1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 54 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()在 a 的邻域内有定义，且 f(a)与 f(a)都存在，则( )（A）f()在 a 处不连续（B） f()在 a 处连续（C） f()在 a 处可导（D）f()在 a 处连续可导2 下列命题成立的是( ) （A）若 f()在 0 处连续，则存在 0，使得 f()在 0 内连续（B）若 f()在 0 处可导，则存在 0，使得 f()在 0 内可导（C）若 f()在 0 的去心邻域内可导，在 0 处连续且 f()存在，则 f()在 0 处可导，且 f(0) f()（D
2、）若 f()在 0 的去心邻域内可导，在 0 处连续且 f()不存在，则 f()在 0处不可导3 f() 则 f()在 0 处( )（A）不连续（B）连续不可导（C）可导但 f()在 0 处不连续（D）可导且 f()在 0 处连续4 函数 f()在 1 处可导的充分必要条件是( )（A） 存在（B） 存在（C） 存在（D） 存在5 设 f()可导，则下列正确的是( )（A）若 f()，则 f()（B）若 f()，则 f()（C）若 f()，则 f()（D）若 f()，则 f()6 下列说法正确的是( ) （A）f()在(a，b) 内可导，若 f() ，则 f()（B） f()在(a，b)内可导
3、，若 f()，则 f()（C） f()在(，) 内可导，若 f()，则 f()（D）f()在(，)内可导，若 f() ，则 f()7 下列说法中正确的是( )（A）若 f()0，则 f()在 0 的邻域内单调减少（B）若 f()在 0 取极大值，则当 (0， 0)时，f()单调增加，当(0， 0)时，f() 单调减少（C） f()在 0 取极值，则 f()在 0 连续（D）f()为偶函数， f(0)0，则 f()在 0 处一定取到极值8 设 f()二阶连续可导， ，则( )（A）f(2)是 f()的极小值（B） f(2)是 f()的极大值（C） (2，f(2)是曲线 y f()的拐点（D）f(
4、2)不是函数 f()的极值，(2，f(2)也不是曲线 yf()的拐点二、填空题9 设 f()在 a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则_10 设 _11 设 _12 设由方程 ef(y)e y 确定 y 为 的函数，其中 f()二阶可导，且 f1，则_13 设 yy()由 yeycos10 确定，求 dy 0 _14 设 0yetdt 0costdt 确定函数 yy() ，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f()在0，1上二阶可导，且f()a，f ()b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点 (1)写出 f()在 c 处带拉格朗日型余项的一阶泰
5、勒公式； (2)证明： f(c)2a 16 设 f()在 a，a(a 0)上有四阶连续的导数， 存在 (1)写出 f()的带拉格朗日余项的麦克劳林公式。 (2)证明：存在 1， 2a，a，使得17 设 f()在 0 的邻域内四阶可导，且f (4)()M(M0)证明：对此邻域内任一异于 0 的点 ，有 其中为 关于 0 的对称点18 设 f()，g()在a，b 上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)0，f(a)f(b)0，且 g()0(a，b)，g()0(a b)，证明：存在 (a，b)，使得19 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内二阶可导，f(a)f(b)0，且 f+(a)0
6、证明：存在 (a，b)，使得 f()020 设 f()二阶可导， f(0)0，且 f()0证明：对任意的 a0，b0，有f(ab) f(a)f(b)21 设 f()在a，b上连续，且 f()0，对任意的 1， 2a，b及 01，证明：f1(1 ) 2f(1)(1)f( 2)22 设 f()二阶可导， 1 且 f() 0证明：当 0 时，f()23 设 f()在0，)内可导且 f(0)1，f()f()(0)证明：f()e (0)24 设 f()在a，b上二阶可导，且 f()0，取 ia，b(i1，2，n)及ki0(i1，2，n)且满足 k1k 2k n1证明：f(k 11k 22k nn)k1f
7、(1)k 2f(2)k nf(n)25 证明：当 0 时，( 21)lnx( 1) 226 当 0 时，证明：27 设 0a b，证明：28 求由方程 2y 3y 0 确定的函数在 0 内的极值，并指出是极大值还是极小值29 设 f()在0，1上二阶可导，且 f(0)f(0) f(1)f(1)0证明：方程 f()f()0 在(0，1)内有根30 设 f()3 2A -3(0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时， f()20?31 设 f()在0，)内二阶可导，f(0)2，f(0)1，f()0证明：f()0 在(0， )内有且仅有一个根32 设 fn() 2 n(n2) (1)证明方程 fn(
8、)1 有唯一的正根 n； (2) 求n33 设 a0，讨论方程 ae 2 根的个数考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 54 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f (a)存在，所以 存在，于是 f()f(a) ，即 f()在 a 处右连续，同理由 f (a)存在可得 f()在 a 处左连续，故 f()在a 处连续，选 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【知识模
9、块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 当 (n)时，f() 0，则 f()在 0 的任意邻域内都不单调减少，A 不对； f() f()在 0 处取得极大值，但其在 0 的任一邻域内皆不单调，B 不对； f() f()在1 处取得极大值，但 f()在 1 处不连续，C 不对； 由 f(0)存在，得 f(0)存在，又 f()为偶函数，所以 f(0)0，所以 0 一定为 f()的极值点，选 D【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学
10、10 【正确答案】 0【试题解析】 当 0 时，t0；当 t0 时，由 ye y1，得 y0方程 ye yln(et 2)两边对 t 求导数，得【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 方程 ef(y)e y 两边对 求导，得【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 2d【试题解析】 当 0 时，y1，将 yeycos10 两边对 求导得 cossin 0， 将 0，y1 代入上式得2，故 dy 0 2d【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 1yedt 0costdty 两边对 求导
11、得【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)f()f(c)f(c)(c) (c) 2，其中 介于 c 与 之间 (2)分别令 0，1，得 f(0)f(c)f(c)c c2(0，c) f(1)f(c)f(c)(1c) (1c) 2， 2(c，1)， 两式相减，得 f(c)f(1)f(0)(1c) 2，利用已知条件，得 f(c)2a c2(1c) 2， 因为 c2(1c) 21，所以 f(c)2a 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 (1)由 存在，得 f(0)0 ，f(0) 0，f(0)0， 则 f()的带拉格朗日余项的麦
12、克劳林公式为 f() 其中 介于 0 与 之间 (2)上式两边积分得 因为 f(4)()在a，a 上为连续函数，所以 f(4)()在a，a 上取到最大值 M 和最小值 m，于是有m4f(4)()4M4， 两边在 a，a上积分得根据介值定理，存在 1a，a ，使得 f(4)(1) f()d，或 a5f(4)(1)60 -aaf()d 再由积分中值定理，存在 2a，a，使得 a 5f(4)(1)60 -aaf()d120af( 2)，即 a4f(4)(1)120f( 2)【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 两式相加得 f() f() 2f( 0)f( 0)( 0)2 f(4)(1)f
13、(4)(2)( 0)4， 于是再由f 4() M，得【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 设 f (a)0，f (b)0， 由 f (a)0，存在 1(a，b)，使得f(1)f(a)0； 由 f (6)0，存在 2(a，b)，使得 f(2)f(b)0， 因为 f(1)f(2)0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)0 令 h() ，显然 h()在a ，b上连续，由 h(a)h(c) h(b)0， 存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h(1)h( 2)0，令 ()f()g()f()g()，( 1)( 2)0， 由罗尔定理，存在 (1， 2)(a，b)，使得 ()0，
14、 而 ()f()g() f()g()， 所以【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 因为 f (a)0，所以存在 0，当0a 时，有 0，从而 f()f(a)，于是存在 c(a，b)，使得f(c)f(a)0 由微分中值定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)使得再由微分中值定理及 f()的二阶可导性，存在 (1， 2) (a，b)，使得【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1(0，a) ， 2(b，ab)，使得 两式相减得 f(ab)f(a)f(b)f( 2)f( 1)a 因为 f()0，所以 f()单调增加，而 1 2，所以 f(1)f(
15、 2)， 故f(ab) f(a)f(b)f( 2)f( 1)a0，即 f(ab) f(a)f(b)【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 0 1(1) 2，则 0a，b，由泰勒公式得 f()f( 0)f( 0)( 0) ( 0)2，其中 介于 0 与 之间， 因为 f()0，所以 f()f(0)f( 0)( 0)， 于是两式相加，得 f1(1 )2f(1)(1)f( 2)【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由 1，得 f(0)0，f(0)1， 又由 f() 0 且 0，所以 f()f(0)f(0)【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 令 ()e f()，则 (
16、)在0，) 内可导， 又 (0)1，()e f()f() 0(0)，所以当 0 时，()(0)1，所以 有 f()e ( 0)【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令 0k 11k 22k nn，显然 0a，b 因为 f() 0，所以 f()f(0)f( 0)( 0) 分别取 i(i1，2，n)得由 ki0(i 1，2，n)，上述各式分别乘以 ki(i1，2， n)，得将上述各式分别相加，得f(0)k1f(1) k2f(2)k nf(n)，即 f(k 11k 22k nn)k1f(1)k 2f(2)k nf(n)【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 ()( 21)ln(
17、1) 2，(1)0 ()2ln2 ，(1)0 ()2ln1 ，(1)20则 故 1 为 ()的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 (1)20，故 ()0( 0) 故 1为 ()的极小值点，也为最小值点，而最小值为 (1)0， 所以 0 时，()0，即( 21)ln(1) 2【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 f()( 1)ln(1) 2arctan，f(0)0对( 1) 22 1，因为44( 1)( 1)0 且 10， 所以( 1) 22 10，从而 f()0(0) 由 得 f()f(0)0(0)， 即【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 首先证明 因为
18、0， 所以令 ()lnlna ，而 ba，所以 (b)0， 令 f()ln ，则存在(a， b)，使得 ，其中 0a b，则【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 根据隐函数求导数法，得 y 令 y 0，得y2，再将 y2 代入原方程得 ，函数值为 y 将 ，y0代入 y得 320， 所以 为函数的极大值点，且极大值为y 【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 令 ()e f()f() 因为 (0)(1)0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 (c)0， 而 ()e f() f()且 e 0，所以方程 f(c)f(c)在(0 ，1)内有根【知识模块】 一元函数微分学30 【
19、正确答案】 f()20 等价于 A2033 5， 令 ()20 33 5，由 ()60 215 40，得 2， ()12060 3，因为 (2)2400，所以2 为 ()的最大值点，最大值为 (2)64，故 A 至少取 64 时，有 f()20【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 因为 f()0，所以 f()单调不减，当 0 时，f()f(0) 1 当 0 时， f()f(0)f() ，从而 f()f(0)，因为 f(0) ， 所以f() 由 f()在0，)上连续，且 f(0)20， f()，则f()0 在(0 ，)内至少有一个根，又由 f()10，得方程的根是唯一的【知识模块】 一
20、元函数微分学32 【正确答案】 (1)令 n()f n()1，因为 n(0)10， n(1)n10，所以 n()在(0 ， 1) (0，) 内有一个零点，即方程 fn()1 在(0，) 内有一个根 因为 n()12 n n-10，所以 n()在(0，) 内单调增加，所以n()在(0 ， )内的零点唯一，所以方程 fn()1 在(0，)内有唯一正根，记为n (2)由 fn(n)f n+1(n+1)0，得 ( n n+1)( n2 n+12)( nn n+1n) n+1n+10， 从而 n n+1，所以 nn1 单调减少，又 n0(n1，2，)， 故存在，设 A，显然 An11，由 n n2 nn1， 得1，两边求极限得 1，解得 A ， 即【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 ae 2 等价于 2e a0 令 f() 2e a，由 f()(2 2)e 0 得 0， 2 当 0 时，f() 0；当 02 时，f()0；当 2 时，f()0， 于是 0 为极小值点，极小值为 f(0)a 0；2 为极大值点，极大值为 f(2) a ， 又 a 0 (1) 当 a 0，即 0a 时，方程有三个根； (2)当 a0，即 a 时，方程有两个根 (3)当 a0，即 a 时，方程只有一个根【知识模块】 一元函数微分学
