1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 63 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f1(x)，f 2(x)，它们的分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，则( )（A）f 1(x)f 2(x)为某一随机变量的密度函数（B） f1(x)f2(x)为某一随机变量的密度函数（C） F1(x)F 2(z)为某一随机变量的分布函数（D）F 1(x)F2(x)为某一随机变量的分布函数2 设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则( )（A）Pmax(X，Y)0)（B） Pmin(X，Y)0
2、) （C） P(XY)0)（D）P(XY)0)3 设(X 1，X 2，X 3)为来自总体 X 的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )（A）（B） kX12(1k)X 22X 32（C） X122X 22X 32（D）4 下列命题不正确的是( )（A）若 P(A)0，则事件 A 与任意事件 B 独立（B）常数与任何随机变量独立（C）若 P(A)1，则事件 A 与任意事件 B 独立（D）若 P(AB)P(A)P(B)，则事件 A，B 互不相容5 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（A）XY 一定服从正态分布（B） (X，Y)一定服从二维正态分布（C） X 与 Y 不相关，则 X，
3、Y 相互独立（D）若 X 与 Y 相互独立，则 XY 服从正态分布二、填空题6 设口袋中有 10 只红球和 15 只白球，每次取一个球，取后不放回，则第二次取得红球的概率为_7 设随机变量 X 的分布律为 X ，则 YX 22 的分布律为_8 随机变量 X 的密度函数为 f(x)ke x (x)，则 E(X2)_9 设 x，y 为两个随机变量，D(X)4，D(Y) 9，相关系数为 ，则 D(3X2Y)_10 若总体 XN(0，3 2)，X 1，X 2，X 9 为来自总体样本容量为 9 的简单随机样本，则 Y 服从_分布，其自由度为 _11 独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 AX Y
4、10，BXY，则 P(AB)_12 设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Zmin(X ，Y)，则P(0Z1) _13 设 X1，X 2，X 100 相互独立且在区间1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 袋中有 12 只球，其中红球 4 个，白球 8 个，从中一次抽取 2 个球，求下列事件发生的概率：(1)2 个球中 1 个是红球 1 个是白球；(2)2 个球颜色相同15 有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球 3 个黑球，如果任取一个盒子，
5、从中任取 3 个球，以X 表示红球个数(1)写出 X 的分布律； (2)求所取到的红球数不少于 2 个的概率16 随机变量(X，Y) 的联合密度函数为 f(x,y)(1)求常数 A； (2)求(X ，Y)落在区域 x2y 2内的概率17 设 X，Y 相互独立，且 XB(3， )，YN(0， 1)，令 Umax(X，Y)，求P1U196(其中 (1)0841，(196)0975)18 设某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记 Xi (i1，2，3)(1)求(X 1，X 2)的联合分布； (2)求 X1，X 2 的相关系数19 设
6、 X1，X 2，X 7 是总体 XN(0，4)的简单随机样本，求 P( 64)20 甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候的概率21 设随机变量 X 的概率密度为 fX(x) ，求 Ye X 的概率密度fY(y)22 设随机变量 X，Y 相互独立，且 又设向量组 1， 2， 3 线性无关，求 1 2， 2X 3，Y 1 线性相关的概率23 设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望
7、24 电话公司有 300 台分机，每台分机有 6的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于 095？25 设总体 X 的概率分布为(0 )是未知参数用样本值 3，1，3，0，3，1，2，3 求 的矩估计值和最大似然估计值26 设总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，X 1，X 2，X 3 是来自总体的简单随机样本证明： 都是参数 的无偏估计量，试比较其有效性考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 63 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D
8、【试题解析】 可积函数 f(x)为随机变量的密度函数，则 f(x)0 且 f(x)dx1，显然(A)不 对，取两个服从均匀分布的连续型随机变量的密度函数验证，(B)显然不对，又函数 F(x)为 分布函数必须满足： (1)0F(x)1；(2)F(x)单调不减；(3)F(x)右连续；(4)F()0， F()1，显然选择(D)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 N 为 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，所以 XYN(0，8)，从而 P(XY0) ，P(XY0) ，故(C)、(D)都不对；Pmax(X，Y)0)1Pmax(X ，Y)0)1P(X0，Y0)1P(X0
9、)P(Y0)，因为 XN(0，4)，YN(0 ，4) ，所以 P(X0)P(Y0) ，从而有 Pmax(X，Y) 0 ，(A) 不对；Pmin(X，Y)0) P(X0，Y0)P(X0)P(Y0) ，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 因为统计量为样本的无参函数，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 P(A)0 时，因为 AB A，所以 P(AB)0，于是 P(AB)P(A)P(B)，即 A， B 独立；常数与任何随机变量独立；若 P(A)1，则P ，B 独立，则 A，B 也独立，因为 P(AB)P(A)P(B)，得 P(AB
10、)0，但 AB 不一定是不可能事件，选(D)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 若 X，Y 独立且都服从正态分布，则 X，Y 的任意线性组合也服从正态分布，选(D) 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 设 A1 第一次取红球 ，A 2第一次取白球 ，B 第二次取红球，则 P(B)P(A 1B)P(A 2B)P(A 1)P(BA 1)P(A 2)P(BA 2)【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 Y 的可能取值为 2，3，6，P(Y2)P(X0) ，P(Y3)P(X1) ，P(Y 6)P(X2)P(X 2)
11、,则 Y 的分布律为 Y【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 2【试题解析】 因为 f(x)dx1，所以 kex dx2k 0 ex dx2k1，解得 k ，于是 E(X2) x2f(x)dx 20 x2ex dx(3) 2!2【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 36【试题解析】 Cov(X，Y) XY 3，D(3X2Y) 9D(X)4D(Y) 12Cov(X，Y)36【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 9【试题解析】 因为 XiN(0，3 2)(i1，2，9)，所以 N(0 ，1)(i1，2，9) 且相互独立，故 Y Xi2 2(9)，自由度为 9【知识模
12、块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 P(A)PX4，Y6PX 5，Y5)PX6，Y4)3，P(B) PX 2，Y1PX3，Y1P(X3，Y2)PX4，Y3 PX4，Y2PX 4，Y 1 PX5，Y 4PX5，Y3 PX5，Y2PX 5，Y 1 PX6，Y 5PX6，Y4 PX6，Y3PX 6，Y 2 PX6，Y 1P(AB) PX 6，Y4 ，则 P(AB)P(A)P(B)P(AB)【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 由 X，Y 在(0，2)上服从均匀分布得因为 X，Y 相互独立，所以 FZ(z)P(Zz)1P(Zz) 1Pmin(X，Y)z 1
13、P(Xz，Yz)1P(Xz)P(Yz)1 1 P(Xz)1P(Yz)11F X(z)1F Y(z)于是P(0Z1) FZ(1)F Z(0)1 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 0.8413【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 (1)令 A 抽取的 2 个球中 1 个是红球 1 个是白球，则(2)令 B(抽取的 2 个球颜色相同)，则 P(B)【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 (1)令 Ak所取的为第 k 个盒子(k1，2，3)，P(A i) (i1，2，3) ，X 的可能取值为 0，1，
14、2，3，P(X0)P(X0A 3)P(A3)，P(X1)P(X1A 2)P(A2)P(X1A 3)P(A3)；P(X2)P(X2A 1)P(A1)P(X2A 2)P(A2)P(X2A 3)P(A3)；P(X3)P(X3A 1)P(A1)P(X3A 2)P(A2) ；所以 X 的分布律为 X【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由 1 dx f(x,y)dy(2)令区域D：x 2y 2 ，(x，y)落在区域 D 内的概率为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 P(Uu)Pmax(X，Y)u)PXu，YuP(Xu)P(Yu)，P(U196)P(X196)P(Y196)P(X
15、0)P(X1)P(Y196)(196) 04875P(U1)P(X1)P(Y1) (1)04205，则P(1U196)P(U196)P(U1)0067【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 (1)(X 1， X2)的可能取值为(0，0)， (0，1)，(1，0)，(1，1)P(X 10，X 20)P(X 31)01，P(X 10，X 21)P(X 21)01，P(X 11，X 20)P(X 11)08，P(X 11，X 21)0(X 1，X 2)的联合分布律为E(X1)E(X 12)08，E(X 2)E(X 22)01，E(X 1X2)0，则 D(X1)016，D(X 2)009，C
16、ov(X 1，X 2)008，于是 X1X2 【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 由 X1，X 2，X 7 与总体服从相同的分布且相互独立，得Xi2 2(7)，于是 P( Xi264)P( Xi264)100250975查表得 0025 2(7)16014，故 P( Xi264)100250975【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设甲、乙两船到达的时刻分别为 x，y(0x24，0y24)，则两船不需要等待的充分必要条件是 令 D (x，y)l 0x24，0y24 ，则D1(x，y)yx1，xy2，(x，y)D，则两船不需要等待的概率为 p【知识模块】 概率论与数理
17、统计21 【正确答案】 F Y(y)P(Yy)P(e Xy)，当 Y1 时，X0，F Y(y)0；当 Y1时，X0，F Y(y)P(e Xy)P(Xlny) lnyfX(x)dx 0lnyex dx，f Y(y)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 令 k1(1 2)k 2(2X 3)k 3Y10，整理得(k 1Yk 3)1 (k1k 2)2Xk 230 因为 1， 2， 3 线性无关，所以有 又1 2， 2X 3，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即即 1 2， 2X 3，Y 1 线性相关的充分必要条件是 XY0注意到 X，Y 相互独立，所以 12， 2X 3，
18、Y 1 线性相关的概率为 P(XY0)P(X0，Y )P(X1，Y0)P(X0，Y 0)P(X0)P(Y )P(X1)P(Y0)P(X0)P(Y0)【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 利用随机变量分解法(从未考过)设随机变量 X 表示停靠的总的次数，令 Xi (i2,3,11)，则 XX 2X 3X 11，E(X) E(Xi)【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 令 Xi (i1,2,300)，则 Xi(i1,2,300)令 X 表示需要使用外线的分机数，则 X E(X)3000 06 18，D(X)300005641692设至少需要安装 n 条外线，由题意及中心极限
19、定理得 P(0Xn) 解得1645，n248 所以至少要安装 25 条外线才能保证每台分机需要使用外线时不需要等待的概率不低于 095【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 E(X)0 212(1 ) 2 23(12)34， (31303123)2，令 E(X) 得参数 的矩估计值为 L() 220(1) 22(12) 4 46(1) 2(12) 4，lnL()ln46ln2ln(1) 4ln(12) ，得参数 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 因为总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，所以分布函数为FU(u)P(Uu)Pmax(X 1，X 2，X 3uP(X iu，X 2u，X 3u)P(X iu)P(X2u)P(X3u) FV(v)P(Vv)Pmin(X 1，X 2，X 3)v)1P(min(X 1，X 2，X 3)v)1P(X 1v，X 2v，X 3v)1P(X 1v)P(X2v)P(X 3v)11P(X 1v)1P(X 2v)1P(X 3v)则 U，V 的密度函数分别为【知识模块】 概率论与数理统计
