1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 96 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 AB=0，A， B 是两个非零矩阵，则（A）A 的列向量组线性相关B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关2 设 1,2， ， s 都是 n 维向量，A 是 mn 矩阵，下列选项中正确的是( )（A）若 1,2， s 线性相关，则 A1,A2， ，A s 线性相关（B）若 1,2， s 线性相关，则 A1,A2，A s 线性无关（C）若 1,2，
2、 s 线性无关，则 A1,A2，A s 线性相关（D）若 1,2， s 线性无关，则 A1,A2， ，A s 线性无关3 1,2,3， 线性无关，而 1,2,3， 线性相关，则（A） 1,2,3，+ 线性相关（B） 1,2,3，c+ 线性无关（C） 1,2,3，+c 线性相关（D） 1,2,3，+c 线性无关4 设 1,2,3 线性无关，则( )线性无关：（A） 1+2， 2+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 1 一 32+223，3 1+5253二、填空题5 已知 1， 2， 3 线性无关 1+t2， 2
3、+2t3， 3+4t1 线性相关.则实数 t 等于_6 设 A 为 3 阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是 1，又设 =(1，0，0) T，则方程组 AX=的解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 已知 可用 1,2， s 线性表示，但不可用 1,2， s-1 线性表示.证明 (1)s 不可用 1,2， s-1 线性表示； (2) s 可用 1,2， s-1， 线性表示8 已知(2 ，1，1，1) T，(2，1，a，a) T，(3，2，1，a) T，(4，3，2，1) T 线性相关，并且 a1，求 a9 设 1=(1，1 ，1，3) T， 2=(一 1，一 3,5，1
4、) T， 3=(3，2，一 1，p+2) T， 4=(一2，一 6，1 0，p) T.P 为什么数时， 1,2,3,4 线性相关 ?此时求 r(1,2,3,4)和写出一个最大无关组10 已知 1， 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量，特征值分别为一 1 和 1，又 3 维向量3 满足 A3=2+3 证明 1,2,3 线性无关11 设 n 维向量组 1， 2， s 线性相关，并且 10，证明存在 1ks，使得 k可用 1， k-1 线性表示12 设 A 为 n 阶矩阵， 00，满足 A0=0，向量组 1， 2 满足 A1=0，A 22=0证明 0， 1， 2 线性无关13 设 A 为 n 阶矩
5、阵， 1 为 AX=0 的一个非零解，向量组 1,2， s 满足 Ai-1i=1(j=2，3 ，s)证明 1,2， s 线性无关14 设 A 是 n 阶矩阵，k 为正整数， 是齐次方程组 AkX=0 的一个解，但是 Ak-10证明 ，A ，A k-1线性无关15 设 1,2， ， s 线性无关， i=I+I+1，i=1，s 1， s=S+1判断12， s 线性相关还是线性无关 ?15 设 1,2,3,4 线性无关， 1=21+3+4， 2=21+2+3， 3=2 一4， 4=3+4， 5=2+316 求 r(1， 2， 3， 4， 5)；17 求 1， 2， 3， 4， 5 的一个最大无关组1
6、8 设 1,2,3 都是 n 维非零向量，证明： 1,2,3 线性无关 对任何数s，t， 1+s3， 2+t3 都线性无关19 设 1,2， ， s， 都是 n 维向量，证明：20 设 A 是 mn 矩阵证明： r(A)=1 存在 m 维和 n 维非零列向量 和 ，使得A=T21 设 1,2， s 和 12， t 都是 n 维向量组，证明r(1,2， s， 12， t)r(1,2， s)+r(12， t)设 A 和 B 是两个行数相同的矩阵，r(A B)r(A)+r(B) 设 A 和 B 是两个列数相同的矩阵，表示 A 在上，B 在下构造的矩阵证明22 证明 r(A+B)r(A)+r(B)23
7、 设 A 是 n 阶矩阵，满足(A 一 aE)(AbE)=0，其中数 ab证明：r(AaE)+r(AbE)=n24 设 A 是 n 阶矩阵，证明25 设 1,2， ， r，和 12， s 是两个线性无关的 n 维向量证明：向量组1,2， r； 12， s线性相关甘存在非零向量 r，它既可用 1,2， r线性表示，又可用 12， ， s 线性表示26 设 A=(1,2， n)是实矩阵，证明 ATA 是对角矩阵 1,2， n 两两正交27 设 A 为实矩阵，证明 r(ATA)=r(A)28 设 1,2， ， n 是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关29 设 1,2， ， s 和 12， t
8、是两个线性无关的 n 维实向量组，并且每个 i和 j 都正交，证明 1,2， ， s， 12， t 线性无关30 设 A 为 n 阶正交矩阵， 和 都是 n 维实向量，证明：(1)内积(，)=(A，A)(2)长度=A31 设 A 是 n 阶非零实矩阵(n2)，并且 AT=A*，证明 A 是正交矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 96 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 本题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义说明(A)的正确性，做法如下：因为 1,2， s 线性相关，所以存在不全为
9、 0 的数 c1，c 2，c s 使得 c11+c12+css=0，用 A 左乘等式两边，得 c1A1+c1A2+csAs=0，于是A1，A 2，A s 线性相关但是用秩来解此题，则更加简单透彻只要应用两个基本性质，它们是：1 1,2， s 线性无关 r(1,2， s)=s2r(AB)r(B)矩阵(A 1，A 2，A s)=A(1,2， s)，因此 r(A1，A 2，A s)r(1,2， s)于是，若 1,2， s 线性相关，有 r(1,2， s)s，从而 r(A1，A 2，A s)s，A 1，A 2，A s 线性相关【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 1,2,3，
10、线性无关， 1,2,3 是线性无关的于是根据定理32， 1,2,3，c+( 或 +c)线性相关与否取决于 c+(或 +c)可否用 1,2,3 线性表示 条件说明 不能由 1,2,3 线性表示，而 可用 1,2,3 线性表示 c+可否用 1,2,3 线性表示取决于 c，当 c=0 时 c+= 可用 1,2,3 线性表示；c0 时 c+ 不可用 1,2,3 线性表示 c 不确定，(A)，(B)都不能选 而 +c 总是不可用 1,2,3 线性表示的，因此(C) 不对，(D)对【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 容易看出 A 中的向量组的第 2 个减去第 1 个等于第 3 个，所以
11、相关B 组的前两个之和等于第 3 个，也相关于是 A 和 B 都可排除现在只用判断 C 组是否相关(若相关，选 D，若无关，选 C )1+22，2 2+33，3 3+1 对1,2,3 的表示矩阵为 C 可逆，于是 r(1+22，2 2+33，3 3+1)=r(C)=3，因而(C) 组向量线性无关【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 t=一 1 2【试题解析】 本题可以用定义做，但是表述比较哕嗦，用秩比较简单，证明1+t2， 2+2t3， 3+4t1 线性相关就是要证明其秩小于 3记矩阵A=(1+t2， 2+2t3， 3+4t1)用矩阵分解，有记 由于 1,2,3 线性无关，(1,2
12、,3)是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质 ，r( 1+t2， 2+2t3， 3+4t1)=r(A)=r(C)于是 1+t2， 2+2t3， 3+4t1 线性相关甘 r(c) C=0 求出C=1+8t 3，于是得 8t3=一 1，t=一 12【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 (1，0，0) T【试题解析】 设 A=(1,2,3)A 为正交矩阵，列向量是单位向量于是 1 是(1，0， 0)T则 =1=A(1，0，0) T，解为(1，0，0) T。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 用秩说明，条件说明， r( 1,2， ， s，)=r( 1,
13、2， s)，r(1,2， s-1，)=r( 1,2， s-1)+1 于是有 r( 1,2， s),r(1,2， s，)r( 1,2， s-1，) r( 1,2， s-1)+1r(1,2， s)从而其中两个“”号都为等号于是 r( 1,2， s-1)+1=r(1,2， s) 因此， s 不可用 1,2， s-1 线性表示 r( 1,2， s，)=r( 1,2， s-1，)，因此， s可用 1,2， ， s-1， 线性表示【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 因为这 4 个向量线性相关，所以以它们为列向量的 4 阶行列式为0求出此行列式的值： 得 a=12【知识模块】 线性代数9 【正确答案】
14、计算 r(1,2,3,4)则当 P=2 时，r( 1,2,3,4)=3， 1,2,3,4 线性相关， 1,2,3 是一个最大无关组当P2时， r(1,2,3,4)=4， 1,2,3,4 线性无关【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 根据特征向量的性质， 1,2 都是 A 的特征向量，特征值不相等，于是它们是线性无关的根据定理 32，只用再证明 3 不可用 1,2 线性表示 用反证法如果 3 可用 1,2 表示，设 3=c11+c22，用 A 左乘等式两边，得2+3=一 c11+c22，减去原式得 2=一 2c11， 与 1， 2 线性无关矛盾，说明 3 不可用 1， 2 线性表示【知识模块
15、】 线性代数11 【正确答案】 因为 1,2， s 线性相关，所以存在不全为 0 的数c1，c 2，c s，使得 c11+c22+css=0设 ck 是 c1，c 2，c s 中最后一个不为0 的数，即 ck0，但 ik 时，c i=0则 kl(否则 1=0，与条件矛盾)，并且有c11+c22+ckk=0则于【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 用定义证明即要说明当 c1，c 2， c3 满足 c10+c21+c32=0 时它们一定都是 0 记此式为(1)式，用 A 乘之，得 c 20+c3A2=0 (2) 再用 A 乘(2)得c30=0由 00，得 c3=0代入(2) 得 c2=0再代入
16、 (1)得 c1=0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 设 c11+c22+css=0(1)，要推出系数 ci 都为 0条件说明Aii=A1=0(i=1，2，3，s)用 As-1 乘(1)的两边，得 cs1=0，则 cs=0 冉用 As-2 乘(1)的两边，得 cs-11=0，则 cs-1=0这样可逐个得到每个系数都为 0【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 用定义证明用反证法如果 ，A，A k-1线性相关，则存在不全为 0 的 c1，c 2， ，c k，使得 c1+ c2A+c kAk-1=0，设其中第一个不为0 的系数是 ci，则 ciAi-1+c kAk-1=0，用 Ak-i
17、乘之，得 ciAk-1=0从而 Ak-1=0，与条件矛盾【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 12， ， s 对 1,2， s 的表示矩阵为于是当 s 为偶数时， C=0 ，r(C)s，从而r(12， s)s， 12， s 线性相关当 s 为奇数时，C=2，r(C)=s，从而 r(12， s)=s， 12， s 线性无关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1， 2， 3， 4， 5 对 1,2,3,4 的表示矩阵为用初等行变换化为阶梯形矩阵： 则r(1， 2， 3， 4， 5)=r(C)=3【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 记 C 的列向量组为 1， 2
18、， 3， 4， 5则由(1) 的计算结果知1， 2， 4 是线性无关的又( 1， 2， 4) =(1,2,3,4)(1， 2， 4)得到r(1， 2， 4)=r(1， 2， 4)=3， 1， 2， 4 线性无关，是 1， 2， 3， 4， 5 的一个最大无关组【试题解析】 实际上 1， 2， 3， 4， 5 与 1， 2， 3， 4， 5有相同的线性关系。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 “”用定义法也不麻烦 (请读者自己做)，但是用 C 矩阵法更加简单 1+s3， 2+t3 对 1,2,3 的表示矩阵为 显然对任何数 s，t，C的秩都是 2，于是 1+s3， 2+t3 的秩为 2，线
19、性无关 “”在 s=t=0 时，得1， 2 线性无关，于是 (根据定理 32) 只要再证明 3 不可用 1， 2 线性表示用反证法如果 3 可以用 1， 2 线性表示，设 3=c11+c22，则因为 3 不是零向量，c1，c 2 不能全为 0不妨设 c10，则有 于是 ，2 线性相关，即当 时 1+s3， 2+t3 相关，与条件矛盾【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 把 1,2， s 的一个最大无关组放在 1,2， s， 中考察，看它是否也是 1,2， s， 的最大无关组 设 (I)是 1,2， s 的一个最大无关组，则它也是 1,2， s， 中的一个无关组 问题是：(I) 增添 后是否
20、相关? 若 可用 1,2， s 表示，则 可用(I)表示(因为 1,2， s 和(I)等价!)，于是(I) 增添 后相关，从而 (I)也是 1,2， s， 的最大无关组，r(1,2， s，)=r( 1,2， s)若 不可用 1,2， s 表示，则 不可用(1)表示，(I)增添 后无关，从而 (I)不是 1,2， s， 的最大无关组，此时(I)，是 1,2， s， 的最大无关组， r(1,2， s，)=r( 1,2， s，)+1【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 “”记 A 的列向量组为 1,2， n，则因为 r(A)=1，所以r(1,2， n)=1于是 A 一定有非零列向量，记 为一个非
21、零列向量，则每个i 都是 的倍数设 i=bi，i=1 ，2，n 记 =(b1，b 2，b n)T，则 0，并且 A=(1,2， n)=(b1，b 2，b n)=T “”设 A=T，则 r(A)r()=1由于 ， 都不是零向量，可设 的第 i 个分量 ai0， 的第 j 个分量 bj0则A 的(i， j)位元素为 aibj0，因此 A0，从而 r(A)0得 r(A)=1【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 这是 3 个互相等价的命题：是 的向量形式；是的转置形式因此对其中之一的证明就完成了这 3 个命题的证明 证明取1,2， s， 12， t的一个最大无关组(I)，记(I)，是(I)中属于1
22、,2， ， s 中的那些向量所构成的部分组，(I)2 是(I)中其余向量所构成的部分组于是(I)，和(I)2 分别是属于 1,2， s 和 12， t 的无关部分组，因此它们包含向量个数分别不超过 r(1,2， s)和 r(12， t)从而r(1,2， s， 12， t)=(I)中向量个数=(I)1 中向量个数+(I) 2 中向量个数)r(1,2， s)+r(12， t)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 r(A+B)r(A+B B)对矩阵(A+BB)进行初等列变换：左边 A+B 各列都减去右边 B 的对应列，化为(A B)于是 r(A+B)r(A+BB)=r(A B)r(A)+r(B)
23、【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 一方面，根据矩阵秩的性质，由 (AaE)(A 一 bE)=0 得到 r(A一 aE)+r(AbE)n另一方面，用矩阵的秩的性质 ，有 r(A 一 aE)+r(AbE)r(AaE)一(AbE)=r(b 一 a)E)=n两个不等式结合，推出 r(AaE)+r(AbE)=n【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 当 r(A)=凡时，A 可逆，从而 A*也可逆，秩为 n 当 r(a)n 一 1时，它的每个余子式 Mij(是 n 一 1 阶子式)都为 0，从而代数余子式 Aij 也都为0于是 A*=0，r(A *)=0 当 r(A)=n1 时，A=0，所以 A
24、A*=0于是 r(A)+r(A*)n南于 r(A)=n 一 1，得到 r(A*)1 又由 r(A)=n1 知道 A 有 n 一 1 阶非0 子式，从而存在代数余子式 Ahk 不为 0，于是 A*0，r(A *)0于是 r(A*)=1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 “”因为 1,2， r； 12， s线性相关，所以存在c1，c 2，c r，c r+1，c r+s 不全为 0，使得 c11+c22+crr+cr+11+c1+22+cr+ss=0 记 =c11+c22+crr=一(cr+11+cr+22+cr+ss)，则 0(否则由 1,2， r 和 12， s 都线性无关，推出 c1，c
25、 2，c r，c r+1，c r+s 全为 0)，并且它既可用 1,2， r 表示，又可用 12， s 表示 “” 设 0，它既可用 1， r，表示，又可用1， s 表示 记 =c11+c22+crs=t11+t22+tss，则 c1，c 2，c r 和t1，t 2，t s 都不全为 0，而 c11+c22+crs 一 t11 一 t22 一一 tss=0 根据定义， 1,2， r； 12， s线性相关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A TA 的(i，j)位元素为( i， j)于是 ATA 是对角矩阵 当 ij时，ATA 的(i ，j) 位元素为 0 当 ij时， i， j 正交 1
26、,2， n 两两正交【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 通过证明 ATAX=0 和 AX=0 同解，来得到结论A TAX=0 和AX=0 同解，即对于实向量 ，A TA=0 A=0“” 显然“”ATA=0 TATA=0，从而(a，a)= TATA=0，得 A=0【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 计算秩 以 1,2， s 为列向量组构造矩阵 A=(1,2， s)，ATA 是对角矩阵，并且对角线上的元素依次为 12， 22， s2，它们都不为0于是 r(1,2， s)=r(A)=r(ATA)=s， 从而 1,2， s 线性无关【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 用定义证明设 c
27、 11+c22+css+k11+k22+ktt=0，记=c11+c22+csss=一(k 11+k22+ktt)，则(，)=一(c11+c22+css，k 11+k22+ktt)=0 即 =0，于是c1，c 2，c s，k 1，k 2，k t 全都为 0【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)(A， A)=TATA=T=(，) (2)(，)=(A，A)两边求算术平方根，得=A以下例题是涉及向量内积的【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 AA T=AA*=AE ，因此只用证明A =1，就可由定义得出 A是正交矩阵 由于 A0，有非零元素，设 aij0则 AAT 的(i，i) 位元素A=a i12+ai22+aij2+ain20，从而 AAT0 对等式 AAT=A E ，两边取行列式，得A 2=A n，即A n-2=1又由A0，得出A =1【知识模块】 线性代数
