1、考研数学三（线性方程组）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 要使 1= 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为2 设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 ，则自由变量不能取成（A）x 4，x 5（B） x2，x 3（C） x2，x 4 （D）x 1，x 33 设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（A）如 mn，则 Ax=b 有无穷多解（B）如 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 有唯一解（C）如 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 只有零解（D）Ax=b 有唯一解的充要条件是 r(A)=n4 非齐次线性方程组
2、Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则正确命题是（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解5 已知 1， 2， 3， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 （B） 1， 2， 3+4， 3-4（C） 1， 2， 3， 4 的一个等价向量组 （D） 1， 2， 3， 4 的一个等秩的向量组6 设 A 是 54 矩阵，A=( 1， 2， 3， 4)，若
3、1=(1，1，-2，1) T， 2=(0，1，0，1)T 是 Ax=0 的基础解系，则 A 的列向量组的极大线性无关组是（A） 1， 3（B） 2， 4 （C） 2， 3（D） 1， 2， 4二、填空题7 已知方程组 有无穷多解，则 a=_8 已知方程组 总有解，则 应满足_9 四元方程组 的基础解系是_10 四元方程组 Ax=b 的三个解是 1， 2， 3，其中 1=(1，1，1，1)T， 2+3=(2，3，4，5) T，如 r(A)=3，则方程组 Ax=b 的通解是_11 设 A 为三阶非零矩阵，B= ，且 AB=0，则 Ax=0 的通解是_12 设 A= A *是 A 的伴随矩阵，则 A
4、*x=0 的通解是_13 已知 1， 2， t 都是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，如果 c11+c22+ctt仍是 Ax=b 的解，则 c1+c2+ct=_.14 已知方程组 的通解是(1，2，-1，0) T+k(-1，2，-1，1) T，则 a=_.15 已知 1=(-3，2，0) T， 2=(-1，0，-2) T 是方程组 的两个解，则此方程组的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 已知 A 是 mn 矩阵，其 m 个行向量是齐次线性方程组 Cx=0 的基础解系，B是 m 阶可逆矩阵，证明 BA 的行向量也是齐次方程组 Cx=0 的基础解系17 证明方程组 有
5、解的必要条件是行列式并举例说明该条件是不充分的18 已知方程组 有解，证明方程组无解19 设 A=(aij)是 mn 矩阵， =(b1，b 2，b n)是 n 维行向量，如果方程组()Ax=0的解全是方程()b 1x1+b2x2+bnxn=0 的解，证明 可用 A 的行向量1， 2， m 线性表出20 已知方程组 有解，证明：方程组的任意一组解必是方程()b1x1+b2x2+bmxm=0 的解21 求齐次方程组 的基础解系22 求线性方程组的所有解23 当 a，b 取何值时，方程细 有唯一解，无解，有无穷多解? 当方程组有解时，求其解24 设线性方程组 已知(1，-1，1，-1) T 是该方程
6、组的一个解，求方程组所有的解25 已知 a，b ，c 不全为零，证明方程组 只有零解26 设 A 是 n 阶矩阵，证明方程组 Ax=b 对任何 b 都有解的充分必要条件是A027 证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系考研数学三（线性方程组）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 Ax=0 已有 2 个线性无关的解，故 n-r(A)2，即 r(A)1所以(B)、(D)的秩不符合题目要求 1 不是(C)中方程的解，因而 1 不是(C) 的解用排除法应选(A) 【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】
7、 A【试题解析】 因为 =0，所以 x4，x 5 不能取为自由变量选(A)【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 C【试题解析】 如 mn，齐次方程组 Ax=0 有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例 如 Ax=0 只有零解，则 r(A)=n，但由 r(A)=n 推断不出 =n，因此 Ax=b 可以无解例如 前者只有零解，而后者无解故(B)不正确采用排除法故(C)正确【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 A【试题解析】 A 是 mn 矩阵，r(A)=m 说明 A 的行向量组线性无关，那么增广矩阵 的行向量组是 A 的行向量组的延伸组，必线性无关故所以(A)正确【知识
8、模块】 线性方程组5 【正确答案】 B【试题解析】 向量组(A) 线性相关， (A)不正确 1， 2， 3， 4， 1+2 与1， 2， 3， 4 等价但前者线性相关，故(C)不正确等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故(D)不正确选 (B)【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【试题解析】 由 A1=0，知 1+2-23+4=0 由 A2=0，知 2+4=0 因为 n-r(A)=2，故必有 r(a)=2所以可排除(D) 由知， 2， 4 线性相关故应排除(B) 把代入得 1-23=0，即 1， 3 线性相关，排除 (A) 如果 2， 3 线性相关，则 r(1， 2
9、， 3， 4)=r(-23， 2， 3，- 2)=r(2， 3)=1 与 r(A)=2 相矛盾所以选(C) 【知识模块】 线性方程组二、填空题7 【正确答案】 -5【试题解析】 对增广矩阵作初等行变换，有当 a=-5 时，r(A)= ，方程组有无穷多解【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 【试题解析】 对任意 b 1， b2，b 3，方程组有解 A0而由【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 (0，0，1，0) T，(-1，1，0，1) T【试题解析】 n-r(A)=4-2=2 取 x3，x 4 为自由变量： 令 x3=1，x 4=0 得x2=0， x1=0；令 x3=0，x 4=1 得
10、 x2=1，x 1=-1， 所以基础解系是(0，0，1，0) T，(-1，1，0，1) T【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 (1，1，1，1) T+k(0，1，2，3) T【试题解析】 由( 2+3)-21=(2-1)+(3-1)=(2，3 ，4，5) T-2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3) T，知(0，1，2，3) T 是 Ax=0 的解 又秩 r(A)=3，n-r(A)=1，所以Ax=b 的通解是(1，1，1， 1)T+k(0，1，2，3) T【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 k 1(1，4，3) T+k2(-2，3，1) T【试题解析】 因为 AB=0，A0，
11、所以 r(A)+r(B)3，r(A)1故 r(B)2又因 B中有 2 阶子式不为 0，所以秩 r(B)2从而 r(B)=2故 r(A)=1于是 n-r(A)=2 由 AB=0 又知 B 的列向量是齐次方程组的解，所以 Ax=0 的通解是 k1(1，4，3)T+k2(-2，3，1) T【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 k 1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T【试题解析】 因为秩 r(A)=2，所以行列式A=0 那么 A*A=AE=0，所以A 的列向量是 A*x=0 的解 又因 r(A*)=1，故 A*x=0 的通解是 k1(1，4，7)T+k2(2，5，8) T【知识模块】 线
12、性方程组13 【正确答案】 1【试题解析】 因为 i 是 Ax=b 的解，所以，A i=b 若 c11+c22+ctt 是 Ax=b的解，则 A(c 11+c22+ctt)=c1A1+c2A2+ctAt =(c1+c2+ct)b=b 故c1+c2+ct=1【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 3【试题解析】 因(1，2，-1，0) T 是 Ax=b 的解，则将其代入第 2 个方程可求出b=1 因(-1，2，-1，1) T 是 Ax=0 的解，则将其代入第 1 个方程可求出 a=3【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 (-3，2，0) T+k(-1，1，1) T【试题解析】 由于矩阵
13、 A 中有 2 阶子式不为 0，故秩 r(A)2 又 1-2 是 Ax=0 的非零解，知 r(A)3 故必有 r(A)=2于是 n-r(a)=1 所以方程组通解是：(-3，2，0) T+k(-1，1，1) T【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 因为 A 的行向量是 Cx=0 的解，即 CAT=0，那么 C(BA)T=CATBT=OBT=0 可见 BA 的行向量是方程组 Cx=0 的解 由于 A 的行向量是基础解系，所以 A 的行向量线性无关，于是 m=r(A)=n-r(C) 又因 B 是可逆矩阵，r(BA)=r(A)=m=n-r(C)，
14、所以 BA 的行向量线性无关，其向量个数正好是 n-r(C)，从而是方程组 Cx=0 的基础解系【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 如果方程组 Ax=b 有解，则 r(A)= ；因为 A 是(n+1)n 阶矩阵，必有 r(A)n，所以 n那么，必有 n+1 阶行列式例如，方程组=0，但该方程组无解【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 用 分别表示方程组()与()的系数矩阵和增广矩阵，易见 A2= 因为方程组( )有解，故 r(A1)= 又由于(b1，b 2，n m，1) 不能由(a 11，a 21，a m1，0)，(a 12，a 22，a m2，0)，(a 1n，a 2n，a m
15、n， 0)线性表出，所以【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 构造一个联立方程组 简记为 Cx=0，显然， ()的解必是()的解，又因()的解全是()的解，于是( )的解也必全是() 的解，所以() ，()是同解方程组，它们有相同的解空间从而n-r(A)=n-r(C)，即 r(A)=r(C)，亦即 r(1， 2， m)=r(1， 2， m，) 因此极大线性无关组所含向量个数相等，这样 1， 2， m 的极大线性无关组也必是 1， ， m， 的极大线性无关组，从而 可由 1， 2， m 线性表出【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 1 记方程组 ()的系数矩阵为 A，增广矩阵是 ，由
16、于()有解，故 r(A)= 那么(b 1，b 2，b m)T 可用 A 的列向量线性表出联立()、()，得方程组 显然，系数矩阵是，可见方程组()中最后一个方程是多余的，即() 与 ()是同解方程组，这就是 ()的任一解必是( )的解2记y=(y1，y 2，y n)T，x=(x 1，x 2，x m)T，b=(b 1，b 2，b m)T 由于()有解，故存在 y 使 Ay=b，那么 bT=yTAT设 x 是方程组()A Tx=0 的任一解，于是bTx=yTATx=yT0=0，即 b1x1+b2x2+bmxm=0，即()的解必是()的解【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 对系数矩阵作初等变
17、换，有当 a1 时，r(A)=3 ，取自由变量 x4 得 x4=1，x 3=0，x 2=-6，x 1=5基础解系是(5，-6，0，1) T 当 a=1 时，r(A)=2取自由变量 x3，x 3，则由 x 3=1，x 4=0 得 x2=-2，x 1=1， x 3=0，x 4=1 得 x2=-6，x 1=5，知基础解系是 (1，-2 ，1，0) T，(5，-6 ，0，1) T【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令 x3=0， x4=0 得 x2=1，x 1=2即 =(2，1，0，0) T导出组的解： 令x3=1， x4=0 得 x2=3，x 1=1即
18、1=(1，3，1，0) T； 令 x3=0，x 4=1 得 x2=0，x 1=-1即 2=(-1，0，0，1) T 因此方程组的通解是：(2，1，0，0) T+k1(1，3，1，0)T+k2(-1，0，0，1) T 而其中满足 的解，即(2+k 1-k2)2=(1+3k1)2那么 2+k 1-k2=1+3k1 或 2+k1-k2=-(1+3k1)，即 k 2=1-2k1 或 k2=3+4k1 所以(1，1，0，1)T+k(3，3，1，-2) T 或(-1 ，1，0，3) T+k(-3,3，1，4) T 为满足 的所有解【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有()当
19、 a0，且 b3时，方程组有唯一解 ()当 a=0 时， 方程组均无解()当 a0，b=3时，方程组有无穷多解【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 将(1，-1，1，-1) T 代人方程组得 =对增广矩阵作初等行变换，有因 r(A)= =34，所以方程组有无穷多解 (-1，0，0，1) T+k(2，-1，1，-2) T【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 因为系数行列式所以齐次方程组只有零解【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 必要性对矩阵 A 按列分块 A=(1， 2， n)，则 1， 2， n 可表示任何 n 维向量 b 1， 2， n 可表示e1=(1，0，0，0) T
20、，e 2=(0，1，0，0) T， ，e n=(0，0，0，1) T r(1， 2， n)r(e1，e 2，e n)=n r(A)=n所以A 0充分性由克莱姆法则，行列式A0 时方程组必有唯一解，故 ，Ax=b 总有解【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 设 Ax=0 的基础解系是 1， 2， t若 1， 2， s 线性无关， 1， 2， s 与 1， 2， t 等价 由于 j(j=1，2，s)可以由1， 2， t 线性表示，而 i(i=1，t)是 Ax=0 的解，所以 j (j=1，2，s)是 Ax=0 的解 因为 1， 2， t 线性无关，秩 r(1， 2， t)=t，又1， 2， t 与 1， 2， s 等价，所以 r(1， 2， s)=r(1， 2， t)=t又因 1， 2， s 线性无关，故 s=t. 因此 1， 2， t 是 Ax=0 的基础解系【知识模块】 线性方程组
