1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 52 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()在 a 处可导，且 f(a)0，则f()在 a 处( )（A）可导（B）不可导（C）不一定可导（D）不连续2 设 为 f()arctan 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 为( )（A）1（B）（C）（D）3 设 f()在 a 处二阶可导，则 等于( )（A）f(a)（B） f(a)（C） 2f(a)（D） f(a)4 设 f()在 0 处二阶可导，f(0)0 且 2，则( )（A）f(0)是 f()的极大值（B） f(0)是 f()的极小值（C） (0，f(
2、0)是曲线 y f()的拐点（D）f(0)不是 f()的极值，(0，f(O)也不是曲线 yf()的拐点5 设 f()连续可导， g()连续，且 0，又 f()2 2 0g(t)dt，则( )（A）0 为 f()的极大值点（B） 0 为 f()的极小值点（C） (0，f(0)为 yf() 的拐点（D）0 既不是 f()极值点，(0，f(0)也不是 yf()的拐点6 设 f()在 a 处的左右导数都存在，则 f()在 a 处( )（A）一定可导（B）一定不可导（C）不一定连续（D）连续7 f()g()在 0 处可导，则下列说法正确的是( )（A）f()，g() 在 0 处都可导（B） f()在 0
3、 处可导，g()在 0 处不可导（C） f()在 0 处不可导，g()在 0 处可导（D）f()，g() 在 0 处都可能不可导8 f()在 0 处可导，则f()在 0 处( )（A）可导（B）不可导（C）连续但不一定可导（D）不连续9 设 f()为二阶可导的奇函数，且 0 时有 f()0，f()0，则当 0 时有( )（A）f() 0，f() 0（B） f()0，f()0（C） f()0，f()0（D）f() 0，f() 010 设 f()为单调可微函数，g() 与 f()互为反函数，且 f(2)4，f(2) ，f(4)6，则 g(4)等于( )（A）（B）（C）（D）4二、填空题11 设
4、f() ，则 f()_12 设两曲线 y 2ab 与2y1y 3 在点 (1，1)处相切，则a_， b_ 13 设函数 y 满足 f()arctan ，则 _14 设 f()二阶连续可导，且 0，f(0)4，则_15 设 f()在 1 处一阶连续可导，且 f(1)2，则_16 设 f()为二阶可导的偶函数，f(0)1，f(0) 2 且 f()在 0 的邻域内连续，则 _17 设 f()满足 f()f(2)，f(0) 0，又在(1，1)内 f() ，则 f( )_18 若 f()2n(1) n，记 Mn f()，则 Mn_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 (t)由 si
5、nt 0 确定，求 20 设 33yy 33 确定 y 为 的函数，求函数 yy()的极值点21 (y)是 yf()的反函数，f()可导，且 f() ，f(0)3，求 (3)22 设 f()连续， () 01f(t)dt，且 A求 ()，并讨论 ()在 0 处的连续性23 设函数 f()在 1 的某邻域内有定义，且满足f()2e ( 1) 2，研究函数f()在 1 处的可导性24 设 f()在 0 的邻域内二阶连续可导， 2，求曲线 yf()在点(0，f(0)处的曲率25 设 y ，求 y26 设 f() ，且 f(0)存在，求 a，b，c 27 设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，
6、f(0) 0，f( )1，f(1)0证明： (1)存在 ( ，1)，使得 f()； (2)对任意的 k( ，)，存在 (0，)，使得 f()kf()128 设 f()在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 0，又f(2)2 f()d，证明：存在 (0，2)，使得 f()f() 029 设 f()在0，1上可导，f(0)0，f() f()证明：f()0，0，130 设 f()Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)f(b)1证明：存在 ，(a ，b)，使得 2e2 (e ae b)f()f()31 设 f()二阶可导， f(0)f(1) 0 且 f()1证明：存在 (0，1)，使得f()832
7、 一质点从时间 t0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于433 设 f()在0，1上二阶可导，且f()1(0，1)，又 f(0)f(1)，证明：f() (0，1)34 设 f()在( 1，1)内二阶连续可导，且 f()0证明： (1)对(1，1)内任一点0，存在唯一的 ()(0，1)，使得 f()f(0) f(0)f()； (2) 35 设 f()在a，b上二阶可导，且 f(a)f(b)0证明：存在 (a，b)，使得f() f(b)f(a)36 f()在 1，1上三阶连续可导，且 f(1)0，f(1)1，f(
8、0) 0证明：存在(1 ，1)，使得 f()337 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得f(b)2f f(a) f()考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 52 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(a)0，因为 f()在 a 处可导，所以 f()在 a 处连续，于是存在 0，当 a 时，有 f()0，于是即f()在 a处可导，同理当 f(a)0 时，f() 在 a 处也可导，选 A【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(a)f(0)f()
9、a，故选C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 故选 D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 2，得 f(0)f(0)0，于是 f(0)0 再由f(0)f(0)f(0)f (0)2，得 f(0)20，故 f(0)为 f()的极小值，选 B【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由 0g(t)dt 0g(t)dt 得 f()2 2 0g(t)dt，f()4g()， 因为 40， 所以存在0，当 0 时， 0， 即当 (，0)时，f()0；当(0，) 时，f()0，故(0，f(0)为 yf()的拐点，应选 C【知识模块】 一
10、元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f()在 a 处右可导，所以 存在，于是f()f(a)，即 f()在 a 处右连续，同理由 f()在 a 处左可导，得 f()在a 处左连续，故 f()在 a 处连续，由于左右导数不一定相等，选 D【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 令 显然f()，g()在每点都不连续，当然也不可导，但 f()g()1 在任何一点都可导，选D【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由 f()在 0 处可导得f() 在 0 处连续，但f() 在 0 处不一定可导，如 f() 在 0 处可导，但f() 在 0 处不
11、可导，选 C【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f()为二阶可导的奇函数，所以 f()f() ，f()f()，f()f()，即 f()为偶函数，f() 为奇函数，故由 0 时有 f()0，f()0，得当 0 时有 f() 0，f()0，选 A【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 2(14)e 8【试题解析】 得 f()2e 88 2e82(14)e 8【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 3；3【试题解析】 因为两曲线过点(1，1)，所以 b a0，又由 y 2ab 得a2，再由2y
12、1y 3 得 ，且两曲线在点(1，1) 处相切，则 a21，解得 ab 3【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 e 2【试题解析】 由 0 得 f(0)0，f(0) 0，则【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 1【试题解析】 因为 f()为偶函数，所以 f()为奇函数，于是 f(0)0，又因为 f()在 0 的邻域内连续，所以 f()f(0)f(0) o( 2)1 2o( 2)，于是 1【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 因
13、为在(1，1)内 f()， 所以在 (1，1)内 f()由 f(0)0 得【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 由 f()2n(1) n2n 2(1) n1 0 得 ， 当 (0，)时， f()0；当 ( ，1)时，f()0，则 为最大点，【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 将 t0 代入 sint 0 得 0， 再由0 得 1， sint 0 两边对 t 求导得 cost0，从而 e1， cost 0 两边再对 t 求导得将t0，1， e 1 代入得 2e 2【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】
14、33yy 33 两边对 求导得令 0 得 y 2，代入33yy 33 得 1 或 ，因为 10，所以 1 为极小值点，极小值为 y1； 因为 10，所以 为极大值点，极大值为 y y 2 时， 0，此时 y 没有极值【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 因为 (3) ，而 f(0)e ，所以 (3) ， f()(2 1) ，f(0)e，【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 当 0 时，当 0 时，(0) 01f(0)dt0，所以()在 0 处连续【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 把 1 代入不等式中，得 f(1)2e 当 1 时，不等式两边同除以1，得【知识模
15、块】 一元函数微分学24 【正确答案】 则 yf()在点(0，f(0)处的曲率为 K 2【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 当 1 时，y ； 当 1 时，y1；当1 时，y 1； 由0 得 y 在 1 处不连续，故 y(1)不存在；得y (1)1， 因为 y (1)y (1)，所以 y 在 1 处不可导， 故 y【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 因为 f()在 0 处连续，所以 c0，即由 f()在 0 处可导，得 b1，即由 f(0)存在，得 a ，即 a ， b1，c0【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 (1)令 ()f() ，() 在0，1上连续，
16、 0，(1)10， 由零点定理，存在 ( ，1)，使得 ()0，即 f() (2) 设 F()e k ()，显然 F()在0， 上连续，在(0，)内可导，且 F(0)F()0，由罗尔定理，存在 (0，) ，使得 F()0，整理得 f()kf() 1【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 由 0，得 f(1)1， 又所以 f(1)0 由积分中值定理得 f(2)2 f()df(c)，其中 c1， 由罗尔定理，存在 0(c，2)(1， 2)，使得 f(0)0 令 ()e f()，则 (1)( 0)0， 由罗尔定理，存在 (1， 0) (0，2)，使得 ()0， 而 ()e f()f()且 e
17、0，所以 f()f()0【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 因为 f()在0，1上可导，所以 f()在0，1上连续，从而f()在0， 1上连续，故 f()在0，1上取到最大值 M，即存在 00，1，使得f( 0) M 当 00 时，则 M0，所以 f()0，0，1； 当 00 时，Mf( 0)f( 0)f(0)f() 0 ， 其中 (0， 0)，故 M0，于是 f()0， 0，1【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 令 ()e f()，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得再由 f(a)f(b)1，得 e f()f() ， 从而 (eae b)ef()f()， 令 ()e
18、 2，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 2e 2， 即 2e2(e ae b)ef()f() ，或2e2 (e a eb)f()f()【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 因为 f()在0，1上二阶可导，所以 f()在0，1上连续且 f(0)f(1)0， f()1，由闭区间上连续函数最值定理知，f()在0，1取到最小值且最小值在(0，1) 内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)1，再由费马定理知f(c)0， 根据泰勒公式 f(0)f(c)f(c)(0c) (0c) 2， 1(0，c) f(1)f(c)f(c)(1c) (1c) 2， 2(c，1) 整理得当 c0， 时，f
19、 ( 1) 8，取 1； 当 c( ，1)时，f( 2) 8，取 2 所以存在 (0，1)，使得 f ()8【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 设运动规律为 SS(t)，显然 S(0)0，S(0) 0，S(1)1，S(1)0 由泰勒公式两式相减，得 S( 2)S( 1)8 S( 1)S ( 2)8 当S(1) S (2)时，S( 1)4； 当S( 1)S ( 2)时，S(2)4【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)f()f() f( 1)2， 1(0，z) ， f(1)f()f()(1) f( 2)(1) 2， 2(，1)， 两式相减，得 f() 两
20、边取绝对值，再由f()1，得【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 (1)对任意 (1，1)，根据微分中值定理，得 f() f(0) f()，其中 0()1 因为 f()C(1，1)且 f ()0，所以 f()在(1，1)内保号，不妨设 f()0， 则 f()在( 1，1)内单调增加，又由于 0，所以 ()是唯一的 (2)由泰勒公式，得 f()f(0)f(0) ，其中 介于 0 与 之间，而 f()f(0)f()，所以有令 0，再由二阶导数的连续性及非零性，得【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 由泰勒公式得两式相减得 f(b)f(a) f( 1)f( 2) 取绝对值得f(b
21、)f(a)f ( 1)f( 2) (1)当f( 1) f ( 2)时，取 1，则有f () f(b)f(a)； (2)当f( 1)f( 2)时，取 2，则有f() f(b)f(a)【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 由泰勒公式得两式相减得 f()f()6 因为 f()在1，1上三阶连续可导，所以 f()在1， 2上连续，由连续函数最值定理，f()在 1， 2上取到最小值 m 和最大值M，故 2mf(1)f( 2)2M，即 m3M 由闭区间上连续函数介值定理，存在1， 2 (1，1)，使得 f()3【知识模块】 一元函数微分学37 【正确答案】 因为 f()在(a，b)内二阶可导，所以有两式相加得 因为 f()在(a，b)内连续，所以 f()在 1， 2上连续，从而 f()在 1， 2上取到最小值 m 和最大值 M，故 m M， 由介值定理，存在 1， 2(a，b)，使得 f() 故【知识模块】 一元函数微分学
