1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 41 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 =0，又f(x)= ，则( )（A）x=0 是 f(x)的极大值点（B） x=0 是 f(x)的极小值点（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设 f(x)二阶连续可导，且 ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（
2、D）x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点3 设函数 f(x)满足关系 f(x)+f2(x)=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）(0 ，f(0) 不是 y=f(x)的拐点4 下列说法正确的是( ) （A）设 f(x)在 x0 二阶可导，则 f(x)在 x=x0 处连续（B） f(x)在a，b 上的最大值一定是其极大值（C） f(x)在(a，b) 内的极大值一定是其最大值（D）若 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定
3、为最值点5 设 f(x)在a，+)上二阶可导， f(a)0，f(a)=0，且 f(x)k(k0)，则 f(x)在(a， +)内的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个6 设 k0，则函数 f(x)= 的零点个数为 ( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个二、填空题7 设 f(x)= 在 x=1 处可微，则 a=_，b=_8 设 F(x)= (x2-t2)f(t)dt，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2，则f(0)=_9 设 f(x)在(-，+) 上可导，则 a=_10 设 f(x，y)可微，f(1 ，2)=2，f x
4、(1，2)=3 ，f y(1， 2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则(1)=_11 曲线 的斜渐近线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f+(a)f-(b)0证明：存在 (a，b)，使得 f()=013 设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f(1)=0，f(2)= 证明：存在(0， 2)，使得 f()=214 设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab=f(b)证明：存在 i(a，b)(i=1，2，n) ，使得15 设函数 y=f(x)二阶可导，f(x
5、)0，且与 x=(y)互为反函数，求 (y)16 设 f(x)在 x=x0 的邻域内连续，在 x=x0 的去心邻域内可导，且 证明：f(x 0)=M17 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f()=18 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a0，b0，存在 ， (0，1)，使得18 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0， 证明：19 存在 c(a，b)，使得 f(c)=0；20 存在 i(a，b)(i=1，2)，且 12，使得 f(i)+f(i
6、)=0(i=1，2)；21 存在 (a，b) ，使得 f()=f()；22 存在 (a，b)，使得 f()-3f()+2f()=023 设 a1a 2 n，且函数 f(x)在a 1，a 2上 n 阶可导，c a1，a 2且 f(a1)=f(a2)=f(an)=0证明：存在 (a1，a n)，使得24 设 f(x)二阶连续可导，且 f(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f(x+h)h(0 1)证明：25 设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f()=26 求 的最大项27 设 x3-3xy+y3=3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值考研数学二（
7、一元函数微分学）模拟试卷 41 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 =0 得 g(0)=g(0)=0，f(0)=0，f(x)=-4x+g(x)，f(0)=0 ，f(x)=-4+g(x)，f(0)=-40，因为，所以存在 0，当0x 时， 0，从而当 x(-，0)时，f(x)0，当 x(0，)时，f(x)0，选(C) 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)二阶连续可导，且 =0，即f(0)=0又 =-10，由极限的保号性，存在 0，当 0x 时，有 0，即当 x(-，0)时，f(x)0
8、，当 x(0，)时，f(x)0所以(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点，选 (C)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)=0 得 f(0)=0，f(x)=1-2f(x)f(x)，f(0)=10，由极限保号性，存在 0，当 0x 时，f(x)0，再由(0)=0 ，得故(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点，选(C)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)= 不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D) 【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 因为
9、f(a)=0，且 f(x)k(k0)，所以 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+，其中 介于 a 与 x 之间而，再由 f(a)0 得 f(x)在(a，+) 内至少有一个零点又因为 f(a)=0，且 f(x)k(k0)，所以 f(x)0(xa)，即 f(x)在a，+)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)的定义域为(0 ，+) ，由 f(x)= 得 x=e，当0xe 时， f(x)0；当 xe 时，f(x)0，由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0，又 ，于是 f(x)在(0，
10、 +)内有且仅有两个零点，选(C)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 2,-1【试题解析】 因为 f(x)在 x=1 处可微，所以 f(x)在 x=1 处连续，于是 f(1-0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1 由 f(x)在 x=1 处可微得 a=2，所以 a=2，b=-1 【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 F(x)= 因为当 x0时，F(x)x 2，所以【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 1【试题解析】 ，由 f(x)-f(x-1)=f()，其中 介于 x-1 与 x 之间，令 x，由=e2，即 e2a=e2，所以
11、a=1【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 47【试题解析】 因为 (x)=fxx，f(x，2x)+f yx，f(x，2x)f x(x，2x)+2f y(x，2x)，所以 (1)=fx1，f(1 ，2)+f y1，f(1 ，2)f x(1，2)+2f y(1，2) =3+4(3+8)=47 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 y=2x-4【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 不妨设 f+(a)0，f -(b)0，根据极限的保号性，由 f+(a)=0，则存在 0(b-a) ，当 0x-a 时，即 f(
12、x)f(a)，所以存在 x1(a，b) ，使得 f(x1)f(a)同理由 f-(6)0，存在 x2(a，b) ，使得 f(x2)f(b) 因为 f(x)在a，b上连续，且 f(x1)f(a)，f(x2)f(b) ，所以 f(x)的最大值在 (a，b)内取到，即存在 (a，b)，使得 f()为 f(x)在a ，b上的最大值，故 f()=0【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 方法一 先作一个函数 P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得 P(0)=f(0)=1，P(1)=f(1)=0，P(2)=f(2)= ，P(1)=f(1) 则 P(x)=令 g(x)=f(x)-P(x)，则 g(x
13、)在0，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在 c1(0，1)，c 2(1，2)，使得 g(c1)=g(1)=g(c2)=0【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 令 h= ，因为 f(x)在a，b上连续且单调增加，且 f(a)=ab=f(b)，所以 f(a)=aa+h a+(n-1)hb=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在 a c1c 2c n-1b，使得 f(c1)=a+h，f(c 2)=a+2h，f(c n-1)=a+(n-1)h，再由微分中值定理，得 f(c1)-f(a)=f(1)(c1-a)， 1(a，c 1)，f(c 2)-f(c1)=f(2)
14、(c2-c1)，2(c1， c2)，f(b)-f(c n-1)=f(n)(b-cn-1)， n(cn-1，b) ，从而有【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以 (y)=【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)-f(x0)=f()(x-x0)，其中 介于 x0 与 x 之间，则=M，即 f(x0)=M【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 令 (x)=(x-1)2f(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0， 1)，使得 f(c)=0，再由 (c)
15、=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=2(x-1)f(x)+(x-1)2f(x)，所以 2(-1)f()+(-1)2f()=0，整理得 f()=【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，f(0)-0 ，f(1)=1，且 f(0) f(1)，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)= 由微分中值定理，存在(0， c)， (c，1) ，使得【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 令 F(x)= ，则 F(a)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且F(x)= f(
16、x)故存在 c(a，b)，使得 =F(b)-F(a)=F(c)(b-a)=f(f)(b-a)=0，即f(c)=0【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 h(x)=exf(x)，因为 h(a)=h(c)=(n)=0，所以由罗尔定理，存在1(a， c)， 2(c，b) ，使得 h(1)=h(2)=0， 而 h(x)=exf(x)+f(x)且 ex0，所以f(i)+f(i)=0(i=1，2)【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 (x)=e-xf(x)+f(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在(1， 2) (a，b) ，使得 ()=0，而 (x)=e-xf(x)-f(
17、x)且 e-x0，所以 f()=f()【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 令 g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在 1(a，c) ，2(c， b)，使得 g(1)=g(2)=0， 而 g(x)=e-xf(x)-f(x)且 e-x0，所以 f(1)-f(1)=0，f( 2)-f(2)=0 令 (x)=e-2xf(x)-f(x)，( 1)=(2)=0， 由罗尔定理，存在(1， 2) (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=e-2xf(x)-3f(x)+2f(x)且 e-2x0， 所以f()-3f()+2f()=0【知识模块】 一元函数微分学2
18、3 【正确答案】 当 c=ai(i=1，2，n)时，对任意的 (a1，a n)，结论成立；设 c为异于 a1，a 2，a n 的数，不妨设 a1ca 2a n令 k=构造辅助函数 (x)=f(x)-k(x-a1)(x-a2)(x-an)，显然 (x)在a 1，a n上 n 阶可导，且 (a1)=(c)=(a2)=(a n)=0，由罗尔定理，存在，(x)在(a 1，a n)内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n-1)(x)在(a 1，a n)内至少有两个不同零点，设为 c1，c 2(a1，a n)，使得 (n-1)(c1)=(n-1)(c2)=0，再由罗尔定理，存在 (c1，c 2
19、) (a1，a 2)，使得 (n)()=0而 (n)(x)=f(n)(x)-n!k，所以 f()=n!k，从而有【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 由泰勒公式得 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ ，其中 介于 x 与 x+h之间由已知条件得 f(x+h)h=f(x)h+ ，或 f(x+h)-f(x)= 两边同除以h，得【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 因为 f(x)在区间0，1上连续，所以 f(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最小值 m，对 f(x)-f(0)=f(c)x(其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得由介值定理，存在0， 1，使得 f()=【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 f(x)= (x1)，由 f(x)= ，令 f(x)=0 得 x=e当 x(0，e)时，f(x) 0；当 x(e，+)时，f(x)0，则 x=e 为 f(x)的最大点，于是 因为【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 x 3-3xy+y3=3 两边对 x 求导得 3x2-3y-3xy+3y2y=0，因为 y(-1)=10，所以 x=-1 为极小点，极小值为 y(-1)=1；因为【知识模块】 一元函数微分学
