1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 47 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 下述命题成立的是( )（A）f(x)在一 1，1上存在原函数。（B）令 F(x)=1 xf(t)dt，则 f(0)存在。（C） g(x)在一 1，1上存在原函数。（D）g (0)存在。2 设 F(x)=xx2 esintsintdt，则 F(x)( )（A）为正常数。（B）为负常数。（C）恒为零。（D）不为常数。3 设 f(x)= F(x)=1 xf(t)dt，则 F(x)在 x=0 处( )（A）极限存在但不连续。（B）连续但不可导。（C）可导。（D）可导
2、性与 a 有关。4 设函数 f(x)= 若反常积分 1 f(x)dx 收敛，则( )（A）一 2。（B） 2。（C）一 20。（D）02。5 如图 1-32，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a 上有连续的导数，则定积分 0axf(x)dx 等于( )（A）曲边梯形 ABOD 面积。（B）梯形 ABOD 面积。（C）曲边三角形 ACD 面积。（D）三角形 ACD 面积。6 半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度=1。若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P 为( )二、填空题7 =_。8 =_。9 当 a0 时， =_。10 =
3、_。11 =_。12 01 =_。13 设函数 f(x)= 且 0，则 xf(x)dx=_。14 在曲线 y=x2(0x1)上取一点(t ，t 2)(0t1)，设 A1 是由曲线 y=x2(0x1)，直线 y=t2 和 x=0 所围成图形的面积；A 2 是由曲线 y=x2(0x1)，直线 y=t2 和 x=1 所围成图形的面积，则 t 取_时，A=A 1+A2 取最小值。15 曲线 y=0xtantdt(0x )的弧长 s=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求 。17 证明 I= sinx2dx0。18 计算 01 。19 设 f(x)=arcsin(x 一 1)2，
4、f(0)=0，求 01f(x)dx。19 计算下列反常积分(广义积分)。20 3 ；21 0 dx。22 设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 0af(x)dx=af(0)+ f()。23 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且满足 axf(t)dtaxg(t)dt，xa，b)， abf(t)dt=abg(t)dt。 证明 abxf(x)dxabxg(x)dx。24 设 f(x)= ，证明曲线 y=f(x)在区间(ln2， +)上与 x 轴围成的区域有面积存在，并求此面积。25 设曲线 y=ax2(x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x2 交于点 A，过
5、坐标原点 O 和点 A的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形 D，求 (I)D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； ( )a 的值，使 V(a)为最大。26 一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b 的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度 b 时(如图 134)，计算油的质量。(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为常数 kgm 3)27 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图 135 所示)。已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 2
6、0Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：1N1m=1J，m，N，s， J 分别表示米，牛，秒，焦。抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。)考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 47 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 =0=g(0)可知，g(x)在 x=0 处连续，所以g(x)在一 1，1上存在原函数。故选 C。以下说明选项 A、B、D 均不正确的原因：A 项， =0 可知，x=0 是 f(x)的跳跃间断点，所以在包含 x=0 的区间上 f(x)不存在原函数
7、。B 项，由 F (0)=1，可知 F(0)不存在。D 项，由不存在，可知 g(0)不存在。【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由分析可知，F(x)=F(0)，而 F(0)= 02esintsintdt=一 02esintdcost =一esintcost 02+02esintcos2tdt =02esintcos2tdt0 故选 A。【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，F(x)= 1 xf(t)dt=ex 一 e1 ；当 x0 时，F(x)= 1 0f(t)dt 0xf(t)dt=1e 1 ax。因为 =1 一 e1 =F(0
8、)，所以F(x)在 x=0 处连续。而 =a，即 F(x)在x=0 处的可导性与 a 有关。所以选 D。【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 根据反常积分的收敛性判断，将已知积分分解为 1 f(x)dx=，其中 当且仅当 一11 时才收敛； ，当且仅当 0才收敛。从而仅当 0 2 时，反常积分 1 f(x)dx 才收敛，故应选 D。【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 0axf(x)dx=0axf(x)=xf(x) 0a 一 0af(x)dx=af(a)一 0af(x)dx，其中af(a)是矩形 ABOC 的面积， 0af(x)dx 为曲边
9、梯形 ABOD 的面积，所以 0axf(x)dx 为曲边三角形 ACD 的面积。【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 如图 137 所示，任取x，x+dx0，R ，相应的小横条所受压力微元 dP=x2ydx=2x dx，于是闸门所受压力P=0R2x dx。故选 C。【知识模块】 一元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 4lnx+2lnx 一 1+ +C【试题解析】 所以计算可得 A=4，B=2，C= 一 1。【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 +C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 令 x=asint，则【知识模块】 一
10、元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 令 x 一 1=sint，则【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 令 x=sint，则【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 已知 x0 时，函数 f(x)值恒为 0，因此可得 xf(x)dx=0 xex dx= 0 xd(ex )=x x 0 0 ex dx= 。【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 如图 139 所示，A 1=0t(t2 一 x2)dx，A 2=t1(x2 一 t2)dx，A(t)=A 1(t)+A
11、2(t)=20t(t2 一 x2)dx+01(x2 一 t2)dx= (0t1)，A (t)=2t(2t 一 1)所以，当 t= 时，A=A 1+A2 取最小值。【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 ln(1+ )【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 原式【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 令 x2=t，则 I= =I1+I2。对于 I2，令 t=s+，则 I2= ，于是 I=I1+I2=。上述积分中被积函数 f(t)=0，若补充定义 f(0)=0，则 f(t)在0，上连续，且 f(t)0。根据定积
12、分的性质可得 I0。【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 由题意 01f(x)dx=01f(x)d(x 一 1)=(x 一 1)f(x) 01 一 01(x 一 1)f(x)dx=f(0)一 01(x 一 1)f(x)dx=一 01(x 一 1)arcsin(x 一 1)2dx= 01arcsin(x 一 1)2d(x 一1)2，令 (x 一 1)2=t，则上式可化为【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 由于 x2 一 2x=(x 一 1)21，因此为去掉被积函数中的根号，可令x 一 1=sect
13、则有【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 采用分解法与分部积分法，由于 ，故可将被积函数分解，并用分部积分法有【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由已知 0af(x)dx=0af(x)d(xa)=(x 一 a)f(x) 0a 一 0a(x 一 a)f(x)dx=af(0)一 0a(x 一 a)f(x)dx。因为 f(x)连续，所以 f(x)在0，a上存在最小值 m 和最大值 M，则 m(a 一 x)(a 一 x)f(x)M(a 一 x)，故 0a(a 一 x)f(x)dx ，再由介值定理可知，至少存在一点 0，a，使得 0a(ax)f (x)dx= f(x)，于是 0af
14、(x)dx=af(0) f()。【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 g(x)，G(x)= axF(t)dt，由题设 G(x)0，xa，b，且 G(a)=G(b)=0，G (x)=F(x)。 从而 abxF(x)dx=abxdG(x)=xG(x) ab 一 abG(x)dx=一abG(x)dx。 由于 G(x)0， xa，b，故有 abG(x)dx0，即 abxF(x)dx0。因此可得 abxf(x)dxabxg(x)dx。【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 考虑广义积分 I= 的收敛性。因此广义积分收敛，即所围成区域的面积存在。取变换 ex=s
15、ect，则 x=ln(sect)，e xdx=secttantdt，【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由题意知 y=ax2 与 y=1 一 x2 的交点为 1060，直线 OA 的方程为 V= x。(I) 旋转体的体积 V(a)=。()。当 a0 时，得V(a)的唯一驻点 a=4。当 0a4 时，V (a)0；当 a4 时，V (a)0。故 a=4 为V(a)的唯一极大值点，即为最大值点。【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 如图 1311，建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为=1。图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形。记 S1 为下半椭圆面积，则 S1= ab，记 S2 是位于 x 轴上方阴影部分的面积，则 S2= ，记 y=bsint，则dy=bcostdt，则 因此可知油的质量为【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 作 x 轴如图 1312 所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为 W，当抓斗运动到 x 处时，作用力 f(x)包括抓斗的自重 400N，缆绳的重力50(30 一 x)N，污泥的重力 2000 一 x20(N) ，即 f(x)=400+50(30 一 x)+2000 一，于是 W=030(3900 一 x)dx=3900x x2 030=91500(J)。【知识模块】 一元函数积分学
