1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 26 及答案与解析一、填空题1 曲线 手的拐点坐标为_2 已知 =_.3 设 f(x)=3x2+Ax-3(x0)， A 为正常数，则 A 至少为 _时，有 f(x)20(x0) 4 曲线 在(0，0)处的切线方程为_5 函数 f(x)=4x 3 一 18x2+27在区间0，2上的最小值为_，最大值为_6 =_.7 =_.8 =_.9 函数 y=x2x 在区间(0，1上的最小值为_10 设 则 f(x)的极值为_,f(x)的拐点坐标为_11 设 y=y(x)是由方程 xy+ey=x+1 确定的隐函数，则 =_.12 函数 y=ln(12x)在 x=0 处的
2、n 阶导数 y(n)(0)=_13 已知一个长方形的长 l 以 2cms 的速率增加，宽 以 3 cms 的速率增加则当 l=12 cm，=5cm 时，它的对角线增加速率为_14 =_.15 设曲线 y=f(x)与 y=x2 一 x 在点(1，0)处有公共的切线，则=_.16 设 y=y(x)是由方程 x2 一 y+1=ey 所确定的隐函数，则 =_.17 设函数 ，则 y=f(x)的反函数 x=f1(y)在 y=0 处的导数=_.18 曲线 y=x2+x(x0)上曲率为 的点的坐标是_19 =_.20 若 则 a=_，b=_21 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef
3、(x),f(2)=1，则 f(2)=_22 曲线 上对应于 t=1 点处的法线方程为_23 设函数 =_24 设可导函数 y=y(x)由方程 =_.25 设 则 f(x)=_26 曲线 在点(0，0)处的切线方程为_.27 若曲线 y=x3+ax2+bx+1 有拐点(一 1，0)，则 b=_.28 设 y=y(x)是由 =_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 已知曲线 L 的方程 367(1)讨论 L 的凹凸性；(2)过点(一1，0)引 L 的切线，求切点(x 0，y 0)，并写出切线的方程；(3)求此切线与 L(对应于xx0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积30
4、设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 上可导，且 f(a)=f(b)=1，证明必存在， (a，b)，使得 e f()+f()=131 设函数 f(x)满足 f(1)=f(1)=2求极限 .32 设函数 f(x)在 x0 处具有二阶导数，且 f(x0)=0,f(x0)0，证明当 f(x0)0,f(x)在x0 处取得极小值。32 设 f(x)为 一 a，a 上的连续偶函数，且 f(x)0，令 F(x)=-aaxtf(t)dt33 证明 F(t)单调增加34 当 x 取何值时，F(x)取最小值35 当 F(x)的最小值为 f(a)一 a2 一 1 时，求函数 f(x)36 证明函数恒等式37 设
5、函数 求 f(x)的最小值38 已知 f(x)=ax3+x2+2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点39 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题40 设 D 是位于曲线 下方、x 轴上方的无界区域(1)求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a);(2)当 a 为何值时，V(a) 最小.并求此最小值41 已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y 一 xey-1=1 所确定设 z=f(lnysinx)，求42 设 f(x)在0，+)连续，且满足42 设函数 f(x)在0，3上连续，
6、在 (0，3)内存在二阶导数，且43 证明存在 (0，2)，使 f()=f(0)；44 证明存在 (0，3)，使 f()=045 设 ，求(1) (2)考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 26 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 (一 1，一 6)【试题解析】 由题设 ，则有 x=一 1时，y=0；x=0 时，y不存在在 x=一 1 左右两侧的微小邻域内，y异号，在x=0 左右微小邻域内 y0，且 y(一 1)=一 6故曲线的拐点为(一 1，一 6)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 64【试题解析】 要使
7、f(x)20，只需 3x5+A20x3，即 20x3 一 3x5A(x0)设 g(x)=20x3 一 3x5，则 A 至少是 g(x)在(0，+) 内的最大值由于所以 x=2 是 g(x)在(0，+) 的最大值点，故 A 至少为 g(2)=64【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 y=2x【试题解析】 所以 C 因此切线方程为 y=2x【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 0；27【试题解析】 令 (x)=4x3 一 18x2+27，则所以 (x)在 0，2 单调递减，(0)=27 ，(2)=一 13，利用介值定理知，存在唯一 x0(0，2)，(x 0)=0且 f(0)=27,
8、f(0)=0,f(2)=13因此 f(x)在0，2上的最小值为 0，最大值为 27【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则，则有【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 2【试题解析】 运用洛必达法则，【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 sinx 2【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 因为 y=x2x(21nx+2)，令 y=0 得驻点为【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 对 f(x)求导,f(x)=e -x4.2x=0，得 x=0当 x0 时 f(x)0；当 x0 时f(x)0，所
9、以极小值点为 x=0，极小值为 f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 一 3【试题解析】 对 x 求导可得，【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 一 2n(n 一 1)!【试题解析】 将 ln(1+t)按照泰勒公式展开成级数的形式：【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 3cms【试题解析】 设 l=x(t)，w=y(t) ，对角线增加的速率为 s(t)根据题意，在 t=t0 时，x(t0)=12，y(t 0)=5，且 x(t0)=2，y(t 0)=3又因故对角线增长速率为 3cms【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块
10、】 一元函数微分学15 【正确答案】 一 2【试题解析】 本题主要考查导数的极限表示和曲线在某点的切线【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 1【试题解析】 将 x=0 代入原方程可得 y=0方程 x2 一 y+1=ey 两端同时对 x 求导，有【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 由反函数的求导法则可知【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 (一 1，0)【试题解析】 将 y=2x+1，y=2 代入曲率计算公式，有整理得(2x+1) 2=1，解得 x=0 或一 1又x0，所以 x=一 1，此时 y=0，故该点坐标为(一 1，0)【知识模块】 一元函数微
11、分学19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 1；一 4【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 2e 3【试题解析】 由题设知 f(x)=ef(x)，在此方程两边同时对 x 求导得 f(x)=ef(x)f(x)=e2f(x)，f(x)=2e 2f(x)f(x)=2e3f(x)，又 f(2)=1，故 f(2)=2e3f(2)=2e3【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【试题解析】 由此可得法线的斜率为一 1，因此可得法线方程为 即【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 4【试题解析】 由已知 而 x1 时，f(x)
12、=2所以 f(一 1)=f(0)=2，代入可得【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 一 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 (1+3x)e 3x【试题解析】 先求出函数的表达式，即于是有 f(x)=e3x+x.e3x.3=(1+3x)e3x【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 y=一 2x【试题解析】 方程两边对 x 求导，可得即(0，0)点切线的斜率为一 2因此点(0，0)处的切线方程为 y 一 0=(一 2).(x 一 0)，即 y=一 2x。【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 3【试题解析】 本题考查已知拐点坐标确定曲线方程中的
13、一个参数y=x 3+ax2+bx+1，y=3x 2+2ax+b，y=bx+2a 又因为曲线过点(一 1， 0)，代入曲线方程，得 b=3【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 【试题解析】 由隐函数求导法则【知识模块】 一元函数微分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 【正确答案】 (2)切线方程为设 x0=t02+1，y 0=4t0 一 t02，则整理得 t2+t0 一 2=0，或者(t 0 一 1)(t0+2)=0，解之得 t0=1 或 t0=一 2，因为 t00，所以 t0=1此时对应的点为(2， 3)，进而可得切线方程为 y=x+1(3)设 L 的方程为 x
14、=g(y)，则根据 t2 一 4t+y=0 解得【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 设 F(x)=exf(x)，由已知 f(x)及 ex 在a，b上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此，存在 ，(a ，b)，使得 F(B)一 F(A)=ebf(b)一 eaf(a)=F()(b一 a)=ef()+f()(b一 a)及 e b 一 ea=e(b 一 a)将以上两式相比，且由 f(a)=f(b)=1，整理后有 e f()+f()=1【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 由题意【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 由题设 f(x0)0，且由导数定义
15、可知当 x(x0，x 0)时，x 一 x00，则 f(x)0；当 x(x0，x 0+)时，x 一 x00，则 f(x)0由第一充分条件可知 f(x)在点 x0 处取得极小值。【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 由已知 F(x)=-aax 一 tf(t)dt = -ax(x 一 t)f(t)dt+xa(t 一 x)f(t)dt =x-ax(t)dt 一 -axtf(t)dt+xatf(t)dt 一 xxaf(t)dt =x-axf(t)dt 一 -axtf(t)dtaxtf(t)dt+xaxf(t)dt，F(x)= -axf(t)dt+xf(x)一 xf(
16、x)xf(x)+ axf(t)dt+xf(x) =-axf(t)dtaxf(t)dt = -axf(t)dtaxf(t)dt. 所以 F(x)=2f(x)0，因此 F(x)为单调增加的函数【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 因为 F(0)=-a0f(x)dx0af(x)dx 且 f(x)为偶函数，所以 F(0)=0，又因为 F(0)0 ，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小值点，也为最小点【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 由 20atf(t)dt=f(a)一 a2 一 1，两边进行求导得 2af(a)=f(a)一 2a，于是 f(x)一 2xf(x)=2x，解得 【知
17、识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 令 要证 f(x)=g(x)在 x(一1，1)时成立，只需证明：f(x) ，g(x)在(一 1，1)内可导，且当 x(一 1，1)时 f(x)=g(x)；存在 x0(一 1， 1)，使得 f(x0)=g(x0)由初等函数的性质知,f(x)与 g(x)都在(一 1，1) 内可导，且容易计算得到即当 x(一1，1)时 f(x)=g(x)又 f(0)=g(0)=0，因此当 x(一 1，1)时 f(x)=g(x)，即原等式成立【知识模块】 一元函数微分学37 【正确答案】 由题意 令 f(x)=0，得唯一驻点 x=1当x(0，1)时 f(x)0，函数单调递减
18、；当 x(1，)时 f(x)0，函数单调递增所以函数在 x=1 处取得最小值 f(1)=1【知识模块】 一元函数微分学38 【正确答案】 f(x)=3ax 2+2x，由题意 f(0)=0,f(一 1)=3a 一 2=0，由此可得于是 f(x)=2x2+2x,f(x)=4x+2，令二阶导数为 0，则可得 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性，如下：由此可知，函数 f(x)的单调增区间是( 一，一 1)(0，+) ，单调减区间是(一 1，0)，极大值是 ，极小值为 f(0)=2，拐点是【知识模块】 一元函数微分学39 【正确答案】 由 得 exdx=2tdt，由条件 x t=0=0 得 ex=1
19、+t2，即x=ln(1+t2)【知识模块】 一元函数微分学40 【正确答案】 当1ae 时，V(a)0，此时 V(a)是单调减少的当 ae 时，V(a) 0，此时 V(a)是单调增加的；所以 V(a)在 a=e 取得极小值，即为最小值，且最小值为 V(e)=e2【知识模块】 一元函数微分学41 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学42 【正确答案】 先做恒等变形转化为 型极限，然后用洛必达法则【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学43 【正确答案】 已知 2f(0)=02f(x)dx，又根据 f(x)在0，2 上是连续的，由积分中值定理得，至少存在一点 (0，2)，使得
20、 02f(x)dx=f().(2一 0)因此可得 2f(0)=2f()，即存在 (0，2)，使得 f()=f(0)【知识模块】 一元函数微分学44 【正确答案】 因为 f(2)+f(3)=2f(0)，即 又因为 f(x)在2，3上连续，由介值定理知，至少存在一点 12，3使得 f(1)=f(0)又因为函数在0，上连续，在(0，)上可导，且 f(0)=f()，由罗尔中值定理知，存在 1(0，)，有 f(1)=0因为 f(x)在， 1上是连续的，在(， 1)上是可导的，且满足 f()=f(0)=f(1)，由罗尔中值定理知，存在 2(， 1)，有 f(2)=0因为 f(x)在 1， 2上是二阶可导的，且 f(1)=f(2)=0，根据罗尔中值定理，至少存在点 (1， 2)，使得 f()=0【知识模块】 一元函数微分学45 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
