽取次品 ，由全概率公式得 P(B)P(A 1)P(BA 1)P(A 2)P(BA 2)【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 FY(y)P(Yy)P(X 2y)当 y0 时，F Y(y)0；当 y0 时，F Y(y)P【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 因为 P(Y1)06，【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 (1)因为 P(A)P(B)且 P(AB)P(A)P(B)，所以令 P(A)p，于是2pp 2 ，解得 p ，即 P(A)P(Xa) ，而
12、 P(Xa) a2 x2dx (8a 3) ，解得 a 【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 Cov(X，Y)E(XY)E(X)F(Y)，E(X)0，E(XY)E(X 3) 1 1dx0，因此 Cov(X，Y)0，X，Y 不相关；判断独立性，可以采用试算法【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 (1)设 x1，x 2，x n 为样本值，似然函数为当 xi0(i 1，2，n)时，lnL()nln xi0，得 的最大似然估计值为 ，因此 的最大似然估计量为 (2)由于 EE(Xi)E(X)，而 E(X)，所以 E 为参数 的无偏估计量【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确
13、答案】 由 A，B 独立，得 P(AB)P(A)P(B)，由 P(A )P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B)P(A)1P(B)P(A)P( )，得 A， 独立，同理可证，B 独立；由 P 1P(AB)1P(A)P(B) P(AB)1 P(A)1P(B)P 独立【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 X X 1X4X 2X3，令 UX 1X4，V X 2X3，且U，V 独立同分布P(U1)P(X 11，X 41)016，P(U0)084，X 的可能取值为1，0，1P(X1)P(U0，V1)P(U0)P(V1)0840 1601344，P(X1)P(U1，V0)P(U1)
14、P(V0)0160 8401344，P(X0)120 1344 07312，于是 X【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 X 的分布律为 P(Xk)0208 k1 ，k1，2，【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (1)因为 X1，X 2，X mn 相互独立，所以 D(Y) D(Xi)n 2，D(X) D(Xmk )n 2(2)Cov(Y，Z)Cov(X 1X m)(X m 1 X n)，X m1 X mn Cov(X 1X m，X m1 X mn )Cov(X m1 X n，X m1 X mn )D(X m1 X n)Cov(X m1 X n，X n1 X mn )(nm) 2【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计
