1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 15 及答案与解析一、选择题1 设全集 U=xNx2，集合 A=xNx 25，则 =( )（A）（B） 2（C） 5（D）2 ，52 已知 i 是虚数单位，a，b R，则“a=b=1”是“(a+bi) 2=2i”的( )（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3 某几何体的三视图(单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是 ( )（A）90cm 2（B） 129cm2（C） 132cm2（D）138cm 24 为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象，可以将函数 y= cos3x 的图象(
2、 )5 下列式子不正确的是( )（A）(3x +cosx)=6x 一 sinx（B） (lnx 一 2x)= 2xln2（C） (2sin2x)=2cos2x（D）6 已知二面角 一 l 一 的大小为 50 度，P 为空间中任意一点，则过点 P 且与平面 和平面 所成的角都是 25的直线的条数为( )（A）2（B） 3（C） 4（D）57 在同一直角坐标系中，函数 f(x)=xa(x0)，g(x)=log ax 的图象可能是( )8 若非零向量 a 与 b 的夹角为 ，且(3a 一 2b)a,则 6a 一 b 与 b 的夹角为( )9 某单位组织职工义务献血，在检验合格的人中，O 型血 8 人
3、，A 型血 7 人，B 型血 5 人，AB 型血 4 人，现在从四种血型的人中各选 1 人去献血，共有不同的选法( )（A）16 种（B） 24 种（C） 1680 种（D）1120 种10 已知 等于( )二、填空题11 已知 ，则 tan2=_12 函数 f(x)= 的最小值为_ 13 已知直线 ax+y 一 2=0 与圆心为 C 的圆(x 一 1)2+(y 一 a)2=4 相交于 A，B 两点，且ABC 为等边三角形，则实数 a=_14 棱长相等的正八面体和正四面体外接球表面积之比为_15 设函数 f(x)= ，若 f(a)=2，则实数 a=_三、解答题16 设ABC 的内角 A、B、C
4、 的对边长分别为 a、b、c，cos(A C)+cosB= ，b 2=ac，求 B16 已知函数 f(x)= 17 求函数 f(x)的最小正周期及最值；18 令 g(x)=f(x+ )，判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由18 如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2， ABC=DBC=120，E，F 分别为 AC，DC 的中点19 求证：EFBC ；20 求二面角 EBFC 的正弦值20 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外其他完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，
5、若摸出的白球不少于 2 个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)21 求在 1 次游戏中：模出三个白球的概率；获奖的概率；22 求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X)22 已知函数 f(x)=ex+ex ，其中 e 是自然对数的底数23 证明：f(x)是 R 上的偶函数；24 若关于 x 的不等式 mf(x)ex +m 一 1 在(0，+)上恒成立，求实数 m 的取值范围；25 已知正数 a 满足：存在 x01，+)，使得 f(x0)a(一 x03+3x0)成立，试比较ea 1 与 ae1 的大小，并证明你的结论湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 15 答
6、案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知 U=xNx2，=2，故选 B2 【正确答案】 A【试题解析】 当 a=b=1 时，(a+bi) 2=(1+i)2=2i，反之，若(a+bi) 2=2i，则有 a=b=一1 或 a=b=1，因此选 A3 【正确答案】 D【试题解析】 由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积S=S1 一 S 正方形 +S2+2S3 一 S 斜面 ，其中 S1 是长方体的表面积，S 2 是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，S 3 是三棱柱的一个底面的面积，则 S=(46+36+34)233+34+2 43+53=138(cm2)，选 D4
7、 【正确答案】 C【试题解析】 因为 y=sin3x+cos3x= ，所以将函数 y= cos3x 的图像向右平移 的图象，故选 C5 【正确答案】 C【试题解析】 由复合函数的求导法则，对于选项 A，(3x 2+cosx)=6xsinx 成立，故 A 正确；对于选项 B，(lnx 一 2x)= 2xln2 成立，故 B 正确；对于 C 选项，(2sin2x)=4cos2x2cos2x，故 C 不正确；对于选项 D， 成立，故 D 正确，故选 C6 【正确答案】 A7 【正确答案】 D【试题解析】 当 a1 时，函数 f(x)=xa(x0) 单调递增，函数 g(x)=logax 单调递增，且过
8、点(1 ，0)，由幂函数的图象性质可知 C 错；当 0a1 时，函数 f(x)=xa(x0)单调递增，函数 g(x)=logax 单调递减，且过点(1，0)，排除 A，又由幂函数的图象性质可知 C 错，因此选 D8 【正确答案】 D【试题解析】 (3a 一 2b)a，即(3a 一2b)a=0，3a 2=2ab3a 2=2ab cos 3a=b (6ab)b=6a bb 2=3ab b 2，又3a =b，(6ab)b=3a bb 2=0，则 6a 一 b 与 b 的夹角为；故选 D9 【正确答案】 D【试题解析】 由题干可知，共有不同的选法 C81C71C51C41=8754=1120(种)故选
9、 D10 【正确答案】 D【试题解析】 由于受条件 sin2+cos2=1 的制约，故 m 为一确定的值，于是sin、cos 的值应与 m 的值无关，进而推知1，故选 D二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 依题意，圆 C 的半径是 2，圆心 C(1，a)到直线 ax+y 一 2=0 的距离等于14 【正确答案】 【试题解析】 将棱长相等的正八面体和正四面体都放置在正方体内，如图不妨设它们的棱长都为 ，正八面体所在的正方体的棱长为 2，且正方体的棱长的一半即为正八面体外接球的半径，故正八面体外接球表面积为 412=4；正
10、四面体所在的正方体的棱长为 I，且正方体的对角线长 的一半即为正四面体外接球的半径，故正四面体外接球表面积为 4 =3故棱长相等的正八面体和正四面体外接球表面积之比为 15 【正确答案】 1【试题解析】 f(a)= =2，解得：a=1三、解答题16 【正确答案】 由 cos(AC)+cosB= 及 B= 一(A+C)得 cos(AC)一 cos(A+C)=，即 cosAcosC+sinAsinC 一(cosAcosCsinAsinC)= 又由 b2=ac及正弦定理得 sin2B=sinAsinC，17 【正确答案】 f(x)= ，f(x)的最小正周期 T=4当 =1 时，f(x)取得最大值 2
11、18 【正确答案】 函数g(x)是偶函数19 【正确答案】 证明：过 E 作 EOBC，垂足为 O，连 OF由所以EOC= FOC= ，即FOBC又 EOBC，因此 BC面 EFO又 EF 面 EFO，所以 EFBC20 【正确答案】 在图 1 中，过 O 作 OGBF，垂足为 G，连 EG由平面 ABC平面 BDC，从而 EO面 BDC，又 OGBF，由三垂线定理知 EGBF因此EGO 为二面角 EBFC 的平面角在EOC 中，EO=因此tanEGO= 21 【正确答案】 设“ 在 1 次游戏中摸出 i 个白球” 为事件 Ai(i=0，1，2，3)，则P(A3)= 设“在 1 次游戏中获奖”
12、为事件 B，则 B=A2A3，又P(A2)= ，且 A2、A 3 互斥，所以 P(B)=P(A2)P(A 3)=22 【正确答案】 由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2所以 X 的分布列是X 的数学期望 E(X)=23 【正确答案】 因为对任意 xR，都有 f(一 x)=ex +e(x) =ex +ex=f(x)，所以 f(x)是 R 上的偶函数24 【正确答案】 由条件知 m(ex+ex 一 1)ex 一 1 在(0，+)上恒成立因此实数 m 的取值范围是( ， 25 【正确答案】 令函数 g(x)=ex+ 一 a(一 x3+3x)，则 g(x)=ex 一 +3a(x21)当 x1
13、时，e x 0，x 210，又 a0，故 g(x)0所以 g(x)是1，+)上的单调增函数，因此 g(x)在1，+)上的最小值是 g(1)=e+e1 一 2a由于存在x01，+)，使 ex0+ex 0a(一 x03+3x0)0 成立，当且仅当最小值 g(1)0故e+e1 一 2a0，即 a 令函数 h(x)=x 一(e 一 1)lnx 一 1，则 h(x)=1一 令 h(x)=0，得 x=e 一 1，当 x(0，e 一 1)时，h (x)0，故 h(x)是(0 ，e 1)上的单调减函数；当 x(e 一 1，+)时，h (x) 0，故 h(x)是(e 一 1，+) 上的单调增函数；所以 h(x)
14、在(0 ，+)上的最小值是 h(e1)注意到 h(1)=h(e)=0，所以当x(1，e 一 1) (0，e 一 1)时，h(e 一 1)h(x)h(1)=0当 x(e 一 1，e) (e 一1，+)时，h(x)h(e)=0 ，所以 h(x)0 对任意的 x(1，e) 成立当 a(1，e)时，h(a) 0，即 a 一 1(e 一 1)lna，从而 ea1 a e1 ；当a=e 时，e a1 =ae1 ；当 a(e，+) (e 一 1，+)时，h(a)h(e)=0，且 a1(e一 1)lna，故 ea1 a e1 综上所述，当 a 时，e a1 a e1 ；当 a=e 时，ea 1=ae1 ；当 a(e，+)时，e a1 a e1
