1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 的指数分布，Y 的分布律为PY=1=PY=一 1 = ，则 X+Y 的分布函数( )（A）是连续函数（B）恰有一个间断点的阶梯函数（C）恰有一个间断点的非阶梯函数（D）至少有两个间断点2 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是( )（A）X=Y（B） PX=Y=0（C）（D）PX=Y=1 3 设随机变量(X，Y) 的分布函数为 F(x，y)，边缘分布为 FX(x)和 FY(y)，则概率PXx，Yy
2、等于( )（A）1 一 F(x，y)（B） 1FX(x)一 FY(y)（C） F(x，y)一 FX(x)一 FY(y)+1（D）F X(x)+FY(y)+F(x，y)一 14 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是( )（A）X 2（B） XY（C） X+Y（D）(X，Y)5 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其分布函数分别为 FX(x)与 FY(y)，则Z=maxX，Y的分布函数 FZ(z)是( )（A）maxF X(z)，F Y(z)（B） FX(z)+FY(z)一 FX(z)FY(z)（C） FX(z)FY(z)（D）
3、6 设随机变量 X1 与 X2 相互独立，其分布函数分别为则 X1+X2 的分布函数 F(x)=( )7 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（A）X+Y 一定服从正态分布（B） X 和 Y 不相关与独立等价（C） (X，Y)一定服从正态分布（D）(X，一 Y)未必服从正态分布8 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且有相同的分布：PX i=一 1=PXi=1= (i=1，2)，则( )（A）X 1 与 X1X2 独立且有相同的分布（B） X1 与 X1X2 独立且有不同的分布（C） X1 与 X1X2 不独立且有相同的分布（D）X 1 与 X1X2 不独立且有不同的分布9 已知
4、随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y)|一 1x1，一 1y1)上服从均匀分布，则( )10 设相互独立的两随机变量 X 与 Y，其中 XB ，而 Y 具有概率密度 f(y)= 则 PX+Y 的值为( )二、填空题11 已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，如果 Pmax(X，Y) =a(0a1) ，则 Pmin(X，Y) =_ 12 假设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立且都服从 0 一 1 分布：PX i=1=p，PX i=0=1p(i=1， 2，3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 则 p=_13 设随机变量 X1 和 X2 相互独立
5、，它们的分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，已知F1(x)= 则 X1+X2 的分布函数 F(x)=_14 假设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，Y=|X|，则(X，Y) 的联合分布函数F(x，y)=_15 已知(X，Y)的概率分布为 且 PX2+Y2=1 =05，则 PX2Y2=1 =_16 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，其中 (x)为标准正态分布函数，则(X，Y) N(_)17 已知随机变量 X1 和 X2 相互独立，且分别服从参数为 1， 2 的泊松分布，已知PX1+X2 0 = 1 e -1，则 E(X1+X2)2=_18 假设随机变量
6、X 在一 1，1上服从均匀分布， a 是区间一 1，1上的一个定点，Y 为点 X 到 a 的距离，当 a=_时，随机变量 X 与 Y 不相关19 已知随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2)，如果随机变量 Y=X1X2X3 的方差 D(Y)= 则 2=_20 设随机变量 X 和 Y 均服从 且 D(X+Y)=1，则 X 与 Y 的相关系数=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为 P(=i)=，i=1 ，2， 3又设 X=max(，)，Y=min(，)(I)写出二维随机变量的分布
7、率：()求随机变量 X 的数学期望 E(X)22 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y) 联合分布率及关于 X 和关于 Y 的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处23 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 (0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立Y 为中途下车的人数，求：(I)在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；()二维随机变量 (X， Y)的概率分布24 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为求：(I)系数 A；()(X ，Y)的联合分布函数；()边缘概率密度； ()(X，Y)落
8、在区域 R：x0，y0，2x+3y 6 内的概率25 设随机变量 X 与 Y 独立，X 在区间0，2上服从均匀分布，Y 服从指数分布e(2)，求：(I)二维随机变量(X，Y)的联合概率密度；()概率 P(XY)26 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求：(I)(X，Y)的边缘概率密度 fX(x),fY(y)； ()Z=2X 一 Y 的概率密度 fZ(z)27 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为(I)求 PX2Y；()求 Z=X+Y 的概率密度28 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 PX=i= (i=一 1，0，1)，Y 的概率密度为 fY(y)= 记 Z=X+Y(I)求
9、 ()求 Z 的概率密度 fZ(z)29 袋中有 1 个红球，2 个黑球和 3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数(I)求 PX=1 | Z=0；()求二维随机变量 (X，Y) 的概率分布考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 依题意要通过确定 Z=X+Y 分布函数 FZ(z)有几个间断点来确定正确选项由于 FZ(z)在 Z=a 间断 FZ(a)一 FZ(a0)0 PZ=a0，所以可通过计算概率 PZ=a来确定正确
10、选项 根据全概率公式可知，对任意的 aRPX+Y=a=PX+Y=a，Y=1+PX+Y=a，Y=一 1 =PX=a 一 1，Y=1+PX=a+1 ，Y=-1 PX=a 一 1+PX=a+1=0，所以 X+y 的分布函数是连续函数，故选项 A 正确【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 因为随机变量 X 和 Y 可以取不同的值，所以排除选项 A，D又因为 X 和 Y 也可以取相同的值，所以排除选项 B，故选项 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 记事件 A=XX，B=YY，则 PXx，Yy= =1 一 P(A B)=1 一 P(A)一 P
11、(B)+P(AB)=1 一 PXx一 PYy+PXx，Yy=1 一 FX(x)一FY(y)+F(x，y)，故选项 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 根据 X，Y 的独立性可知，(X，Y)的联合密度 f(x，y)=因此(X，Y)服从区域 D=(x，y)|0 x1，0y1上的二维均匀分布，故选项 D 正确【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=Pmax(X，Y)z=PXz ，Yz =PXz.PXz=F X(z).FY(z)，故选项 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意知 X1，为
12、离散型随机变量，其分布律为F(x)=PX1+X2x =PX1=0PX1+X2x|X1=0+PX1=1PX1+X2x|X1=1=故选项 D 正确【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 不成立，例如，若 Y=一 X，则 X+Y=0 不服从正态分布选项 C 不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布选项 B 也不成立，因为只有当 X 和 Y 的联合分布是二维正态分布时“X和 Y 独立”与“X 和 Y 不相关”二者等价故应选 D虽然随机变量 X 和一 Y 都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一 Y)未必服从正态分布
13、【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 根据题设知 X1X2 可取一 1，1，且 PX 1X2=一 1=PX1=一 1，X 2=1+PX1=1，X 2=一 1 =PX1=一 1PX2=1+PX1=1PX2=一 1= 又 PX1=一 1，X 1X2=一 1=PX1=一 1，X 2=1= 所以 X1 与 X1X2 的概率分布为从而 X1 与 X1X2 有相同的分布且相互独立，故选项 A正确。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 根据题设知(X，Y)的概率密度函数为所以选项 A、B、C 都不正确故选 D【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】
14、 A【试题解析】 X 取值只能是 X=0 或 X=1，将 X=0 和 X=1 看成完备事件组，用全概率公式有故选项 A 正确【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 a【试题解析】 Pmax(X ， Y)=PX Y =PX +PY 一PX，Y= =Pmin(X，Y)=a【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 记 =X1X4 一 X2X3，则 P 应使 P0=PX 1X4 一X2X30=PX 1X4X 2X3= ，因为 Xi 仅能取 1 或 0，且相互独立，故事件X1X4X 2X3=X1X4=1，X 2X3=0，所以 =PX1=1，X 4=1，X 2=0
15、，X 3=0+PX1=1，X 4=1，X 2=0， X3=1+PX1=1，X 4=1X 2=1，X 3=0=p2(1 一 p)2+p3(1 一p)+p3(1 一 p)=p2(1 一 p2)=p2 一 p4，则 p4 一 p2+【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 X 1 的分布函数为 F1(x)，则 X1 即 PX1=0= ，PX 1=1= 根据全概率公式，可得 F(x)=PX1+X2x =PX1=0PX1+X2x|X1=0+PX1=1PX1+X2x|X1=1【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，X 的概率密度函数为 所以PX0=1
16、，则 F(x，y)=P Xx，|X|y =PXx，Xy，X 0；【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 03【试题解析】 由于 01+02+01+02=06+=1，即 +=0.4， 又05=PX 2+Y2=1=PX2=0，Y 2=1+PX2=1，Y 2=0 =PX=0，Y=1+PX=0，Y=一1+PX=1，Y=0 =+0 1+01 故 =03，=01 那么 PX2Y2=1=PX2=1，Y 2=1=PX=1， Y=1+PX=1，Y=一 1 =02+=03【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 (X,Y)的分布函数为 (2x+1)(2y 一 1)，所以可知 X，Y
17、 独立根据正态分布XN(， 2)的标准化可知【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 2【试题解析】 已知 XiP( i)且 X1 与 X2 相互独立所以 E(Xi)=D(Xi)=i(i=1，2)， E(X1+X2)2=E(X12+2X1X2+X22)=E(X12)+2E(X1)E(X2)+E(X22) =1+12+212+2+22=1+2+(1+2)2 因为 P(X1+X20)=1 一 P(X1+X20)=1P(X1+X2=0)=1 一 P(X1=0，X 2=0)=1 一 P(X1=0)P(X2=0)=所以 1+2=1故 E(X1+X2)2=1+2+(1+2)2=2【知识模块】 概率
18、论与数理统计18 【正确答案】 0【试题解析】 已知 Xf(x)= E(X)=0，依题意 Y=|X 一 a|，a 应使 E(XY)=E(X)E(Y)=0其中【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 已知随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，则 X12，X 22，X 32 相互独立又因 E(Xi)=0，E(X i2)=D(Xi)=2故 D(Y)=D(X1X2X3)=E(X1X2X3)2-E2(X1X2X3)=EX12X22X32一E(X 1)E(X2)E(X3)2=E(X12)E(X22)E(X32)=(2)3=【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 1【试题
19、解析】 根据题意可知 D(X)=D(Y)= ，且【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 (I)根据 X=max(，)，Y=min( ， )的定义可知，PXY=0 ，即 PX=1，Y=2=P(X=1，Y=3)=P(X=2，Y=3)=0 ， 同时有， P X=1，Y=1=P=1，=1=P=1.P=1= ， P X=2，Y=2=P=2，=2=P=2.P=2= ， P X=3，Y=3=P=3 ，=3=P=3.P=3= ， PX=2，Y=1=P=1，=2+P=2 ，=1= ， P X=3，Y=2=P=2，=3+P=3，=2= ， PX=3，Y=
20、1= ；所以所求的分布律为()X 的边缘分布为因此 X 的数学期望为 E(X)=【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 (I)PY=m | X=n=Cnmpm(1 一 p)n-m，0mn ，n=0，1，2，()P X=n，Y=m=Px=nPY=m|X=n= .Cnmpm(1 一 P)n-m，0mn， n=0，1，2， 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (I)根据分布函数的性质 -+-+f(x,y)dxdy=0+0+Ae-(2x+3y)dxdy=，解得 A=6( )将 A=6 代入得(X，Y)的联合概率密度为所以当 x0
21、，y0 时， F(x，y)= 0y0x6e-(2x+3y)dxdy=60xe-2xdx0ye-3ydy=(1 一 e-2x)(1 一 e-3y)，而当 x 和 y 取其它值时，F(x ，y)=0 综上所述，可得联合概率分布函数为()当 x0 时，X 的边缘密度为 f X(x)=X6e-(2x+3y)dy=2e-2x，当 x0 时,f X(x)=0因此 X 的边缘概率密度为同理可得 Y 的边缘概率密度函数为(IV)根据公式 已知R：x 0，y0，2x+3y 6，将其转化为二次积分，可表示为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (I)已知 X 在区间0 ，2上服从均匀分布，Y 服从指数
22、分布 e(2)，因此可得 根据随机变量独立的性质，可得 ()当 x0 或者x2 时，f(x，y)=0，因此区域 xy 为 y 轴和 x=2 之间，且在直线 y=x 上方的无界区域，所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分，所以可表示为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 (I)已知(X，Y)的概率密度，所以关于 X 的边缘概率密度所以，关于 Y 的边缘概率密度()设FZ(z)=PZz=P2X 一 Yz，(1)当 z0 时，F Z(z)=P2X 一 Yz=0；(2)当0z2 时，F Z(z)=P2XYz= (3)当 z2 时，F Z(z)=P2X 一 Yz=1。所以 FZ(z)的即分
23、布函数为： 故所求的概率密度为：【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 (I)已知 X，Y 的概率密度，所以 PX2Y=()先求 Z 的分布函数：(1)当 z0 时，F Z(0)=0；(2)当0z1 时，F Z(z)=0zdy0z-y(2 一 x 一 y)dx= (3)当 1z2 时，F Z(z)=1 一P(X+YZ)=1 一 z-11dyz-y1(2 一 x 一 y)dx= (4)当 z2 时，F Z(z)=1 故 Z=X+Y 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 (I)在没有取白球的情况下取了一次红球，根据压缩样本空间原则，相当于只有 1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球所以()X，Y 取值范围为 0，1，2，故【知识模块】 概率论与数理统计
