1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 68 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设二维随机变量(X，Y)满足 E(XY)=EXEY，则 X 与 Y（A）相关（B）不相关（C）独立（D）不独立2 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于（A）一 1（B） 0（C） （D）13 对于任意二随机变量 X 和 Y，与命题“X 和 Y 不相关” 不等价的是（A）EXY=EXEY（B） Cov(X，Y)=0（C） DXY=DXDY（D）D(X+Y)=DX+DY4 假设随机变量 X 在区间一 1，1上
2、服从均匀分布，则 U=arcsinX 和 V=arccosX的相关系数等于（A）一 1（B） 0（C） 05（D）15 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且方差 20，记的相关系数为（A）一 1（B） 0（C） （D）16 设随机变量 X 的方差存在，并且满足不等式 PXEX3 ，则一定有（A）DX=2（B） PX EX3 （C） DX2（D）PXEX3 7 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且DXi=1，i=1 ，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得8 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，则根据辛钦大数定律，当 n时
3、Xi 依概率收敛于其数学期望，只要X n，n1（A）有相同的期望（B）有相同的方差（C）有相同的分布（D）服从同参数 p 的 01 分布9 设随机变量 X1，X n，相互独立，记 Yn=X2n 一 X2n1 一 1(n1)，根据大数定律，当 n时 Yi 依概率收敛到零，只要X n，n1（A）数学期望存在（B）有相同的数学期望与方差（C）服从同一离散型分布（D）服从同一连续型分布10 设 X1，X 2，X n，相互独立且都服从参数为( 0)的泊松分布，则当 n时以 (x)为极限的是11 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，EXi=i，DX i=2，i=1，2，令 Yn= Xi，p=P
4、Y np，则（A）X n：n=1，2，满足辛钦大数定律（B） Xn：n=1，2，满足切比雪夫大数定律（C） P 可以用列维一林德伯格定理近似计算（D）p 可以用拉普拉斯定理近似计算二、填空题12 两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击如果第 i 名射手每次命中概率为 pi(0p i1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中 )总数的数学期望为_13 将长度为 L 的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为 _14 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 Z=2X1，则 Y 与 Z 的相关系数为_15 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 05，EX=
5、EY=0，EX 2=EY2=2，则 E(X+Y)2=_16 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XB(5，08)，Y 一 N(1，1)，则P0X+Y10_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设某网络服务器首次失效时间服从 E()，现随机购得 4 台，求下列事件的概率：()事件 A：至少有一台的寿命(首次失效时间) 等于此类服务器期望寿命；()事件 B：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命18 设随机变量 X 服从(0，1)上的均匀分布，求下列 Yi(i=1，2，3，4)的数学期望和方差：()Y 1=eX； ()Y 2=一 2lnX； ()Y 3= ； ()Y 4=X21
6、9 设 X 和 Y 是相互独立的随机变量。其概率密度分别为其中 0， 0 是常数，引入随机变量 求 E(Z)和 D(Z)20 设随机变量 X，Y 相互独立，已知 X 在0，1上服从均匀分布，Y 服从参数为1 的指数分布求() 随机变量 Z=2X+Y 的密度函数；()Cov(Y，Z) ，并判断 X与 Z 的独立性20 设二维随机变量(U，V)N(2 ，2；4，1； )，记 X=U 一 bV，Y=V21 问当常数 b 为何值时，X 与 Y 独立?22 求(X，Y)的密度函数 f(x，y)22 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为试求：23 数学期望 EX，EY ；24 方差 DX，DY；25
7、协方差 Cov(X，Y)，D(5X 一 3Y)26 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0x1，0y2上服从均匀分布，令Z=min(X，Y) ，求 EZ 与 DZ。27 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，EX=，DX=记Y1=X1+X8，Y 2=X5+X12，求 Y1 与 Y2 的相关系数28 写了 n 封信，但信封上的地址是以随机的次序写的，设 Y 表示地址恰好写对的信的数目，求 EY 及 DY29 设随机变量 X 和 Y 独立，并且都服从正态分布 N(， 2)，求随机变量Z=min(X，Y) 的数学期望30 将一颗骰子重复投掷 n 次，随机变量 X 表
8、示出现点数小于 3 的次数，Y 表示出现点数不小于 3 的次数求 3X+Y 与 X 一 3Y 的相关系数31 设随机变量 U 服从二项分布 B(2， )，随机变量求随机变量 XY 与 X+Y 的方差和 X 与 Y 的协方差32 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)x 2+y21上服从均匀分布 ()问 X 与 Y 是否相互独立； () 求 X 与 Y 的相关系数考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 68 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 E(XY)=EXEY，故 Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY
9、=0， XY=0，X 与 Y 不相关，应选 B【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 依题意，Y=nX，故 XY=一 1应选 A一般来说，两个随机变量X 与 Y 的相关系数 XY 满足 XY1若 Y=aX+b，则当 a0 时， XY=1，当a0 时， XY=一 1【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 Cov(X，Y)=EXYEXEY=0 是 “X 和 Y 不相关”的充分必要条件，可见(A) 与(B)等价由 D(X+Y)=DX+DY 的充分必要条件是 Cov(X，Y)=0，可见(B)与 (D)等价于是， “X 和 y 不相关”与 A，B 和
10、(D) 等价故应选 C 选项 C不成立是明显的，为说明选项 C 不成立，只需举一反例设 X 和 Y 同服从参数为p(0p1) 的 01 分布且相互独立，从而 X 与 Y 不相关易见 DX=DY=p(1 一 p)；乘积 XY 服从参数为 p2 的 01 分布： PXY=1=PX=1，Y=1=p 2，PXY=0=1一 p2 因此 DXY=p2(1 一 p2)p2(1 一 p)2=DXDY【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 注意到 U=arcsinX 和 V=arccosX 满足下列关系： arcsinX= 一arccosX，即 U=一 V+ ，由于 U 是 V 的线性函
11、数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数 =一 1应选 A【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xi 独立同分布，DX i=2， ，Cov(X 1，X i)=0(i1)，故应选 B(注：容易计算 D(X1 2 )【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 因事件 X EX3是事件 XEX3的对立事件，且题设PXEX 3 ，因此一定有 PX 一 EX3 ，即选项 D 正确 进一步分析，满足不等式 P XEX3 的随机变量，其方差既可能不等于 2，亦可以等于 2，因此结论(A)与(C) 都不能选比如： X 服从参数为 p 的 01 分布，DX
12、=pq1，显然 DX2，但是 PXEX3=P 因此(A) 不成立 若 X 服从参数 n=8，p=05 的二项分布，则有 EX=4，DX=2但是 PXEX 3=PX 一 43 =PX=0+PX=1+PX=7+PX=8= 因此(B)也不成立【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知EXi=0， i=1，n 记 根据切比雪夫不等式，有故选 C【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X1，X 2，X n，相互独立的条件之外，还要求 X1，X 2，X n，同分布与期望存在，只有选项 D 同时满足后面的两个条件，应选
13、D【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xn 相互独立，所以 Yn 相互独立选项 A 缺少“同分布”条件；选项 C、D 缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选 B 事实上，若 EXn=，DX n=2 存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意 0 有即 Yi 依概率收敛到零【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X1，X 2，X n，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 =n，因此当 n时， 以 (x)为极限，故应选 C【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 B【试题解析】 由于 X1，X 2，相
14、互独立，其期望、方差都存在，且对所有i=1，2，DY i=21(l 2)，因此X n：n=1，2，满足切比雪夫大数定律，应选 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数一 1=未击中的次数以 Xi 表示第 i 名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数 Xi+1 服从参数为 pi 的几何分布，因此 PXi=k=(1 一 Pi)kpi，i=1，2，且 E(Xi+1)= ，i=1，2，于是 EXi=
15、E(Xi+1)一1= 一 1，两射手脱靶总数 X=X1+X2 的期望为 EX=EX 1+EX2= 一 2【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 设 X 为折点到左端点的距离，Y 为较短段的长，则 XU(0 ，L)，且于是 E(Y)=Eg(x)= -+g(x)f(x)dx =【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 09【试题解析】 Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X 一 1)=2Cov(X，Y) ，DZ=D(2X 一 1)=4DXY 与 Z 的相关系数 YZ 为 YZ= =XY=09【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 6【试题解析】 DX=EX 2
16、 一(EX) 2=2，DY=2， Cov(X ，Y)= XY=1， E(X+Y)=EX+EY=0， E(X+Y) 2=D(x+Y)+E(X+Y)2=D(X+Y) =DX+2Cov(X，Y)+DY=2+2+2=6【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 0928【试题解析】 由于 EX=4，DX=08，EY=1 ，DY=1 ，所以 E(X+Y)=EX+EY=5， D(X+Y)=DX+DY=18根据切比雪夫不等式 P0 X+Y 10=PX+Y 一 551 一 ，即 P0X+Y100928【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 设服
17、务器首次失效时间为 X，则 XE() ()由题设 X 一 E()可知，X 为连续型随机变量由于连续型随机变量取任何固定值的概率是 0，因此P(A)=0(详细写做：因 p=PX=E(X)=0，故 P(A)= C4kpkqk=0) ()由于XE()，则 E(x)= ，即服务器的期望寿命为 从而一台服务器的寿命小于此类服务器期望寿命 E(X)的概率为 P 0= e-xdx=1 一 e-1而每台服务器的寿命可能小于 E(X)，也可能超过 E(X)，从而 4 台服务器中寿命小于 E(X)的台数应该服从二项分布，故所求概率为 P(B)=C 1p0(1 一 p0)3=4e-3(1 一 e-1)【知识模块】
18、概率论与数理统计18 【正确答案】 直接用随机变量函数的期望公式，即(44)式，故() EY1=01exdx=e1EY 1=01e2xdx= (e21)， DY 1=EY12 一(EY 1)2= (e21)一(e 一1)2= (e1)(3 一 e)() EY 2=012lnxdx=一 2xlnx 01+201dx=2 EY22=014ln2xdx=4xln2x 01 一 201lnxdx =一 801lnxdx=8， DY 22=84=4() dx=，故 EY3 不存在，DY 3 也不存在() EY 4=01x2dx= EY 42=01x4dx= ， DY4= 【知识模块】 概率论与数理统计1
19、9 【正确答案】 由于 Z 为 01 分布，故 E(Z)=PZ=1，D(Z)=PZ=1PZ=0而 PZ=1=P2XY= f(x)fr(Y)dxdy = e-xe-ydxdy=0+e-x(2x+e-ydy)dx =0+e-xe-2xdx= (+2)， PZ=0=1 一 PZ=1=2(+2)，所以 E(Z)= (+2) ，D(Z)=2(+2) 2【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 (X，Y) 的联合密度 f(x ，y)=f X(x)fY(y)= () 分布函数法 F Z(z)=PZz=P2X+Yz当 z0时，Fz(z)=0；当 0z2 时，如图 41，当 z2 时，F Z(z)=01
20、dx0z2xe-ydy=011e-(z2x)dx=1 一 (e21)Z 的概率密度 fZ(z)为()由于 X，Y 相互独立，所以Cov(X，Y)=0 Cov(Y，Z)=Cov(Y ，2X+Y)=2Cov(X，Y)+DY=0+1=1 由于Cov(X，Z)=Cov(X ，2X+Y)=2DX+Cov(X，Y)= 0，所以 X 与 Z 不独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由于 X=U 一 bV，Y=V ，且 =10，故(X，Y) 服从二维正态分布，所以 X 与 Y 独立等价于 X 与 Y 不相关，即 Cov(X，Y)=0 ，从而有 Cov(UbV，V)
21、=0，Cov(U ，V)一 bDV=0，即 一 b1=0，解得 b=1，即当 b=1 时， X 与 Y 独立【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由正态分布的性质知 X=UV 服从正态分布，且 EX=EUEV=22=0。 DX=D(U V)=DU+DV 一 2Cov(U，V)=4+12 =3，所以 XN(0 ，3) ，同理 Y=VN(2，1)又因为 X 与 Y 独立，故 f(x，y)=f X(x)fY(y)= ，一x+，一 y+【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 先求出 X 与 Y 的边缘密度，再计算 EX，EY 等EX=-+xfX(x)
22、dx=014x4dx= ，EY= -+yfY(y)dy=014y2(1y2)dy= 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 EX 2=01dx4x5dx= ，DX=EX 2 一 (EX)2= ，EY 2=014y2(1 一 y2)dy= 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 EXY= 01dx0xdx8xydy= 01 ，Cov(X ，Y)=EXY EXEY= ，D(5X 一 3Y)=25DX 一 30Cov(X，Y)+9DY=25【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 先求出 Z 的分布函数 FZ(z)与概率密度 fZ(z)，再计算 EZ 与DZ当 z0 时，
23、F Z(z)=0，当 z1 时，F Z(z)=1，当 0z1 时，F Z(z)=PZz=Pmin(X，Y)z=1 一 Pmin(X，Y)z =1 一 PXz，Yz=1 一 PXzPYz =1 一 (1 一 z) (3zz2)【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 根据简单随机样本的性质，X 1， X2，X 12 相互独立且与总体X 同分布，于是有 EX i=，DX i=2，Cov(X i，X j)= i，j=1 ， 12 DY 1=D(X1+X8)=DX1+DX8=82， DY 2=D(X5+X12)=DX5+DX12=82， Cov(Y 1，Y 2)=Cov(X1+X8，X 5+X
24、12) =Cov(X5，X 5)+Cov(X6，X 6)+Cov(X7，X 7)+Cov(X8，X 8)=42，于是 Y1 与 Y2 的相关系数为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 EX k=PXk=1= ，k=1，n， E(XkXl)=PXk=1，X l=1=PXk=1PXl=1X k=1= ，Cov(X k，X l)=E(XkXl)一 EXkEXl= ，【试题解析】 引入随机变量可以使事件的表示数字化，这是概率论所使用的重要工具这里除了 Y 之外，再引入 n 个随机变量 Xk= k=1，n于是 。【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设 U=(X 一 )，V=(Y
25、)，有 Z=minU+ ，V+=minU，V+U 和 V 服从标准正态分布 N(0，1)，其联合密度为由求随机变量函数的数学期望的一般式，有(见图44)EminU，V= -+-+minu，v(u，v)dudv在上面的积分中作换元：设v= ，有 EminUV=，EZ=EminX，Y=EminU，V+= 同样可以求得 EmaxX，Y=+ 【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 依题意，X 服从二项分布，参数 p 为掷一颗骰子出现点数小于 3的概率，即 p= ，因此有 Cov(X，Y)=Cov(X，nX)=一 DX=一 n 又 D(3X+Y)=9DX+6Cov(X，Y)+DY=4DX= ，
26、 D(X 一 3Y)=DX 一 6Cov(X，Y)+9DY=16DX= ， Cov(3X+Y，X 一 3Y)=3DX 一 8Cov(X，Y)一 3DY=8DX= 于是，3X+Y 与 X一 3Y 的相关系数 为【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 先求出 X 与 Y 的概率分布及 XY 的概率分布即 PX=一 1=PU0=PU=0= ， PY=一 1=PU2=1 一 PU=2=， PXY 一 1=PX=1，Y=1+PX=1，Y=一 1=0+， PXY=1=1 PXY=一 1= 其次计算 EX，EY，DX，DY 与E(XY)即 EX=PX=一 1+PX=1=一 ， EX 2=， E(X
27、Y)=一 PXY=一 1+PXY=1=0最后应用公式可得 Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY= ， D(X+Y)=DX+2Cov(X，Y)+DY=2， D(XY)=DX 一 2Cov(X，Y)+DY=1 其次，计算 E(XY)，D(XY)即 E(X+Y)=0，D(X+Y)=E(X+Y) 2=2， E(XY)=1 ，E(XY) 2=2，D(XY)=1 最后计算 Cov(X， Y)解方程组 【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 依题意，(X，Y)的联合密度为 ()为判断 X 与 Y 的相互独立性，先要计算边缘密度 fX(x)与 fY(y) f X(x)=-+f(x，y)dy= (x1) 当x1 时，f X(x)=0类似地，有 fY(y)= 当 x=y=0 时，f(0，0)=显然它们不相等，因此随机变量 X 与 Y 不是相互独立的 或 fX(x)f Y(y)f(x，y)，故 X 与 Y 不相互独立()EX= -+xfX(x)dx=-11x dx=0在这里，被积函数是奇函数，而积分区间一 1，1又是关于原点对称的区间，故积分值为零类似地，有 EY=0，E(XY)= -+-+xyf(x，y)dxdy= =0故 Cov(X ，Y)=E(XY)一EXEY=0， XY= =0【知识模块】 概率论与数理统计
